Formulario - propagazione guidata e dispositivi

Linee di trasmissione in regime sinusoidale

Note: Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazioneuna linea di trasmissionecoppia di conduttori che guida un segnale elettrico come un'onda è una coppia di conduttori il cui comportamento si descrive con quattro parametri per unità di lunghezza: $R$ (perdite nei conduttori), $L$ (energia magnetica), $G$ (perdite nel dielettrico), $C$ (energia elettrica). Scrivendo le leggi di Kirchhoff su un tratto $\Delta z$ e facendo $\Delta z\to0$ si ottengono le equazioni del telegrafo; nel regime sinusoidale diventano $\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I$ e $\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V$, da cui l'equazione d'onda $\frac{d^2V}{dz^2}=\gamma^2V$ con $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$. La soluzione è la somma di un'onda che va verso $+z$ e di una che va verso $-z$: $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$ con impedenza caratteristicarapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva, dipende solo dalla struttura della linea $Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$. Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$ reale, $v_p=1/\sqrt{LC}$, $\lambda=v_p/f$.Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione → · Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità → · Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS → · Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore → · Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso → · Problemi inversi - dai massimi e minimi al caricoun problema inverso dà la forma del modulo di $V$ o di $I$ lungo la linea (valori e posizioni di un massimo e di un minimo adiacenti) e chiede di ricostruire frequenza e carico. Metodo: (1) $\lambda=4,|d_M-d_m|$ (massimo e minimo adiacenti distano $\lambda/4$; due minimi consecutivi $\lambda/2$) e $f=v_p/\lambda$; (2) $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{|I|{max}}{|I|{min}}$ e $|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}$; (3) fase: dal primo massimo di $|V|$ a distanza $d_M$ si ha $\varphi_L=\frac{4\pi d_M}{\lambda}$, dal primo minimo $d_m$ si ha $\varphi_L=\pi+\frac{4\pi d_m}{\lambda}$ (un massimo di $|I|$ è un minimo di $|V|$); (4) $Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; (5) $|V^+|=\frac{|V|{max}}{1+|\Gamma|}$ e $\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|{max}+|I|{min}}{2}$; $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|$, $|I_L|=\frac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|$; con generatore adattato $|V_g|=2|V^+|$.Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico → · Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppoadattamento in potenza: il generatore vede ai morsetti l'impedenza $Z_g^$ (complesso coniugato di quella interna) e quindi eroga la massima potenza attiva, $P_{max}=\frac{|V_g|^2}{8,\mathrm{Re},Z_g}$. Non basta per trasmettere bene un segnale: la funzione di trasferimento della linea $H(\omega)=\frac{V_L}{V(-l_1)}=\frac{Z_L}{Z_L\cos\beta l_1+jZ_0\sin\beta l_1}$ non ha modulo costante né fase lineare in $\omega$, quindi la linea distorce. Un segnale arriva indistorto (solo ritardato di $\tau$) se $H(\omega)=e^{-j\omega\tau}$: modulo 1 e $\beta$ lineare in $\omega$. Adattamento di uniformità: se $Z_L=Z_0$ allora $V^-=0$ e $H(\omega)=e^{-j\beta l_1}=e^{-j\omega l_1\sqrt{LC}}$, quindi nessuna distorsione; si ottiene con una rete di adattamento senza perdite ($Z_{in}=Z_0$). Velocità di fase $v_p=\frac{\omega}{\beta}$ (di un punto a fase fissa, può superare $c_0$) e velocità di gruppo $v_g=\frac{d\omega}{d\beta}=\frac1{d\beta/d\omega}$ (dell'inviluppo, è la vera velocità del segnale, sempre finita); coincidono in una linea ideale TEM.Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppo → · Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda → · Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →

