Adattatore a quarto d'onda

** è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico **resistivo** $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico **complesso** lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla. -->

Se il carico non è adattato ($Z_L\ne Z_0$) c'è un'onda riflessa: si perde potenza e, come visto in Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppoadattamento in potenza: il generatore vede ai morsetti l'impedenza $Z_g^*$ (complesso coniugato di quella interna) e quindi eroga la massima potenza attiva, $P_{max}=\frac{|V_g|^2}{8,\mathrm{Re},Z_g}$. Non basta per trasmettere bene un segnale: la funzione di trasferimento della linea $H(\omega)=\frac{V_L}{V(-l_1)}=\frac{Z_L}{Z_L\cos\beta l_1+jZ_0\sin\beta l_1}$ non ha modulo costante né fase lineare in $\omega$, quindi la linea distorce. Un segnale arriva indistorto (solo ritardato di $\tau$) se $H(\omega)=e^{-j\omega\tau}$: modulo 1 e $\beta$ lineare in $\omega$. Adattamento di uniformità: se $Z_L=Z_0$ allora $V^-=0$ e $H(\omega)=e^{-j\beta l_1}=e^{-j\omega l_1\sqrt{LC}}$, quindi nessuna distorsione; si ottiene con una rete di adattamento senza perdite ($Z_{in}=Z_0$). Velocità di fase $v_p=\frac{\omega}{\beta}$ (di un punto a fase fissa, può superare $c_0$) e velocità di gruppo $v_g=\frac{d\omega}{d\beta}=\frac1{d\beta/d\omega}$ (dell'inviluppo, è la vera velocità del segnale, sempre finita); coincidono in una linea ideale TEM.Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppo →, il segnale può arrivare deformato. Un adattatore è un elemento senza perdite inserito fra la linea e il carico, scelto in modo che a monte la linea "veda" $Z_0$ e quindi $\Gamma=0$: tutta la potenza incidente viene trasferita al carico. Il più semplice è il tratto di linea lungo un quarto d'onda.

Carico resistivo: la formula $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$

Si inserisce fra la linea principale (impedenzarapporto fra tensione e corrente, grandezza complessa caratteristica $Z_0$) e il carico $R$ reale un tratto di linea di lunghezza $l=\lambda/4$ e impedenza caratteristica $Z_{01}$. L'impedenza in ingresso al tratto è, con la formula di trasformazione ($\beta l=\pi/2$, $\tan\beta l\to\infty$):

$$Z_{in}=Z_{01}\frac{R+jZ_{01}\tan\beta l}{Z_{01}+jR\tan\beta l}\ \xrightarrow{\ \beta l=\pi/2\ }\ \frac{Z_{01}^2}{R}.$$

Per avere adattamento di uniformitàcondizione in cui l'impedenza vista dalla linea è quella caratteristica, per cui non c'è onda riflessa si impone $Z_{in}=Z_0$, quindi

$$\boxed{Z_{01}=\sqrt{Z_0\,R}}$$

(media geometricaradice quadrata del prodotto di due numeri fra l'impedenza della linea e quella del carico). Allora $\Gamma_{in}=\frac{Z_{in}-Z_0}{Z_{in}+Z_0}=0$.

Esempio. $Z_0=50\ \Omega$ e $R=100\ \Omega$: $Z_{01}=\sqrt{50\cdot100}=70{,}7\ \Omega$. Verifica: $Z_{in}=\dfrac{70{,}7^2}{100}=50\ \Omega$ ✓. Se invece $R=12{,}5\ \Omega$ (con $Z_0=50\ \Omega$): $Z_{01}=\sqrt{50\cdot12{,}5}=25\ \Omega$ e $Z_{in}=25^2/12{,}5=50\ \Omega$ ✓.

La lunghezza $\lambda/4$ va calcolata nella linea dell'adattatore (se ha un dielettrico diverso, $\lambda=v_p/f$ con la sua $v_p$). E vale solo alla frequenza di progetto: fuori da essa $\beta l\ne\pi/2$ e l'adattamento peggiora (l'adattatoreelemento senza perdite inserito fra linea e carico per annullare la riflessione è "a banda strettache funziona bene solo in un piccolo intervallo di frequenze attorno a quella di progetto").

Carico complesso: un punto dove l'impedenza è reale

Se $Z_L$ è complesso, si cerca lungo la linea un punto dove l'impedenza sia reale e si inserisce lì l'adattatore. Sappiamo (Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →) che esistono due famiglie di punti con impedenza reale:

• massimo di tensione (minimo di corrente), a distanza $d_M$ dal carico: $Z=S\,Z_0$ ($>Z_0$);
• minimo di tensione (massimo di corrente), a distanza $d_m$: $Z=Z_0/S$ ($<Z_0$).

