Esercizio 9carico resistivo 12,5 ohm, adattatore a quarto d'onda e stub (tema d'esame luglio 2024)

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Teoria usata: Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →, Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →.

Preliminari. $\lambda=\dfrac{c_0}f=0{,}5$ m $=500$ mm. Carico puramente resistivo minore di $Z_C$: $z_L=\dfrac{12{,}5}{50}=0{,}25$, $\Gamma_L=\dfrac{0{,}25-1}{0{,}25+1}=-0{,}6=0{,}6\,e^{j180^\circ}$, $S=\dfrac{1+0{,}6}{1-0{,}6}=4$. Il generatore è adattato: $|V^+|=\dfrac{V_G}2=2{,}5$ V.

1. Fase di $\Gamma$ a $62{,}5$ mm

$62{,}5$ mm $=\dfrac\lambda8$, quindi $2\beta l=4\pi\cdot\dfrac{l}{\lambda}=4\pi\cdot0{,}125=\dfrac\pi2=90^\circ$. La fase diventa $\varphi=180^\circ-90^\circ=\mathbf{+90^\circ}$ (risposta b). Sulla carta: dal punto $z=0{,}25$ sul semiasse reale sinistro si ruota in senso orario di $90^\circ$ in fase di $\Gamma$ (cioè $0{,}125\lambda$ sulla ghiera) e si arriva sulla semicirconferenza superiore, a $\Gamma=0{,}6\,e^{j90^\circ}$.

3. Adattatore direttamente sul carico

Il carico è reale: $Z_{C1}=\sqrt{Z_CR_L}=\sqrt{50\cdot12{,}5}=\mathbf{25\ \Omega}$ (risposta c). Verifica: $Z_{in}=\dfrac{25^2}{12{,}5}=50\ \Omega$ ✓. (Il carico è a $d=0$ perché il punto di impedenza reale $Z_C/S=12{,}5\ \Omega$ è proprio il carico: è un minimo di tensione.)

4. Adattatore in un punto di massimo

Nel massimo di tensione l'impedenza è $SZ_C=4\cdot50=200\ \Omega$: $Z_{C1}=\sqrt{50\cdot200}=Z_C\sqrt S=\mathbf{100\ \Omega}$ (risposta a). Il massimo è a $\lambda/4=125$ mm dal carico.

5. Minimo del modulo di tensione

$|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma_L|)=2{,}5\cdot0{,}4=\mathbf{1{,}0}$ V (risposta c). (Il massimo è $2{,}5\cdot1{,}6=4$ V.)

2. e 6. Adattamento con un singolo stub

Si lavora con le ammettenze: $y_L=\dfrac1{z_L}=4$. Si cerca la distanza $d$ alla quale $y(-d)=1\pm jb$. Con $g=4$, $b_L=0$ l'equazione $(|y_L|^2-g)t^2-2b_Lt+(1-g)=0$ diventa $(16-4)t^2-3=0$, quindi $t^2=\dfrac14$ e $t=\tan\beta d=\pm\dfrac12$:

• $\tan\beta d=+0{,}5$: $\beta d=26{,}57^\circ=0{,}4636$ rad, $d=\dfrac{26{,}57}{360}\lambda=0{,}0738\lambda=\mathbf{36{,}9}$ mm. Qui $y(-d)=\dfrac{4+j0{,}5}{1+j2}=1-j1{,}5$ e serve $b_s=+1{,}5$.
• $\tan\beta d=-0{,}5$: $\beta d=180^\circ-26{,}57^\circ=153{,}43^\circ$, $d=0{,}4262\lambda=213{,}1$ mm, con $y(-d)=1+j1{,}5$ e serve $b_s=-1{,}5$.

Distanza minima (domanda 6): $d=36{,}9$ mm $\approx37{,}5$ mm (risposta c; sulla carta si legge $0{,}075\lambda$).

Lunghezza dello stub (domanda 2) alla distanza minima: serve $b_s=+1{,}5$ con uno stub in corto, $y=-j\cot\beta l=j\,1{,}5$, quindi $\tan\beta l=-\dfrac1{1{,}5}=-0{,}667$ e $\beta l=180^\circ-33{,}69^\circ=146{,}31^\circ$: $l=0{,}4064\lambda=\mathbf{203}$ mm (risposta f). (Sulla carta: dal corto circuito ($0{,}25$ sulla scala orario) fino al punto $-j\ldots$: $0{,}25+0{,}157=0{,}407\lambda$.)

Per confronto, la seconda soluzione ($d=213{,}1$ mm) ha lo stub più corto, $b_s=-1{,}5$: $\tan\beta l=\dfrac1{1{,}5}$, $l=0{,}0936\lambda=46{,}8$ mm. Con uno stub in circuito aperto le lunghezze sarebbero $78{,}2$ mm ($d=36{,}9$) e $171{,}8$ mm ($d=213{,}1$).

Errori comuni

• Calcolare l'impedenza dell'adattatore diretto con $Z_{C1}=\sqrt{Z_CZ_L}$ ma dimenticare che per $R_L<Z_C$ il punto di inserzione più vicino al carico è il carico stesso (minimo di tensione).
• Confondere "distanza minima" con "lunghezza minima": la distanza minima ($36{,}9$ mm) richiede lo stub di $203$ mm; lo stub più corto ($46{,}8$ mm) richiede $213$ mm.
• Dimenticare che lo stub, se non specificato altro, è in corto circuito.