• Parametri per metro: $Z=R+j\omega L$, $Y=G+j\omega C$. Telegrafo: $\frac{dV}{dz}=-ZI$, $\frac{dI}{dz}=-YV$; $\gamma=\sqrt{ZY}=\alpha+j\beta$; $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$, $Z_0=\sqrt{Z/Y}$. Velocità $v_p=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta=\frac{v_p}f$.
• Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$, $v_p=\frac1{\sqrt{LC}}=\frac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}$. Con il carico in $z=0$ e $l=-z$: $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$.
• Riflessione: $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$, $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$; adattato $\Gamma=0$, corto $-1$, aperto $+1$. Impedenza: $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$; $z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$, $y=\frac{1-\Gamma}{1+\Gamma}$. Periodo $\lambda$ per $V,I$; $\frac\lambda2$ per $Z,\Gamma$; dopo $\frac\lambda4$: $z\to\frac1z$.
• Onde stazionarie: $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$; massimi a $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, minimi a $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; $\frac\lambda2$ tra massimi, $\frac\lambda4$ tra massimo e minimo. ROSrapporto d'onda stazionaria $S=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$, $|\Gamma|=\frac{S-1}{S+1}$; impedenza nei massimi di $V$: $SZ_0$, nei minimi $\frac{Z_0}S$.

• Potenza: $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)=P_{inc}-P_{rifl}$, costante lungo la linea; frazione assorbita $1-|\Gamma|^2=\frac{4S}{(1+S)^2}$; $|V|_{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|_{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Generatore adattato ($Z_g=Z_0$): $V^+=\frac{V_g}2e^{-j\beta L}$, $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$.

• Smith: $r=$ cost. circonferenze di centro $\big(\frac r{1+r},0\big)$ e raggio $\frac1{1+r}$; $x=$ cost. archi di centro $\big(1,\frac1x\big)$ e raggio $\frac1{|x|}$. $|\Gamma|$ = distanza dal centro; verso il generatore si ruota in senso orario, un giro = $\frac\lambda2$; l'ammettenza è il punto opposto ($180^\circ$, $\frac\lambda4$).

• Problemi inversi: $\lambda=4|d_M-d_m|$ (massimo e minimo adiacenti); $S=\frac{V_{max}}{V_{min}}$; $\varphi_L=\frac{4\pi d_M}\lambda$ (massimo) o $\pi+\frac{4\pi d_m}\lambda$ (minimo); $Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; $|V^+|=\frac{V_{max}}{1+|\Gamma|}$.
• Adattamento di potenza: $Z_{in}=Z_g^*$, $P_{max}=\frac{|V_g|^2}{8R_g}$. Non distorsione: $H=e^{-j\omega\tau}$ ($|H|=1$, fase lineare); $H=\frac{Z_L}{Z_L\cos\beta l_1+jZ_0\sin\beta l_1}$. Velocità di fase $\frac\omega\beta$ e di gruppo $v_g=\frac{d\omega}{d\beta}$.

• Adattatore $\frac\lambda4$: carico reale $R$, $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$; carico complesso nel massimo di $V$ ($Z=SZ_0$) $Z_{01}=Z_0\sqrt S$, nel minimo ($Z=\frac{Z_0}S$) $Z_{01}=\frac{Z_0}{\sqrt S}$. Banda stretta, vale a $\beta l=\frac\pi2$.
• Stub in parallelo a distanza $d$ con $y(-d)=1+jb$ e $b_s=-b$: $(|y_L|^2-g)t^2-2b_Lt+(1-g)=0$, $t=\tan\beta d$. Stub in corto $z=j\tan\beta l$ (lunghezza: $\tan\beta l=-\frac1{b_s}$); in aperto $z=-j\cot\beta l$ ($\tan\beta l=b_s$).

