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Note per Studenti Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL

Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL

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Con un carico puramente resistivo il gradino riflesso è ancora un gradino (Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi →). Se il carico contiene un condensatorecomponente che accumula energia nel campo elettrico, la cui tensione non può cambiare bruscamente o un induttorecomponente che accumula energia nel campo magnetico, la cui corrente non può cambiare bruscamente, che accumulano energia, la tensione sul carico non può cambiare di colpo e la forma d'onda riflessa è un gradino arrotondatogradino la cui salita avviene con un andamento esponenziale invece che di colpo da un esponenziale. Studiare questi casi permette, dal grafico misurato, di riconoscere il tipo di carico (vedi Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →).

Il circuito equivalente visto dal carico

Si considera un generatore adattato (Zg=Z0Z_g=Z_0): il gradino V+=V0/2V^+=V_0/2 arriva al carico e non ci sono altre riflessioni multiple che arrivino a disturbare per un po'. Al carico valgono vL=V++V−v_L=V^++V^- e iL=V+−V−Z0i_L=\dfrac{V^+-V^-}{Z_0}. Eliminando V−V^-: vL=V++V−=2V+−Z0 iLv_L=V^++V^-=2V^+-Z_0\,i_L, cioè

vL=2V+−Z0 iL.v_L=2V^+-Z_0\,i_L.

È l'equazione di un circuito in cui un generatore di tensione 2V+=V02V^+=V_0 in serie con una resistenza Z0Z_0 alimenta il carico. Quindi dal punto di vista del carico la linea equivale (finché non arrivano altre riflessioni) a un generatore V0V_0 con resistenza interna Z0Z_0. La risposta del carico a un gradino si ricava dal transitorio di un circuito del primo ordinecircuito con un solo elemento reattivo, la cui risposta è un esponenziale: vL(t′)=v∞+(v0−v∞)e−t′/τv_L(t')=v_\infty+\left(v_0-v_\infty\right)e^{-t'/\tau}, con t′=t−Tt'=t-T misurato dall'arrivo del gradino. Per ogni carico bastano tre numeri: il valore iniziale v0v_0, il valore finale v∞v_\infty e la costante di tempotempo caratteristico dell'esponenziale, dopo il quale la differenza dal valore finale si riduce a circa il 37% τ\tau.

Regola dei valori limite.

  • All'istante iniziale (t′=0+t'=0^+) un condensatore non ha ancora carica, la sua tensione è nulla: si comporta come un corto circuito; un induttore ha corrente nulla: si comporta come un circuito aperto.
  • A regime (t′→∞t'\to\infty) un condensatore carico non conduce corrente: aperto; un induttore ha tensione nulla: corto.

Il valore nei due casi limite con la sola resistenza RR (e con Z0Z_0 in serie dal generatore equivalente) è un partitorecircuito di due impedenze in serie che divide la tensione in proporzione ai loro valori: la tensione su RR è 2V+RR+Z02V^+\dfrac{R}{R+Z_0}, cioè V+(1+Γ)V^+(1+\Gamma) con Γ=R−Z0R+Z0\Gamma=\dfrac{R-Z_0}{R+Z_0}.

Carico puramente capacitivo o induttivo (con RR assente)

Condensatore. iL=CdvLdti_L=C\dfrac{dv_L}{dt} e vL=2V+−Z0iLv_L=2V^+-Z_0i_L: Z0CdvLdt=2V+−vLZ_0C\dfrac{dv_L}{dt}=2V^+-v_L, con vL(0)=0v_L(0)=0 (condensatore scarico). La soluzione è

vL(t′)=2V+(1−e−t′/τ),τ=Z0C,iL=2V+Z0e−t′/τ.v_L(t')=2V^+\left(1-e^{-t'/\tau}\right),\quad\tau=Z_0C,\qquad i_L=\frac{2V^+}{Z_0}e^{-t'/\tau}.

Sulla linea sembra un corto all'inizio (Γ=−1\Gamma=-1) che si trasforma in un aperto (Γ=+1\Gamma=+1). A t′=τt'=\tau la tensione è al 63,2%63{,}2\% del valore finale.

Induttore. vL=LdiLdtv_L=L\dfrac{di_L}{dt} e vL=2V+−Z0iLv_L=2V^+-Z_0i_L: LZ0dvLdt=−vL\dfrac{L}{Z_0}\dfrac{dv_L}{dt}=-v_L con vL(0)=2V+v_L(0)=2V^+ (inizialmente aperto), quindi

vL(t′)=2V+e−t′/τ,τ=LZ0,iL=2V+Z0(1−e−t′/τ).v_L(t')=2V^+e^{-t'/\tau},\quad\tau=\frac L{Z_0},\qquad i_L=\frac{2V^+}{Z_0}\left(1-e^{-t'/\tau}\right).

I quattro circuiti con una resistenza

Con una resistenza RR in serie o in parallelo all'elemento reattivo, le costanti di tempo si ottengono guardando il circuito "visto" dall'elemento: la resistenza equivalente di Theveninequivalente di un circuito lineare formato da un generatore di tensione in serie con una resistenza è Z0Z_0 in serie con l'altra rete.

carico v0v_0 (inizio) v∞v_\infty (regime) τ\tau
RC serie 2V+RR+Z02V^+\dfrac R{R+Z_0} (C corto) 2V+2V^+ (C aperto) C (R+Z0)C\,(R+Z_0)
RC parallelo 00 (C corto) 2V+RR+Z02V^+\dfrac R{R+Z_0} (C aperto) CRZ0R+Z0C\dfrac{RZ_0}{R+Z_0}
RL serie 2V+2V^+ (L aperto) 2V+RR+Z02V^+\dfrac R{R+Z_0} (L corto) LR+Z0\dfrac L{R+Z_0}
RL parallelo 2V+RR+Z02V^+\dfrac R{R+Z_0} (L aperto) 00 (L corto) LR+Z0RZ0L\dfrac{R+Z_0}{RZ_0}

