Esercizio 12esercizio completo con generatore, adattatore a quarto d'onda e stub (carico 125+j75, Moodle)

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Teoria usata: Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →, Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →, Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →.

Preliminari. $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{6\cdot10^8}=0{,}5$ m, $L=\dfrac{16{,}125}{0{,}5}\lambda=32{,}25\lambda$ (conta solo la parte frazionaria, $0{,}25\lambda$). $z_L=\dfrac{125+j75}{50}=2{,}5+j1{,}5$ e

$$\Gamma_L=\frac{z_L-1}{z_L+1}=\frac{1{,}5+j1{,}5}{3{,}5+j1{,}5}=\frac{2{,}121\,e^{j45^\circ}}{3{,}808\,e^{j23{,}2^\circ}}=0{,}557\,e^{j21{,}8^\circ},\qquad S=\frac{1+0{,}557}{1-0{,}557}=3{,}52.$$

Punti 1-3: situazione senza adattatore

Il generatore è adattato ($Z_G=Z_C$), quindi $|V^+|=\dfrac{10}2=5$ V e, con la fase di propagazione $\beta L=2\pi\cdot32{,}25=64{,}5\pi\equiv\dfrac\pi2$:

1. $V^+=\dfrac{V_G}2e^{-j\beta L}=\mathbf{5\,e^{-j90^\circ}}$ V $=-j5$ V.
2. $V_L=V^+(1+\Gamma_L)=5\,e^{-j90^\circ}\cdot(1{,}517+j0{,}2069)=5\,e^{-j90^\circ}\cdot1{,}531\,e^{j7{,}8^\circ}=\mathbf{7{,}66\,e^{-j82{,}2^\circ}}$ V. (Corrente: $I_L=\dfrac{V^+(1-\Gamma_L)}{Z_C}=\dfrac{5\,e^{-j90^\circ}\cdot0{,}526\,e^{-j23{,}2^\circ}}{50}=52{,}6\,e^{-j113{,}2^\circ}$ mA; verifica $\dfrac{|V_L|}{|I_L|}=145{,}8\ \Omega=|Z_L|$ ✓.)
3. $P_A=\dfrac{|V^+|^2}{2Z_C}\left(1-|\Gamma_L|^2\right)=\dfrac{25}{100}\left(1-0{,}3103\right)=\mathbf{172{,}4}$ mW (verifica: $\tfrac12R_L|I_L|^2=\tfrac12\cdot125\cdot0{,}0525^2=172{,}4$ mW ✓).

Punti 4-5: adattatore a quarto d'onda

Il primo massimo di tensione è a $d_M=\dfrac{\varphi_L}{4\pi}\lambda=\dfrac{21{,}8}{720}\lambda=0{,}0303\lambda=15{,}1$ mm (impedenza $SZ_C=175{,}8\ \Omega$); il primo minimo a $d_m=d_M+\dfrac\lambda4=140{,}1$ mm (impedenza $\dfrac{Z_C}S=14{,}2\ \Omega$).

• Soluzione A (minimo): $d=\mathbf{140{,}1}$ mm, $Z_{C1}=\dfrac{Z_C}{\sqrt S}=\dfrac{50}{1{,}875}=\mathbf{26{,}7\ \Omega}$.
• Soluzione B (massimo): $d=\mathbf{15{,}1}$ mm, $Z_{C1}=Z_C\sqrt S=50\cdot1{,}875=\mathbf{93{,}7\ \Omega}$.

Punti 6-7: adattatore a singolo stub

$y_L=\dfrac1{2{,}5+j1{,}5}=\dfrac{2{,}5-j1{,}5}{8{,}5}=0{,}294-j0{,}176$ ($g=0{,}294$, $b_L=-0{,}176$, $|y_L|^2=0{,}1176$). L'equazione $(|y_L|^2-g)t^2-2b_Lt+(1-g)=0$ dà $-0{,}1765t^2+0{,}353t+0{,}706=0$, con discriminante $g\left[(1-g)^2+b_L^2\right]=0{,}294\cdot(0{,}498+0{,}031)=0{,}1556$, $\sqrt{\ }=0{,}3945$: $t=\dfrac{-0{,}176\pm0{,}3945}{-0{,}1765}$, cioè $t_1=-1{,}238$ e $t_2=3{,}23$.

• $t_2=3{,}23$: $\beta d=72{,}8^\circ$, $d=\dfrac{72{,}8}{360}\lambda=0{,}2023\lambda=\mathbf{101{,}1}$ mm, e $y(-d)=\dfrac{y_L+jt}{1+jy_Lt}=1+j1{,}342$.
• $t_1=-1{,}238$ ($\beta d$ negativo: si somma $180^\circ$): $\beta d=180^\circ-51{,}1^\circ=128{,}9^\circ$, $d=0{,}3581\lambda=\mathbf{179{,}1}$ mm, e $y(-d)=1-j1{,}342$.

Lo stub deve avere $b_s$ opposto alla parte immaginaria. Riassumendo le due soluzioni:

Lo stub in corto è il tratto di linea $Z_C=50\ \Omega$ chiuso su un corto circuito, collegato in parallelo.

Punti 8-9: dopo l'adattamento

A monte dell'adattatore non c'è onda riflessa: la potenza attiva erogata è la potenza disponibile

$$P_A=\frac{|V_G|^2}{8Z_C}=\frac{100}{400}=\mathbf{250\ mW}$$

(contro $172{,}4$ mW prima: l'aumento è la sola potenza riflessa evitata). Si dissipa tutta sulla parte resistiva del carico: $|I_L|=\sqrt{\dfrac{2P_A}{R_L}}=\sqrt{\dfrac{0{,}5}{125}}=63{,}2$ mA e $|V_L|=|Z_L||I_L|=145{,}8\cdot0{,}0632=\mathbf{9{,}22}$ V (prima $7{,}66$ V).

Punti 10-12: andamento lungo la linea

Si prende come esempio la soluzione B ($\lambda/4$ a $15{,}1$ mm con $Z_{C1}=93{,}7\ \Omega$). Tre zone, dal carico al generatore:

Con la soluzione a stub (la 1, $d=101{,}1$ mm): fra carico e stub restano $S=3{,}52$ e $|\Gamma|=0{,}557$; il modulo di tensione parte da $9{,}22$ V sul carico, passa per il massimo $9{,}37$ V a $15{,}1$ mm e scende fino a $5$ V nel punto dello stub (a $101{,}1$ mm: tensione continua, uguale a destra e a sinistra dello stub); a monte dello stub $S=1$, $|\Gamma|=0$ e $|V|=5$ V costante.

Errori comuni

• Dimenticare che il fattore di fase $e^{-j\beta L}$ conta solo per la parte frazionaria di $L/\lambda$ (qui $0{,}25$).
• Calcolare la potenza dopo l'adattamento con la formula $\frac{|V_G|^2}{8Z_C}(1-|\Gamma_L|^2)$: dopo l'adattamento a monte $\Gamma=0$ e la potenza vale $\frac{|V_G|^2}{8Z_C}$.
• Prendere la tensione a monte dello stub diversa da quella a valle: il collegamento in parallelo mantiene la tensione, non la corrente.