Esercizio 27riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto, perdite e corrente superficiale

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Teoria usata: Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfettoper incidenza normale da un dielettrico (impedenza $\eta_1$) su un buon conduttore ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) l'onda trasmessa è $E_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$, $R_{s2}=\sqrt{\frac{\pi f\mu_2}{\sigma_2}}$; il coefficiente di riflessione è $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}$, con modulo vicinissimo a $1$ ($R_s\ll\eta_1$): per $\sigma=10^7$ S/m e $f=10$ GHz $R_s=0{,}063\ \Omega$ e viene riflesso il $99{,}93%$ della potenza; a frequenze ottiche ($2\cdot10^{14}$ Hz) $R_s=8{,}9\ \Omega$ e si riflette solo il $91%$ (si perde circa il $10%$ a ogni riflessione). Per il conduttore perfetto ($\sigma\to\infty$, $\delta_s=0$): $\Gamma=-1$, $E_0^t=0$, $E_0^r=-E_0^i$, il campo magnetico tangente raddoppia ed è la corrente superficiale: $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Nel mezzo $1$ l'onda è puramente stazionaria: $\bar E_1=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z$, $\bar H_1=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$; nodi di $E$ (ventri di $H$) in $z=-N\frac{\lambda_1}2$ (compresa l'interfaccia), ventri di $E$ (nodi di $H$) in $z=-(2N+1)\frac{\lambda_1}4$.Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto →, Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori →.

(a) Rame a $2{,}4$ GHz

$R_s=\sqrt{\dfrac{\pi f\mu_0}{\sigma}}=\sqrt{\dfrac{\pi\cdot2{,}4\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}}{5{,}8\cdot10^7}}=\sqrt{1{,}634\cdot10^{-4}}=\mathbf{0{,}0128\ \Omega}$. L'impedenza del rame è $\eta_c=R_s(1+j)=0{,}0128(1+j)$. Con $\eta_1=\eta_0=377\ \Omega$:

$$\Gamma=\frac{\eta_c-\eta_1}{\eta_c+\eta_1}=\frac{0{,}0128(1+j)-377}{0{,}0128(1+j)+377}=-0{,}999932+j0{,}000068\ \ (|\Gamma|=0{,}999932).$$

La frazione riflessa è $|\Gamma|^2=0{,}999864$ e quella assorbita $1-|\Gamma|^2=1{,}36\cdot10^{-4}=\mathbf{0{,}0136\%}$. (Formula approssimata: $1-|\Gamma|^2\approx\dfrac{4R_s}{\eta_0}=\dfrac{4\cdot0{,}0128}{377}=1{,}36\cdot10^{-4}$ ✓.)

(b) Alluminio a $10$ GHz

$R_s=\sqrt{\dfrac{\pi\cdot10^{10}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}{3{,}5\cdot10^7}}=\mathbf{0{,}0336\ \Omega}$; $\Gamma=-0{,}99982+j0{,}00018$; $1-|\Gamma|^2\approx\dfrac{4\cdot0{,}0336}{377}=\mathbf{0{,}036\%}$ assorbita. L'alluminio è un riflettore quasi perfetto anche a $10$ GHz.

(c) Conduttore perfetto a $600$ MHz

$\lambda=\dfrac{c_0}f=0{,}5$ m, $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=4\pi$ rad/m. $\Gamma=-1$, $E_{0r}=-E_{0i}$.

• Corrente superficiale: $|J_S|=\dfrac{2E_{0i}}{\eta_0}=\dfrac{2\cdot5}{377}=\mathbf{26{,}5}$ mA/m (è il campo magnetico tangente totale, doppio di quello incidente).
• Nodi di $E$ (e ventri di $H$): $z=-N\dfrac\lambda2=0;\ -25;\ -50$ cm... (compreso il conduttore, $z=0$). Ventri di $E$ (e nodi di $H$): $z=-(2N+1)\dfrac\lambda4=-12{,}5;\ -37{,}5;\ -62{,}5$ cm... con $|E|_{max}=2E_{0i}=10$ V/m.
• A $\lambda/8=6{,}25$ cm: $|E_1|=2E_{0i}|\sin kz|=10\left|\sin\dfrac\pi4\right|=\mathbf{7{,}07}$ V/m e $|H_1|=\dfrac{2E_{0i}}{\eta_0}\left|\cos\dfrac\pi4\right|=26{,}5\cdot0{,}7071=\mathbf{18{,}8}$ mA/m. (Nel vuoto: $|E|$ massimo $10$ V/m a $\lambda/4$, $|H|$ massimo $26{,}5$ mA/m sul conduttore.)

Nel dominio del tempo: $\bar e_1(z,t)=2|E_{0i}|\sin kz\sin(\omega t+\phi_0)\hat x$ e $\bar h_1(z,t)=\dfrac{2|E_{0i}|}{\eta_0}\cos kz\cos(\omega t+\phi_0)\hat y$: onda puramente stazionaria, $E$ e $H$ sfasati di $90^\circ$ nel tempo e nello spazio, nessun flusso netto di potenza.

(d) Riflessioni successive

La potenza dopo $n$ riflessioni è $P_0\,|\Gamma|^{2n}$. Si dimezza quando $|\Gamma|^{2n}=\frac12$, cioè $n=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln|\Gamma|^2}$:

• a $10$ GHz: $n=\dfrac{-0{,}693}{\ln0{,}99933}=\dfrac{-0{,}693}{-0{,}000667}\approx\mathbf{1040}$ riflessioni;
• a $2\cdot10^{14}$ Hz: $n=\dfrac{-0{,}693}{\ln0{,}910}=\dfrac{-0{,}693}{-0{,}0943}\approx\mathbf{7{,}4}$ riflessioni.

Per questo a frequenze radio e microonde si guida il segnale con pareti metalliche (guide e cavi coassiali), mentre alle frequenze ottiche sono necessarie le fibre ottiche con riflessione totale interna: una guida metallica perderebbe metà potenza dopo $7$ rimbalzi.

Errori comuni

• Dimenticare che per il metallo serve l'impedenza complessa $\eta_c=R_s(1+j)$ nel calcolo di $\Gamma$ e non l'impedenza di un dielettrico.
• Dire che la potenza assorbita è $|\Gamma|^2$ (quella è la riflessa): l'assorbita è $1-|\Gamma|^2\approx\frac{4R_s}{\eta_0}$.
• Confondere nodi e ventri di $E$ con quelli di $H$: sull'interfaccia $E$ ha un nodo, $H$ ha un ventre.
• Usare $\lambda$ del vuoto sbagliando $f$: a $600$ MHz $\lambda=0{,}5$ m.