Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto

Quando un'onda piana incide su un metallo, quasi tutta la potenza viene riflessa: è il principio degli specchi, delle antenne a riflettoreantenne che usano una superficie metallica per concentrare l'onda in un fascio (la parabola per le comunicazioni satellitari è un riflettore metallico) e delle guide metallichetubi di metallo che guidano il segnale con riflessioni multiple sulle pareti che guidano il segnale per riflessioni multiple. Qui si calcola quanto viene riflesso e come è fatto il campo vicino alla superficie.

Dal dielettrico a un buon conduttore

Il mezzo 1 è un dielettrico senza perdite (impedenzarapporto fra campo elettrico e magnetico di un'onda, o fra tensione e corrente $\eta_1$, costante di fase $k_1$), il mezzo 2 un buon conduttoremezzo con conducibilità molto alta rispetto a omega per epsilon, in cui l'onda penetra poco ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$ (Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori →). I campi, per incidenza normale in $z=0$:

• incidente e riflessa nel mezzo 1 come per due dielettrici;
• trasmessa: $\bar E^t=\hat xE_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$, $\bar H^t=\hat y\dfrac{E_0^t}{\eta_{c2}}e^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ (si attenua dopo $\delta_s=1/\alpha_2$).

Con le condizioni di continuità in $z=0$ si trova lo stesso risultato della formula dei dielettrici con $\eta_2\to\eta_{c2}$ (Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici →):

$$\boxed{\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}=\frac{R_{s2}(1+j)-\eta_1}{R_{s2}(1+j)+\eta_1}}$$

Poiché $R_s$ è piccolissima rispetto a $\eta_1\approx377\ \Omega$, $\Gamma\approx-1$.

Esempio 1: aria-metallo a $10$ GHz. $\sigma=10^7$ S/m: $R_s=\sqrt{\dfrac{\pi\cdot10^{10}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}{10^7}}=0{,}0628\ \Omega$. $\Gamma=\dfrac{0{,}0628(1+j)-377}{0{,}0628(1+j)+377}=-0{,}99967+j0{,}00033$, $|\Gamma|^2=0{,}99933$: il 99,93% della potenza viene riflesso (si assorbe solo lo $0{,}07\%$). Per il rame ($5{,}8\cdot10^7$ S/m) a $10$ GHz: $R_s=0{,}0261\ \Omega$ e viene assorbito lo $0{,}028\%$. A frequenze più basse $R_s$ diminuisce ancora e la riflessione è ancora più completa.

Esempio 2: frequenze ottiche. A $f=2\cdot10^{14}$ Hz (infrarosso, $\lambda_0=1{,}5\ \mu$m) lo stesso metallo ($\sigma=10^7$) è ancora un buon conduttore, ma $R_s=8{,}89\ \Omega$: $\Gamma=-0{,}953+j0{,}045$, $|\Gamma|=0{,}954$ e $|\Gamma|^2=0{,}91$: solo il 91% della potenza è riflesso. Quindi ogni riflessione in una guida metallica perderebbe quasi il 10% della potenza: a queste frequenze una guida metallica sarebbe inutilizzabile e si usano le fibre ottiche (Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e bandain una fibra multimodo ogni raggio compie un cammino diverso: il più breve è quello lungo l'asse (lunghezza $l$), il più lungo è quello inclinato di $\theta_2$ con $\cos\theta_2=\frac{n_c}{n_f}$ (lunghezza $l\frac{n_f}{n_c}$). Il ritardo massimo fra raggio più veloce e più lento (dispersione modale) è $\tau=\frac{l,n_f}{c_0}\left(\frac{n_f}{n_c}-1\right)\approx\frac{l}{c_0},(n_f-n_c)$: proporzionale alla lunghezza e alla differenza di indici. Per evitare l'interferenza intersimbolica serve $T>2\tau$, quindi $f_{bit}<\frac1{2\tau}=\frac{c_0,n_c}{2,l,n_f,(n_f-n_c)}$ (il prodotto $f_{bit},l$ è limitato: 100-500 Mbit/s·km per le fibre multimodo ottimizzate). Le fibre monomodo (nucleo di circa 9 µm) e a indice graduale riducono la dispersione. L'attenuazione si misura in dB/km: $P_{out}=P_{in},10^{-\alpha_{dB}L/10}$; lo scattering di Rayleigh cala come $1/\lambda^4$ e il minimo (circa 0,16-0,2 dB/km) è a 1550 nm; la banda con meno di 0,5 dB/km va da 1250 a 1650 nm, cioè circa 58 THz.Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e banda →). Anche un cavo coassialecavo con conduttore centrale e calza esterna, che guida onde TEM a $5$ GHz ha un'attenuazione di oltre $80$ dB/km proprio per queste perdite di parete.