Linee di trasmissione in regime istantaneo

Note: Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi → · Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL → · Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →

• $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$. Gradino: $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (adattato $\frac{V_0}2$), al carico dopo $T=\frac Lc$; in $L_1$ a $T_1=\frac{L_1}c$, riflessa a $2T-T_1$.
• Carico resistivo: $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, $v_L=V^+(1+\Gamma_L)$; corto: impulso di durata $2(T-T_1)$; aperto: $v_L=2V^+$. Riflessioni multiple: $V_n^+=V^+(\Gamma_L\Gamma_G)^{n-1}$; regime $v_L(\infty)=V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$.

• Carico reattivo: per il carico la linea è un generatore $2V^+$ in serie con $Z_0$. Inizio: C = corto, L = aperto; regime: C = aperto, L = corto. $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$; C pura $\tau=Z_0C$; L pura $\tau=\frac L{Z_0}$.

• Misure: $t_{20/80}=1{,}386\tau$, $t_{10/90}=2{,}2\tau$, $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$. Riconoscimento (generatore adattato): $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$, $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$; $R=Z_0\frac{v}{2V^+-v}$. Impulso = gradino meno gradino ritardato.

Fibre ottiche

Note: Legge di Snell, riflessione totale e apertura numericaalla separazione fra due mezzi con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$ vale la legge di Snell $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ (angoli rispetto alla normale; l'angolo del raggio riflesso è uguale a quello incidente). Se $n_1>n_2$ esiste l'angolo critico $\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}$: per $\theta_1>\theta_c$ non esiste raggio trasmesso, c'è riflessione totale. Una fibra otticafilo di vetro che guida la luce con riflessioni totali successive ha un nucleo di indice $n_f$ circondato da un mantello di indice $n_c<n_f$: la luce resta guidata per riflessioni totali successive. Un raggio che entra dall'aria ($n_0=1$) con angolo $\theta_i$ rispetto all'asse resta guidato se $\sin\theta_i\le\sqrt{n_f^2-n_c^2}$: l'apertura numericaseno dell'angolo massimo con cui la luce può entrare nella fibra ed essere guidata è $NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$ e l'angolo di accettazione $\theta_a=\arcsin NA\approx NA$ per piccoli angoli. Esempi: $n_f=1{,}469$, $n_c=1{,}466$: $NA=0{,}094$, $\theta_a=5{,}4^\circ$; $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$: $NA=0{,}30$, $\theta_a=17{,}5^\circ$.Legge di Snell, riflessione totale e apertura numerica → · Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e bandain una fibra multimodo ogni raggio compie un cammino diverso: il più breve è quello lungo l'asse (lunghezza $l$), il più lungo è quello inclinato di $\theta_2$ con $\cos\theta_2=\frac{n_c}{n_f}$ (lunghezza $l\frac{n_f}{n_c}$). Il ritardo massimo fra raggio più veloce e più lento (dispersione modale) è $\tau=\frac{l,n_f}{c_0}\left(\frac{n_f}{n_c}-1\right)\approx\frac{l}{c_0},(n_f-n_c)$: proporzionale alla lunghezza e alla differenza di indici. Per evitare l'interferenza intersimbolica serve $T>2\tau$, quindi $f_{bit}<\frac1{2\tau}=\frac{c_0,n_c}{2,l,n_f,(n_f-n_c)}$ (il prodotto $f_{bit},l$ è limitato: 100-500 Mbit/s·km per le fibre multimodo ottimizzate). Le fibre monomodo (nucleo di circa 9 µm) e a indice graduale riducono la dispersione. L'attenuazione si misura in dB/km: $P_{out}=P_{in},10^{-\alpha_{dB}L/10}$; lo scattering di Rayleigh cala come $1/\lambda^4$ e il minimo (circa 0,16-0,2 dB/km) è a 1550 nm; la banda con meno di 0,5 dB/km va da 1250 a 1650 nm, cioè circa 58 THz.Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e banda →

• Snell $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$; riflessione totale se $n_1>n_2$ oltre $\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}$. Apertura numerica $NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$, $\sin\theta_a=\frac{NA}{n_0}$.

