Esercizio 22densità di potenza di un'onda piana e modulo del vettore complesso (temi d'esame ed esercitazione 1)

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Teoria usata: Vettore di Poynting e potenza dell'onda pianail valor medio nel tempo del quadrato di una grandezza sinusoidale di fasore $E$ è $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$ (per un vettore $\frac12\bar E\cdot\bar E^$). Il vettore di Poynting complesso è $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^$ (W/m²): la sua parte reale $\Re{\bar S}$ è la densità di potenza attiva media, con la direzione in cui l'onda trasporta potenza. Il bilancio di potenza dice che la potenza erogata dalle sorgenti uguaglia il flusso uscente più la potenza dissipata nei conduttori ($\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$) e nei dielettrici e materiali magnetici con perdite, più i termini reattivi. Per un'onda piana uniforme in un mezzo senza perdite $\bar S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat k=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat k$ (reale: l'onda trasporta solo potenza attiva); nel vuoto $S=\frac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}$, quindi $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m². Con un'onda incidente e una riflessa il flusso netto è $\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana →, Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

Formule. $S=\dfrac{|E_0|^2}{2\eta}=\dfrac{\eta|H_0|^2}2$ (W/m²), $\eta=\dfrac{\eta_0}n=\dfrac{120\pi}n$ in un dielettrico non magnetico; $|\bar E|=\sqrt{\bar E\cdot\bar E^*}$.

1. Da $S$ al campo magnetico ($n=2$)

$\eta=\dfrac{120\pi}2=60\pi\ \Omega$. $S=\dfrac{\eta H_0^2}2\Rightarrow H_0=\sqrt{\dfrac{2S}{\eta}}=\sqrt{\dfrac{0{,}6\pi}{60\pi}}=\sqrt{0{,}01}=\mathbf{0{,}1}$ A/m (risposta a). (Il campo elettrico: $E_0=\eta H_0=18{,}8$ V/m.)

2. Da $H$ a $S$ ($n=3$)

$\eta=\dfrac{120\pi}3=40\pi\ \Omega$; $H_0=20$ mA/m $=0{,}02$ A/m: $S=\dfrac{\eta H_0^2}2=\dfrac{40\pi\cdot4\cdot10^{-4}}2=8\pi\cdot10^{-3}$ W/m² $=\mathbf{8\pi}$ mW/m² (risposta a).

3. Da $\bar e(z,t)$ a $S$

Dal confronto con $\cos(\omega t-kz)$: $\omega=6\pi\cdot10^9$ rad/s, $k=30\pi$ rad/m: $v_f=\dfrac\omega k=2\cdot10^8$ m/s, $n=\dfrac{c_0}{v_f}=1{,}5$, $\eta=\dfrac{377}{1{,}5}=251{,}3\ \Omega$. $S=\dfrac{E_0^2}{2\eta}=\dfrac{25}{502{,}7}=0{,}0497$ W/m² $=\mathbf{49{,}7}$ mW/m² (risposta b).

4. Modulo del fasore

Il fasore è $\bar E=(3\hat x+\hat y)e^{-jkz}$ e $|\bar E|=\sqrt{|E_x|^2+|E_y|^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ V/m (risposta f). Il fattore di fase $e^{-jkz}$ ha modulo 1.

5. Nel vuoto

$S=\dfrac{\eta_0H_0^2}2=\dfrac{120\pi\cdot0{,}04}{2}=\mathbf{2{,}4\pi}$ W/m² $=7{,}54$ W/m² (risposta d).

6. Valore efficace e attenuazione

Con $|E_0|=10$ V/m nel vuoto: $S=\dfrac{100}{2\cdot377}=0{,}133$ W/m² ($133$ mW/m²) e $E_{rms}=\dfrac{10}{\sqrt2}=7{,}07$ V/m (con $S=E_{rms}^2/\eta=50/377=0{,}133$ ✓). Se la potenza si riduce a $\frac1{100}$: $A=10\log_{10}100=\mathbf{20}$ dB; il campo, essendo $S\propto E^2$, si riduce di $\sqrt{100}=10$: $A_{campo}=20\log_{10}10=20$ dB (lo stesso numero di dB: la potenza è un quadrato del campo).

7. Potenza intercettata e campo

Una superficie di area $A$ perpendicolare alla direzione di propagazione intercetta $P=S\cdot A=10^{-3}\cdot0{,}5=\mathbf{0{,}5}$ mW. Nel vuoto $|E_0|=\sqrt{2\eta_0S}=\sqrt{2\cdot377\cdot10^{-3}}=\mathbf{0{,}87}$ V/m.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac12$ nella densità di potenza (ampiezze di picco).
• Usare $377\ \Omega$ nel dielettrico: $\eta=377/n$.
• Prendere come modulo del fasore la somma delle componenti $3+1=4$: serve la radice della somma dei quadrati.
• Dimenticare di convertire mA in A (esercizio 2: $20$ mA $=0{,}02$ A).