Conduttore perfetto

Nel limite $\sigma_2\to\infty$ si ha $\delta_s=0$: il campo non penetra ($\bar E^t=0$) e $R_s=0$, quindi

$$\Gamma=-1,\qquad E_0^r=-E_0^i,\qquad E_0^t=0.$$

La componente tangente del campo elettrico è nulla sul conduttore ($E_0^i+E_0^r=0$), quella del campo magnetico è doppia: $\dfrac{E_0^i}{\eta_1}-\dfrac{E_0^r}{\eta_1}=\dfrac{2E_0^i}{\eta_1}$ ed è uguale (in modulo) alla densità di corrente superficiale $\bar J_S=\hat n\times\bar H$ che si crea sulla superficie del conduttore: $|J_S|=\dfrac{2E_0^i}{\eta_1}$ (A/m). È la corrente che serve per generare il campo riflesso che annulla quello incidente. È la stessa situazione di una linea chiusa in corto circuito.

Campo nel mezzo 1. Con $\bar E^r=-\hat xE_0^ie^{+jk_1z}$:

$$\bar E_1(z)=\hat xE_0^i\left(e^{-jk_1z}-e^{+jk_1z}\right)=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z,\qquad\bar H_1(z)=\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\left(e^{-jk_1z}+e^{+jk_1z}\right)=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z.$$

Nel dominio del tempo, con $E_0^i=|E_0|e^{j\phi_0}$:

$$\bar e_1(z,t)=2|E_0|\sin k_1z\,\sin(\omega t+\phi_0)\,\hat x,\qquad\bar h_1(z,t)=\frac{2|E_0|}{\eta_1}\cos k_1z\,\cos(\omega t+\phi_0)\,\hat y.$$

La dipendenza dallo spazio è separata da quella dal tempo: onda puramente stazionariaonda con nodi e ventri fissi e senza trasporto netto di potenza, con $|\bar E_1|$ e $|\bar H_1|$ in quadratura spaziale ($\lambda/4$) e di fase temporale (campo elettrico e magnetico sfasati di $90^\circ$ nel tempo: il flusso netto di potenza attiva è zero).

• Nodi del campo elettrico (sempre nullo; ventripunti in cui il campo oscilla con ampiezza massima di $H$, massima oscillazione): $\sin k_1z=0$, cioè $z_m=-N\dfrac{\lambda_1}{2}$ con $N=0,1,2,\dots$. Il primo nodo è sull'interfaccia ($z=0$).
• Ventri del campo elettrico (nodipunti in cui il campo è sempre nullo di $H$): $\cos k_1z=0$, cioè $z_M=-(2N+1)\dfrac{\lambda_1}{4}$.
• Nodi o ventri consecutivi dello stesso vettore distano $\lambda_1/2$; un nodo e un ventre consecutivi $\lambda_1/4$.

Esempio. Onda piana nel vuoto con $E_0^i=1$ V/m e $f=1$ GHz ($\lambda=30$ cm) su un conduttore perfettoconduttore ideale con conducibilità infinita, in cui il campo è nullo: nodi di $E$ a $0$, $-15$, $-30$ cm, ...; ventri di $E$ (valore $2$ V/m) a $-7{,}5$ cm, $-22{,}5$ cm, ...; densità di corrente superficialecorrente per unità di larghezza che scorre sulla superficie di un conduttore $|J_S|=\dfrac{2\cdot1}{377}=5{,}3$ mA/m.

Confronto con la linea in corto circuito

La corrispondenza è esatta: $E\leftrightarrow V$, $H\leftrightarrow I$, $\eta\leftrightarrow Z_0$. Il conduttore perfetto è il corto circuitocarico di impedenza nulla, analogo del conduttore perfetto ($\Gamma=-1$): nodi di $V$ ($E$) in $l=N\lambda/2$, ventri a $\lambda/4$; un dielettrico con un altro $\eta_2$ è un carico resistivo; un buon conduttore è un carico di impedenza piccolissima $\eta_{c2}=R_s(1+j)$ con piccole perdite (Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →).

Errori comuni

• Dimenticare che $\Gamma=-1$ significa $E_0^r=-E_0^i$ (inversione di fase): il campo elettrico è nullo sul conduttore.
• Dire che il campo magnetico è nullo sul conduttore: è il campo elettrico tangente a essere nullo; il magnetico raddoppia.
• Confondere nodi e ventri: sull'interfaccia $E$ ha un nodo, $H$ un ventre.
• Usare $\eta_2=\eta_0/n$ per il metallo: serve l'impedenza complessa $\eta_{c2}=R_s(1+j)$.