• Dispersione modale: $\tau=\frac{l\,n_f}{c_0}\Big(\frac{n_f}{n_c}-1\Big)\approx\frac l{c_0}(n_f-n_c)$; $T>2\tau$, $f_{bit}<\frac{c_0n_c}{2l\,n_f(n_f-n_c)}$. Attenuazione $P_{out}=P_{in}10^{-\alpha L/10}$; Rayleigh $\propto\frac1{\lambda^4}$, minimo $0{,}16$-$0{,}2$ dB/km a 1550 nm.

Onde piane in spazio libero

Note: Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtzle equazioni di Maxwell nel tempo sono $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\frac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$, $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\frac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$, con $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$, $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$ ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m). Nel regime sinusoidale il campo è il fasorenumero complesso o vettore complesso che rappresenta ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le equazioni di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$).Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz → · Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità → · Vettore di Poynting e potenza dell'onda pianail valor medio nel tempo del quadrato di una grandezza sinusoidale di fasore $E$ è $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$ (per un vettore $\frac12\bar E\cdot\bar E^$). Il vettore di Poynting complesso è $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^$ (W/m²): la sua parte reale $\Re{\bar S}$ è la densità di potenza attiva media, con la direzione in cui l'onda trasporta potenza. Il bilancio di potenza dice che la potenza erogata dalle sorgenti uguaglia il flusso uscente più la potenza dissipata nei conduttori ($\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$) e nei dielettrici e materiali magnetici con perdite, più i termini reattivi. Per un'onda piana uniforme in un mezzo senza perdite $\bar S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat k=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat k$ (reale: l'onda trasporta solo potenza attiva); nel vuoto $S=\frac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}$, quindi $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m². Con un'onda incidente e una riflessa il flusso netto è $\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana → · Polarizzazione delle onde pianela polarizzazione di un'onda piana uniforme è la figura descritta nel tempo, in un punto fissato, dalla punta del vettore $\bar e$ nel piano ortogonale alla propagazione. Con $\bar E=\left(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y\right)e^{-jkz}$ (onda verso $+z$, $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$) si ha $\bar e=\hat xa_x\cos(\omega t-kz)+\hat ya_y\cos(\omega t-kz+\varphi)$. Rettilinea: $\varphi=0$ o $\pi$ (inclinazione costante); circolare: $a_x=a_y$ e $\varphi=\pm\frac\pi2$; ellittica: tutti gli altri casi ($a_x\ne a_y$ e $\varphi\ne0,\pi$, oppure $a_x=a_y$ con $\varphi\neq\pm\frac\pi2$). Il verso si trova con la regola della mano: pollice nel verso di propagazione, le dita indicano il verso di rotazione di $\bar e$ nel tempo; se è la mano destra → destrorsa, sinistra → sinistrorsa. Per $\bar E\propto\hat x+a\hat ye^{j\varphi}$ con $a>0$: $0<\varphi<\pi$ → sinistrorsa; $-\pi<\varphi<0$ → destrorsa; $\varphi=+\frac\pi2$ circolare sinistrorsa $(\hat x+j\hat y)$, $\varphi=-\frac\pi2$ circolare destrorsa $(\hat x-j\hat y)$. Con il rapporto di polarizzazioneparametro complesso che distingue polarizzazione rettilinea, destrorsa e sinistrorsa $p=j\frac{A_y}{A_x}$: $\Re{p}=0$ rettilinea, $\Re{p}>0$ destrorsa, $\Re{p}<0$ sinistrorsa. Un campo rettilineo è la somma di due circolari opposti di ugual ampiezza.Polarizzazione delle onde piane → · Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori → · Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni → · Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici → · Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfettoper incidenza normale da un dielettrico (impedenza $\eta_1$) su un buon conduttore ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) l'onda trasmessa è $E_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$, $R_{s2}=\sqrt{\frac{\pi f\mu_2}{\sigma_2}}$; il coefficiente di riflessione è $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}$, con modulo vicinissimo a $1$ ($R_s\ll\eta_1$): per $\sigma=10^7$ S/m e $f=10$ GHz $R_s=0{,}063\ \Omega$ e viene riflesso il $99{,}93%$ della potenza; a frequenze ottiche ($2\cdot10^{14}$ Hz) $R_s=8{,}9\ \Omega$ e si riflette solo il $91%$ (si perde circa il $10%$ a ogni riflessione). Per il conduttore perfetto ($\sigma\to\infty$, $\delta_s=0$): $\Gamma=-1$, $E_0^t=0$, $E_0^r=-E_0^i$, il campo magnetico tangente raddoppia ed è la corrente superficiale: $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Nel mezzo $1$ l'onda è puramente stazionaria: $\bar E_1=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z$, $\bar H_1=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$; nodi di $E$ (ventri di $H$) in $z=-N\frac{\lambda_1}2$ (compresa l'interfaccia), ventri di $E$ (nodi di $H$) in $z=-(2N+1)\frac{\lambda_1}4$.Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto →

