Esercizio 24onde nei buoni conduttori, spessore di penetrazione e conducibilità (temi d'esame ed esercitazione 1)

---

Teoria usata: Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

Formule. Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\dfrac1\alpha$, campo $\propto e^{-\alpha z}$, potenza $\propto e^{-2\alpha z}$, $\eta_c=(1+j)\dfrac1{\sigma\delta_s}$, $R_s=\dfrac1{\sigma\delta_s}$.

1. Conducibilità dall'attenuazione

$e^{-\alpha d}=0{,}1\Rightarrow\alpha=\dfrac{\ln10}{d}=\dfrac{2{,}3026}{0{,}2\cdot10^{-3}}=11\,513$ Np/m. Da $\alpha^2=\pi f\mu\sigma$:

$$\sigma=\frac{\alpha^2}{\pi f\mu_0}=\frac{1{,}3255\cdot10^{8}}{\pi\cdot3\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}}=\frac{1{,}3255\cdot10^8}{1{,}1843\cdot10^4}=\mathbf{1{,}12\cdot10^4}\ \text{S/m}$$

(risposta c). Condizione: $\sigma\gg\omega\varepsilon_0=2\pi\cdot3\cdot10^9\cdot8{,}85\cdot10^{-12}=0{,}167$ S/m ✓.

2. Distanza di dimezzamento della potenza

$\alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}=\sqrt{\pi\cdot4\cdot10^8\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^7}=1{,}2566\cdot10^5$ Np/m ($\delta_s=7{,}96\ \mu$m). La potenza cala come $e^{-2\alpha z}$: $e^{-2\alpha d}=\dfrac12\Rightarrow d=\dfrac{\ln2}{2\alpha}=\dfrac{0{,}6931}{2{,}513\cdot10^5}=\mathbf{2{,}76\ \mu m}$ (risposta c; l'errore tipico è $\ln2/\alpha=5{,}52\ \mu$m, opzione e, che vale per il campo).

3. Spessore per ridurre il campo a $1/10$

$\alpha=\sqrt{\pi\cdot5\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^3}=\sqrt{1{,}974\cdot10^7}=4443$ Np/m; $d=\dfrac{\ln10}{\alpha}=\dfrac{2{,}3026}{4443}=\mathbf{518\ \mu m}$ (risposta a). Condizione: $\omega\varepsilon_0=0{,}278$ S/m $\ll10^3$ ✓.

4. Distanza per il campo a $1/10$ dato $\delta_s$

$E(z)=E_0e^{-z/\delta_s}=\dfrac{E_0}{10}\Rightarrow z=\delta_s\ln10=5\cdot2{,}3026=\mathbf{11{,}5\ \mu m}$ (risposta b).

5. Conducibilità dallo spessore di penetrazione

$\delta_s=\dfrac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}\Rightarrow\sigma=\dfrac1{\pi f\mu_0\delta_s^2}$ con $\delta_s=\dfrac{10^{-3}}{12\pi}=2{,}653\cdot10^{-5}$ m e $\delta_s^2=7{,}04\cdot10^{-10}$ m$^2$:

$$\sigma=\frac1{\pi\cdot1{,}2\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot7{,}04\cdot10^{-10}}=\frac1{3{,}335\cdot10^{-6}}=\mathbf{3\cdot10^5}\ \text{S/m}.$$

Controllo: $\omega\varepsilon=2\pi\cdot1{,}2\cdot10^9\cdot\dfrac{10^{-9}}{6\pi}=0{,}4$ S/m $\ll3\cdot10^5$: ipotesi di buon conduttore verificata.

6. Acqua di mare a $10$ kHz

• Buon conduttore? $\omega\varepsilon=2\pi\cdot10^4\cdot80\cdot8{,}854\cdot10^{-12}=4{,}45\cdot10^{-5}$ S/m $\ll\sigma=4$ S/m ✓ (il rapporto è $9\cdot10^4$).
• Costanti: $\alpha=\beta=\sqrt{\pi\cdot10^4\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot4}=\mathbf{0{,}397}$ Np/m e rad/m; $\delta_s=\dfrac1\alpha=\mathbf{2{,}52}$ m; $\lambda=\dfrac{2\pi}{\beta}=15{,}8$ m.
• Impedenza: $\eta_c=\dfrac{1+j}{\sigma\delta_s}=\dfrac{1+j}{4\cdot2{,}516}=0{,}0994(1+j)=\mathbf{0{,}140\,e^{j45^\circ}\ \Omega}$.
• Campo elettrico in superficie: $E_0=|\eta_c||H_0|=0{,}1405\cdot0{,}05=\mathbf{7{,}0}$ mV/m, con fase $30^\circ+45^\circ=\mathbf{75^\circ}$ (il campo elettrico è in anticipo di $45^\circ$ rispetto al magnetico): $\bar e(z,t)=\hat x\,7{,}0\,e^{-0{,}397z}\cos(2\pi10^4t-0{,}397z+75^\circ)$ mV/m.
• Profondità all'$1\%$: $z=\dfrac{\ln100}{\alpha}=\dfrac{4{,}605}{0{,}397}=\mathbf{11{,}6}$ m.
• Attenuazione a $10$ m: $A_{dB}=8{,}686\,\alpha z=8{,}686\cdot0{,}397\cdot10=\mathbf{34{,}5}$ dB (il campo scende a $e^{-3{,}97}=1{,}9\%$ del valore in superficie; la potenza a $0{,}035\%$).

7. Rame a $1$ GHz

$\delta_s=\dfrac1{\sqrt{\pi\cdot10^9\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot5{,}8\cdot10^7}}=\mathbf{2{,}09\ \mu m}$, $R_s=\dfrac1{\sigma\delta_s}=\dfrac1{5{,}8\cdot10^7\cdot2{,}09\cdot10^{-6}}=\mathbf{8{,}25\ m\Omega}$. Un foglio di $5\ \mu$m: il campo che lo attraversa è $e^{-5/2{,}09}=0{,}091$ (il $9\%$) e la potenza $e^{-2\cdot2{,}39}=0{,}0084$ (lo $0{,}84\%$): in decibel sono lo stesso numero, $20\log_{10}0{,}091=10\log_{10}0{,}0084=-20{,}8$ dB. Già pochi micron di rame schermano a $1$ GHz.

Errori comuni

• Usare $\ln2/\alpha$ per la potenza dimezzata: la potenza cala come $e^{-2\alpha z}$, quindi $\ln2/(2\alpha)$.
• Dimenticare la condizione $\sigma\gg\omega\varepsilon$ prima di usare $\alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$.
• Usare $\omega$ al posto di $f$ (o viceversa) in $\sqrt{\pi f\mu\sigma}=\sqrt{\omega\mu\sigma/2}$.
• Dimenticare lo sfasamento di $45^\circ$ fra campo elettrico e magnetico nel conduttore.