Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppo

Un generatore collegato a un carico attraverso una linea può essere "adattato" in due sensi diversi: per trasferire la massima potenza e per non deformare il segnale. Sono richieste distinte, e solo la seconda è quella che serve davvero per trasmettere informazione.

Adattamento in potenza

Un generatore con tensione a vuoto $V_g$ e impedenza interna $Z_g=R_g+jX_g$ che alimenta un'impedenza $Z_{in}=R_{in}+jX_{in}$ eroga la potenza attiva $P=\tfrac12R_{in}|I|^2$ con $I=\dfrac{V_g}{Z_g+Z_{in}}$. Il massimo rispetto a $Z_{in}$ si ha per $Z_{in}=Z_g^*$ (la parte reattiva viene annullata e le resistenze sono uguali): è il teorema del massimo trasferimento di potenzail carico riceve la massima potenza quando la sua impedenza è la coniugata di quella del generatore. In questo caso

$$P_{max}=\frac12R_g\frac{|V_g|^2}{(2R_g)^2}=\frac{|V_g|^2}{8R_g}.$$

Esempio. Un generatore con $V_g=10$ V e $Z_g=30+j40\ \Omega$ eroga la massima potenza se vede $Z_{in}=30-j40\ \Omega$: $P_{max}=\dfrac{10^2}{8\cdot30}=0{,}417$ W. Con $Z_{in}=30+j40$ si avrebbe $I=\dfrac{10}{60+j80}$, $|I|=0{,}1$ A e $P=\tfrac12\cdot30\cdot0{,}01=0{,}15$ W: molto meno.

Questo non garantisce però che il segnale arrivi senza distorsione.

La funzione di trasferimento di una linea

Si considera un tratto di linea lungo $l_1$ chiuso su $Z_L$, e si guarda il rapporto fra la tensione sul carico e la tensione all'ingresso del tratto (in $z=-l_1$):

$$H(\omega)=\frac{V_L}{V(-l_1)}=\frac{V^++V^-}{V^+e^{j\beta l_1}+V^-e^{-j\beta l_1}}=\frac{1+\Gamma_L}{e^{j\beta l_1}+\Gamma_Le^{-j\beta l_1}}.$$

Sostituendo $\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$ e semplificando:

$$H(\omega)=\frac{2Z_L}{(Z_L+Z_0)e^{j\beta l_1}+(Z_L-Z_0)e^{-j\beta l_1}}=\frac{Z_L}{Z_L\cos\beta l_1+jZ_0\sin\beta l_1}.$$

Poiché $\beta=\beta(\omega)$, $H$ cambia con la frequenza. Un segnale reale è una somma di componenti a frequenze diverse e ognuna viene moltiplicata per un $H(\omega)$ diverso: se $|H|$ non è costante le componenti sono amplificate o attenuate in modo diverso, e se la fase non è proporzionale a $\omega$ sono ritardate in modo diverso. Il risultato è una forma d'onda deformata.

Esempio numerico. Linea con $Z_0=50\ \Omega$, $v_p=2\cdot10^8$ m/s, lunga $l_1=1$ m, chiusa su $Z_L=100\ \Omega$ (reale!). Si ha $\beta l_1=\dfrac{2\pi f}{v_p}l_1=\dfrac{\pi f}{100\ \text{MHz}}$.

Il modulo oscilla fra 1 e 2 e la fase non cresce linearmente con la frequenza (un ritardo costante darebbe $-45^\circ$, $-90^\circ$, $-135^\circ$, $-180^\circ$). Anche con un'ottima "potenza" il segnale esce distorto.

Condizione di non distorsione

Un segnale $a(t)$ arriva senza distorsione su una linea di lunghezza $l_1$ se in uscita compare $a(t-\tau)$: la stessa forma, con un ritardo $\tau=\dfrac{l_1}{v}$ ($v$ velocità di propagazione). Nel dominio della frequenza, un componente $A(\omega)e^{j\omega t}$ deve uscire come $A(\omega)e^{j\omega(t-\tau)}$, cioè

$$H(\omega)=e^{-j\omega\tau}:\quad|H|=1,\ \ \text{fase}=-\omega\tau\ \text{lineare in }\omega.$$

Per una linea la fase di $H$ contiene $-\beta l_1$: perciò

1. se $\beta$ è lineare in $\omega$ ($\beta=\omega/v$), tutte le componenti hanno lo stesso ritardo $\tau=\beta l_1/\omega=l_1/v$ e il segnale arriva ritardato ma non distorto;
2. se $\beta$ non è lineare in $\omega$ ogni componente ha un ritardo diverso e il segnale arriva ritardato e distorto (dispersione).