Si ricava per esempio il caso RC parallelo scrivendo iL=vLR+CdvLdti_L=\dfrac{v_L}R+C\dfrac{dv_L}{dt} e vL=2V+−Z0iLv_L=2V^+-Z_0i_L: CdvLdt+vL(1R+1Z0)=2V+Z0C\dfrac{dv_L}{dt}+v_L\left(\dfrac1R+\dfrac1{Z_0}\right)=\dfrac{2V^+}{Z_0}, da cui τ=C1/R+1/Z0=CRZ0R+Z0\tau=\dfrac{C}{1/R+1/Z_0}=\dfrac{CRZ_0}{R+Z_0} e v∞=2V+/Z01/R+1/Z0=2V+RR+Z0v_\infty=\dfrac{2V^+/Z_0}{1/R+1/Z_0}=2V^+\dfrac R{R+Z_0}.

Grafico interattivo: Carichi capacitivi (Z₀ = 50 Ω, R = 100 Ω, V⁺ = 1 V, 2V⁺ = 2 V): tensione sul carico in funzione di t'/τ (ognuno con il proprio τ)

Grafico interattivo: Carichi induttivi (Z₀ = 50 Ω, R = 100 Ω, V⁺ = 1 V): tensione sul carico in funzione di t'/τ

Tempi di salita e misure

Dalla forma v=v∞(1−e−t′/τ)v=v_\infty\left(1-e^{-t'/\tau}\right) si ricava il tempo per raggiungere una frazione pp del valore finale: tp=−τln⁡(1−p)t_p=-\tau\ln(1-p). Quindi il tempo di salitatempo che la tensione impiega per passare da una piccola a una grande frazione del valore finale dal 20%20\% all'80%80\% vale Δt20/80=t80−t20=−τln⁡0,2+τln⁡0,8=τln⁡4≈1,386 τ\Delta t_{20/80}=t_{80}-t_{20}=-\tau\ln0{,}2+\tau\ln0{,}8=\tau\ln4\approx1{,}386\,\tau e dal 10%10\% al 90%90\% vale τln⁡9≈2,2 τ\tau\ln9\approx2{,}2\,\tau. Con un oscilloscopiostrumento che mostra l'andamento di una tensione nel tempo si misura il tempo di salita e se ne ricava τ\tau, quindi CC o LL.

Se si hanno due punti (t1,v1)(t_1,v_1) e (t2,v2)(t_2,v_2) della curva e il valore finale: v1−v∞v2−v∞=e(t2−t1)/τ\dfrac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}=e^{(t_2-t_1)/\tau}, quindi

τ=t2−t1ln⁡v1−v∞v2−v∞.\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\dfrac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}.

Esempi

Esempio 1: RC parallelo. Z0=50 ΩZ_0=50\ \Omega, generatore adattato con V0=24V_0=24 V (V+=12V^+=12 V), carico R=100 ΩR=100\ \Omega in parallelo a CC. v0=0v_0=0, v∞=24⋅100150=16v_\infty=24\cdot\dfrac{100}{150}=16 V. Si misura che 88 V (metà del valore finale) sono raggiunti dopo t′=1t'=1 ns: 8=16(1−e−1/τ)⇒e−1/τ=0,5⇒τ=1 nsln⁡2=1,4438=16\left(1-e^{-1/\tau}\right)\Rightarrow e^{-1/\tau}=0{,}5\Rightarrow\tau=\dfrac{1\ \text{ns}}{\ln2}=1{,}443 ns. Allora C=τR+Z0RZ0=1,443⋅10−9⋅1505000=43,3C=\tau\dfrac{R+Z_0}{RZ_0}=1{,}443\cdot10^{-9}\cdot\dfrac{150}{5000}=43{,}3 pF.

Esempio 2: RL serie. Stesso generatore con V0=16V_0=16 V (V+=8V^+=8 V) e Z0=50 ΩZ_0=50\ \Omega; carico R=75 ΩR=75\ \Omega in serie a L=1 μL=1\ \muH. v0=2V+=16v_0=2V^+=16 V (induttore aperto), v∞=16⋅75125=9,6v_\infty=16\cdot\dfrac{75}{125}=9{,}6 V, τ=LR+Z0=10−6125=8\tau=\dfrac{L}{R+Z_0}=\dfrac{10^{-6}}{125}=8 ns. Dopo t′=8t'=8 ns la tensione è 9,6+(16−9,6)e−1=11,959{,}6+(16-9{,}6)e^{-1}=11{,}95 V; dopo 1616 ns 9,6+6,4e−2=10,479{,}6+6{,}4e^{-2}=10{,}47 V. (È il carico del tema d'esame di luglio 2024: V1=8V_1=8 V, V2=16V_2=16 V, V3=9,6V_3=9{,}6 V.)

Errori comuni

  • Invertire i comportamenti iniziali: condensatore = corto all'inizio, induttore = aperto all'inizio.
  • Usare τ=RC\tau=RC o L/RL/R senza considerare Z0Z_0: la costante di tempo include sempre la resistenza vista dall'elemento, che comprende Z0Z_0.
  • Dimenticare che il valore finale per il condensatore in serie vale 2V+2V^+ (a regimedopo che il transitorio si è esaurito è aperto) e non V+V^+.
  • Applicare queste formule quando il generatore non è adattato: le riflessioni successive cambiano la forma d'onda.

Versione ripasso

Esercizi su questo argomento

Teoria collegata