Esercizio 15carico RL serie dal grafico della tensione (tema d'esame luglio 2024)

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Teoria usata: Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →, Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →, Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi →.

Lettura del grafico

• Dopo il primo gradino ($V_1=8$ V) non compaiono ulteriori riflessioni oltre alla prima risposta del carico: il generatore è adattato ($Z_G=Z_0=50\ \Omega$), quindi $V^+=V_1=8$ V e $V_0=2V^+$.
• A $t_2$ arriva l'onda riflessa dal carico e la tensione sale a $V_2=16=2V^+$: subito dopo la riflessione $\Gamma(0^+)=\dfrac{V_2}{V^+}-1=+1$, cioè il carico si comporta come un circuito aperto. Un elemento che inizialmente si comporta da aperto è un induttore (con una resistenza in serie, o da solo).
• Poi la tensione decade a $V_3=9{,}6$ V (non a 0): l'induttore a regime è un cortocircuito e resta una resistenza; se la tensione non va a $0$ l'induttore non è in parallelo con la resistenza ma in serie con essa (in un RL parallelo la tensione finirebbe a $0$).

Quindi il carico è RL serie (risposta c).

Risposte numeriche

5. Tensione a vuoto: generatore adattato, $V_0=2V^+=2\cdot8=\mathbf{16}$ V (risposta b).

4. Distanza $L_1$: il primo gradino arriva in $L_1$ a $t_1=T_1=100$ ns: $L_1=vT_1=2\cdot10^8\cdot100\cdot10^{-9}=\mathbf{20}$ m (risposta b).

2. Lunghezza della linea: la riflessa arriva in $L_1$ a $t_2=2T-T_1$, quindi $2T=t_1+t_2=300$ ns e $T=150$ ns; $L=vT=2\cdot10^8\cdot150\cdot10^{-9}=\mathbf{30}$ m (risposta b). Controllo: $2T-T_1=300-100=200$ ns ✓.

3. Resistenza del carico: a regime l'induttore è un corto e il carico è la sola $R$: $v_\infty=V_3=V^+(1+\Gamma_\infty)=2V^+\dfrac{R}{R+Z_0}$, cioè

$$9{,}6=16\cdot\frac{R}{R+50}\ \Rightarrow\ 9{,}6R+480=16R\ \Rightarrow\ R=\frac{480}{6{,}4}=\mathbf{75\ \Omega}$$

(risposta b). Con il coefficiente di riflessione: $\Gamma_\infty=\dfrac{9{,}6}{8}-1=0{,}2=\dfrac{R-50}{R+50}\Rightarrow R=50\cdot\dfrac{1{,}2}{0{,}8}=75\ \Omega$ ✓.

6. Costante di tempo e valore della tensione

Per un RL serie $\tau=\dfrac{L_c}{R+Z_0}=\dfrac{10^{-6}}{75+50}=8$ ns. La tensione sul carico decade da $v_0=16$ V (induttore aperto) a $v_\infty=9{,}6$ V: $v(t')=9{,}6+(16-9{,}6)e^{-t'/\tau}$ con $t'=t-t_2$. A $t'=8$ ns $=\tau$: $v=9{,}6+6{,}4\,e^{-1}=\mathbf{11{,}95}$ V; a $t'=16$ ns: $10{,}47$ V. (Dopo una costante di tempo la differenza residua rispetto al valore finale è scesa al $37\%$.)

(Dopo $t_2$ l'espressione vale $8+8-6{,}4\left(1-e^{-(t-t_2)/\tau}\right)=9{,}6+6{,}4\,e^{-(t-t_2)/\tau}$.)

Errori comuni

• Confondere RL serie con RL parallelo: in un parallelo la tensione finale è zero; qui è $9{,}6$ V, quindi serie.
• Usare $t_2$ come tempo di andata e ritorno: $t_2=2T-T_1$; $2T=t_1+t_2$.
• Ricavare $R$ da $V_3/V^+$ senza il fattore $(1+\Gamma)$: $V_3=V^+(1+\Gamma_\infty)=2V^+\frac R{R+Z_0}$.