Adattamento di uniformità

Se $Z_L=Z_0$, allora $\Gamma_L=0$, $V^-=0$ e la funzione di trasferimentorapporto fra l'uscita e l'ingresso in funzione della frequenza diventa

$$H(\omega)=e^{-j\beta l_1}=e^{-j\omega l_1\sqrt{LC}}:$$

modulo unitario e fase lineare in $\omega$ (in una linea senza perdite $\beta=\omega\sqrt{LC}$): nessuna distorsione. Si chiama adattamento di uniformità (o "di riflessione nulla") la condizione che sia $Z_{in}=Z_0$ ai morsetti di ingresso del carico, cioè $\Gamma_{in}=0$. Per ottenerla con un carico qualunque si inserisce fra linea e carico un doppio bipolocircuito con due coppie di morsetti, ingresso e uscita, la rete di adattamentodoppio bipolo inserito fra linea e carico per rendere nulla la riflessione, progettato in modo che $Z_{in}=Z_0$ (adattatori a quarto d'onda e a stub: Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →). Deve essere senza perdite: se dissipasse potenza servirebbe a evitare le riflessioni a prezzo di assorbire anche il segnale (come le pareti fonoassorbentimateriali che assorbono il suono invece di rifletterlo di un auditorium, che impediscono il passaggio dei suoni attraverso il muro oltre a impedirne la riflessione). L'adattatore ideale deve invece lasciar passare tutta la potenza incidente.

Se il generatore ha $Z_g=Z_0$ il caso è ancora più semplice (Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|_{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →): con carico adattato non ci sono riflessioni, il segnale arriva al carico come onda progressiva pura e entrambe le condizioni (potenza massima e non distorsionedeformazione della forma d'onda del segnale) sono soddisfatte.

Velocità di fase e velocità di gruppo

Ogni componente sinusoidale ha una velocità di fase $v_p=\omega/\beta$: è la velocità con cui si sposta un punto a fase costante (calcolata ponendo $\omega t_1-\beta z_1=\omega t_2-\beta z_2$). Un segnale che trasporta informazione non è una sinusoide pura: è un gruppo di componenti a frequenze vicine. Il caso più semplice sono due sinusoidi di ampiezza $A_0$ con frequenze $\omega_{1,2}$ e costanti di fase $\beta_{1,2}$:

$$a(z,t)=A_0\cos(\omega_1t-\beta_1z)+A_0\cos(\omega_2t-\beta_2z)=2A_0\cos(\omega_mt-\beta_mz)\cos(\Delta\omega\,t-\Delta\beta\,z),$$

con $\omega_m=\frac{\omega_1+\omega_2}2$, $\beta_m=\frac{\beta_1+\beta_2}2$, $\Delta\omega=\frac{\omega_2-\omega_1}2$, $\Delta\beta=\frac{\beta_2-\beta_1}2$ (si usa $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$). È un'onda "portantesinusoide ad alta frequenza che trasporta il segnale modulato" di pulsazione $\omega_m$ intrappolata in un inviluppo lento $\cos(\Delta\omega t-\Delta\beta z)$. Si hanno due velocità:

• velocità di fase (della portante): $v_p=\dfrac{\omega_m}{\beta_m}$;
• velocità di gruppo (dell'inviluppocurva lenta che racchiude le oscillazioni rapide di un segnale modulato): $v_g=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta\beta}\approx\dfrac{d\omega}{d\beta}=\dfrac1{d\beta/d\omega}$.

Per una linea ideale $\beta=\omega\sqrt{LC}$ è lineare in $\omega$, quindi $\dfrac{d\beta}{d\omega}=\dfrac\beta\omega$ e $v_g=v_p=\dfrac1{\sqrt{LC}}$: tutto il segnale viaggia unito. Se invece $\beta(\omega)$ non è lineare, $v_g\neq v_p$ e l'inviluppo si deforma: è la dispersionedipendenza della velocità di propagazione dalla frequenza, che deforma il segnale.

La velocità di gruppo è la vera velocità di propagazione dell'energia e dell'informazione ed è sempre inferiore a $c_0$. La velocità di fase invece "dipende dal punto di osservazione" e può essere anche maggiore di $c_0$ o infinita (come per le onde del mare sulla spiaggia: la cresta di un'onda che arriva quasi parallela alla riva scorre lungo la riva molto più veloce delle onde stesse). Esempio illustrativo (una guida d'ondatubo metallico che guida le onde elettromagnetiche ad alta frequenza, fuori dal programma): se $\beta=\frac{\omega}{c_0}\sqrt{1-(f_c/f)^2}$ con $f_c=6$ GHz e $f=10$ GHz, $\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8$, la velocità di fase vale $c_0/0{,}8=1{,}25\,c_0$ ma la velocità di gruppovelocità dell'inviluppo, cioè dell'energia e dell'informazione $0{,}8\,c_0$ (e vale sempre $v_pv_g=c_0^2$).

Errori comuni

• Confondere adattamento in potenzacondizione in cui il generatore vede l'impedenza coniugata della propria e cede la massima potenza attiva ($Z_{in}=Z_g^*$) con adattamento di uniformità ($Z_{in}=Z_0$): coincidono solo se $Z_g=Z_0$.
• Dire che la distorsione dipende solo dal modulo di $H$: serve anche la fase lineare.
• Progettare un adattatore con perdite: si perde potenza utile.
• Confondere $v_p$ e $v_g$: l'informazione viaggia a $v_g$.