Esercizio 10adattatore a quarto d'onda e a singolo stub per il carico 140-j160 (Moodle)

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Teoria usata: Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →, Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →.

Preliminari. $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{6\cdot10^8}=0{,}5$ m $=500$ mm. $z_L=\dfrac{140-j160}{100}=1{,}4-j1{,}6$ e

$$\Gamma_L=\frac{z_L-1}{z_L+1}=\frac{0{,}4-j1{,}6}{2{,}4-j1{,}6}=\frac{1{,}649\,e^{-j75{,}96^\circ}}{2{,}884\,e^{-j33{,}69^\circ}}=0{,}572\,e^{-j42{,}3^\circ},\qquad S=\frac{1+0{,}572}{1-0{,}572}=3{,}67.$$

(Sulla carta: $\Gamma_L\approx0{,}58\,e^{-j42^\circ}$ e $S\approx3{,}76$.)

1. Adattatore a quarto d'onda

Si cerca un punto in cui l'impedenza sia reale: i massimi e i minimi di tensione.

Soluzione 1 - nel minimo di tensione (impedenza $Z_C/S$): $d_m=\lambda\left(\dfrac{\varphi_L}{4\pi}+\dfrac14\right)=\left(-\dfrac{42{,}3}{720}+0{,}25\right)\lambda=0{,}1913\lambda=\mathbf{95{,}6}$ mm. Qui $Z=\dfrac{100}{3{,}67}=27{,}2\ \Omega$ e

$$Z_{C1}=\sqrt{Z_C\cdot27{,}2}=\frac{Z_C}{\sqrt S}=\frac{100}{1{,}916}=\mathbf{52{,}2\ \Omega}.$$

Soluzione 2 - nel massimo di tensione (impedenza $SZ_C$): $d_M=d_m+\dfrac\lambda4=0{,}4413\lambda=\mathbf{220{,}6}$ mm, con $Z=3{,}67\cdot100=367\ \Omega$ e

$$Z_{C1}=\sqrt{100\cdot367}=Z_C\sqrt S=\mathbf{191{,}6\ \Omega}.$$

Entrambi gli adattatori sono lunghi $\lambda/4=125$ mm (se la linea dell'adattatore ha la stessa velocità di propagazione). Le soluzioni del corso, ottenute dalla carta di Smith ($S\approx3{,}76$), sono $d_1=96$ mm con $Z_{C1}=51{,}6\ \Omega$ e $d_2=221$ mm con $Z_{C1}=194\ \Omega$: concordano con quelle calcolate entro la precisione della lettura.

2. Adattatore a singolo stub

Ammettenza normalizzata del carico: $y_L=\dfrac1{1{,}4-j1{,}6}=\dfrac{1{,}4+j1{,}6}{1{,}4^2+1{,}6^2}=\dfrac{1{,}4+j1{,}6}{4{,}52}=0{,}3097+j0{,}3540$. Si impone $\mathrm{Re}\,y(-d)=1$ con $t=\tan\beta d$:

$$\left(|y_L|^2-g\right)t^2-2b_Lt+(1-g)=0,\qquad g=0{,}3097,\ b_L=0{,}3540,\ |y_L|^2=0{,}2212.$$

Il coefficiente di $t^2$ è $0{,}2212-0{,}3097=-0{,}0885$ e il discriminante è $g\left[(1-g)^2+b_L^2\right]=0{,}3097\cdot(0{,}4763+0{,}1253)=0{,}1863$, $\sqrt{\ }=0{,}4316$. Quindi $t=\dfrac{0{,}354\pm0{,}4316}{-0{,}0885}$: $t_1=-8{,}87$ e $t_2=+0{,}877$.

• $t_2=0{,}877$: $\beta d=41{,}2^\circ$, $d=\dfrac{41{,}2}{360}\lambda=0{,}1145\lambda=\mathbf{57{,}4}$ mm. Qui $y(-d)=1+j1{,}394$: serve $b_s=-1{,}394$. Stub in corto: $-\cot\beta l=-1{,}394\Rightarrow\tan\beta l=0{,}717$, $\beta l=35{,}6^\circ$, $l=0{,}0990\lambda=\mathbf{49{,}5}$ mm.
• $t_1=-8{,}87$: $\beta d=180^\circ-83{,}6^\circ=96{,}4^\circ$, $d=0{,}2679\lambda=\mathbf{133{,}9}$ mm. Qui $y(-d)=1-j1{,}394$: serve $b_s=+1{,}394$: $\tan\beta l=-\dfrac1{1{,}394}=-0{,}717$, $\beta l=144{,}4^\circ$, $l=0{,}4010\lambda=\mathbf{200{,}5}$ mm.

Con uno stub in circuito aperto le lunghezze sarebbero $\tan\beta l=b_s$: $174{,}5$ mm (per $d=57{,}4$) e $75{,}5$ mm (per $d=133{,}9$): differiscono di $\lambda/4=125$ mm dagli stub in corto.

Dal corso (carta di Smith): $d_3=58{,}5$ mm con $l_{s3}=48$ mm e $d_4=133$ mm con $l_{s4}=202$ mm.

Confronto. L'adattatore $\lambda/4$ richiede un cavo di impedenza diversa ($52{,}2$ o $191{,}6\ \Omega$); lo stub usa lo stesso cavo della linea ($100\ \Omega$) ma aggiunge una derivazione.

Errori comuni

• Usare per lo stub l'impedenza $z$ invece dell'ammettenza $y$ (stub in parallelo).
• Scegliere lo stesso verso di $b_s$ per entrambe le soluzioni: $b_s=-b$ in ciascun punto, quindi segni opposti nelle due soluzioni.
• Calcolare $d_m$ senza aggiungere il quarto d'onda quando $\varphi_L<0$.