Inserendo l'adattatore in un punto di massimo il carico che vede è $R=SZ_0$:

$$Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot SZ_0}=Z_0\sqrt S\ (>Z_0).$$

Inserendolo in un minimo il carico vale $R=Z_0/S$:

$$Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot\frac{Z_0}S}=\frac{Z_0}{\sqrt S}\ (<Z_0).$$

Le due soluzioni distano $\lambda/4$ l'una dall'altra e esistono sempre. Si sceglie secondo la realizzabilitàpossibilità di costruire fisicamente un cavo con quell'impedenza caratteristica del cavo (una $Z_{01}$ molto piccola richiede un conduttore molto largo, una molto grande uno molto sottile) e secondo la distanza minima dal carico richiesta. I valori di $d_M$ e $d_m$ si calcolano con la formula $d_M=\lambda\left(\frac{\varphi_L}{4\pi}-\frac k2\right)$ e simili, oppure sulla carta di Smithdiagramma che rappresenta le impedenze normalizzate nel piano del coefficiente di riflessione (Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →).

Esempio svolto: $Z_L=50-j100\ \Omega$ su $Z_0=50\ \Omega$ a $f=300$ MHz ($\lambda=1$ m). $z_L=1-j2$, $\Gamma_L=0{,}5-j0{,}5=0{,}707\,e^{-j45^\circ}$, $S=\dfrac{1+0{,}707}{1-0{,}707}=5{,}83$.

• Soluzione A (in un minimo di tensioneposizione lungo la linea in cui il modulo della tensione è minimo): $d_m=\lambda\left(\frac{-45^\circ}{720^\circ}+\frac12-\frac14\right)=\left(-0{,}0625+0{,}25\right)\lambda=187{,}5$ mm; $Z=Z_0/S=8{,}58\ \Omega$ e $Z_{01}=\dfrac{50}{\sqrt{5{,}83}}=20{,}7\ \Omega$.
• Soluzione B (in un massimo di tensione): $d_M=\lambda\left(-0{,}0625+0{,}5\right)=437{,}5$ mm; $Z=SZ_0=291{,}4\ \Omega$ e $Z_{01}=50\sqrt{5{,}83}=120{,}7\ \Omega$.

Con l'adattatore inserito la potenza attiva disponibile nella linea a monte vale $P_A=\dfrac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (con $V_g=10$ V e $Z_0=50\ \Omega$: $250$ mW, invece dei $125$ mW prima) e anche la potenza assorbita dal carico: con $R_L=50\ \Omega$, $|I_L|=\sqrt{2\cdot0{,}25/50}=100$ mA e $|V_L|=|Z_L||I_L|=111{,}8\cdot0{,}1=11{,}18$ V (prima: 7,9 V).

Che cosa succede lungo la linea dopo l'adattamento

Con la soluzione B ($d=437{,}5$ mm) si distinguono tre zone:

La conservazione della potenza attiva (250 mW) dà i valori dei moduli: sul carico $|V_L|=11{,}18$ V; nel minimo di tensione a $187{,}5$ mm, $|V|_{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}=\sqrt{2\cdot0{,}25\cdot50/5{,}83}=2{,}07$ V; all'ingresso dell'adattatore (massimo) $|V|_{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}=12{,}07$ V; all'uscita dell'adattatore (a monte) $|V|=|V_g|/2=5$ V, costante fino al generatore. All'interno dell'adattatore il modulo scende da $12{,}07$ a $5$ V in $\lambda/4$. Si noti che una discontinuitàcambiamento brusco dell'impedenza caratteristica lungo la linea di impedenza caratteristica cambia le ampiezze delle onde: le onde nell'adattatore non coincidono con quelle nella linea a monte.

Esempio: due soluzioni per un carico complesso

Carico $Z_L=140-j160\ \Omega$ su linea da $Z_0=100\ \Omega$ a $f=600$ MHz ($\lambda=500$ mm). $z_L=1{,}4-j1{,}6$, $\Gamma_L=\dfrac{0{,}4-j1{,}6}{2{,}4-j1{,}6}=0{,}572\,e^{-j42{,}3^\circ}$, $S=\dfrac{1+0{,}572}{1-0{,}572}=3{,}67$.

• Primo minimo di tensione: $d_m=\lambda\left(\dfrac{\varphi_L}{4\pi}+\dfrac14\right)=\left(-0{,}0588+0{,}25\right)\lambda=0{,}191\lambda=95{,}6$ mm, con $Z=\dfrac{100}{3{,}67}=27{,}2\ \Omega$, quindi $Z_{01}=\sqrt{100\cdot27{,}2}=52{,}2\ \Omega$.
• Primo massimo di tensione: $d_M=0{,}191\lambda+\dfrac\lambda4=0{,}441\lambda=220{,}6$ mm, con $Z=3{,}67\cdot100=367\ \Omega$ e $Z_{01}=\sqrt{100\cdot367}=191{,}6\ \Omega$.

(Le soluzioni del corso, ricavate dalla carta con la sua precisione, riportano 96 mm e $51{,}6\ \Omega$, 221 mm e $194\ \Omega$.)

Errori comuni

• Inserire l'adattatore dove l'impedenza non è reale: la formula $Z_{in}=Z_{01}^2/R$ vale solo con $R$ reale.
• Usare $Z_{01}=\sqrt{Z_0Z_L}$ con $Z_L$ complesso, o con la distanza dal carico sbagliata ($d_M$ e $d_m$ differiscono di $\lambda/4$).
• Dimenticare che $S$ non cambia fra adattatore e carico (cambia solo a monte).
• Ricalcolare $\lambda/4$ con la lunghezza d'onda della linea principale quando l'adattatore ha un dielettrico diverso.