• Fasori: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$; Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$, $\lambda=\frac{2\pi}k$ (richiede $\nabla\cdot\bar E=0$). Perdite: $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\big(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\big)$; buon isolante $\sigma\ll\omega\varepsilon'$, buon conduttore $\sigma\gg\omega\varepsilon'$.
• Onda piana uniforme: $E_x=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{jkz}$, $H_y^+=\frac{E_x^+}\eta$, $H_y^-=-\frac{E_x^-}\eta$; $\eta=\frac{\omega\mu}k=\sqrt{\mu/\varepsilon}$, $\eta_0=120\pi\approx377\ \Omega$, $\eta=\frac{\eta_0}n$; $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}\eta$; $v_f=\frac\omega k=\frac{c_0}n$, $\lambda=\frac{c_0}{nf}$.

• Poynting: $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^*$ (W/m$^2$), $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$; onda piana $S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}=\frac{\eta|H_0|^2}2$, nel vuoto $\frac{|E_0|^2}{754}$; con due onde $S_{netta}=\frac{|E^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.
• Polarizzazione $\bar E=(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y)e^{-jkz}$, $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$: rettilinea per $\varphi=0,\pi$; circolare per $a_x=a_y$ e $\varphi=\pm\frac\pi2$ ($+\frac\pi2$ sinistrorsa, $-\frac\pi2$ destrorsa); altrimenti ellittica. Con $p=\frac{jA_y}{A_x}$: $\Re\{p\}=0$ rettilinea, $>0$ destrorsa, $<0$ sinistrorsa.

• Con perdite: $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$, $e(z,t)=|E_0|e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\varphi_0)$, spessore di penetrazionedistanza a cui il campo si riduce a 1/e $\delta_s=\frac1\alpha$. Buon isolante: $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Buon conduttore: $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\eta_c=R_s(1+j)$, $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}\sigma}$. Campo $e^{-z/\delta_s}$, potenza $e^{-2z/\delta_s}$.

• Decibel: $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$ (campi: $20\log_{10}$); $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB. Neper: campo $e^{-\alpha L}$, $A_{dB}=8{,}686\,\alpha L$. dBW $=10\log\frac P{1\,\mathrm W}$, dBm $=$ dBW $+30$.

• Incidenza normale su due dielettrici: $\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$, $\tau=1+\Gamma=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}$; mezzo 1 $|E_1|=E_0^i|1+\Gamma e^{2jk_1z}|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$, minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$; potenze $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=(1-|\Gamma|^2)S_i$.
• Conduttore perfetto: $\Gamma=-1$, $E_1=-2jE_0^i\sin k_1z$, $H_1=\frac{2E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$, nodi di $E$ in $-\frac{N\lambda_1}2$, $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Buon conduttore: $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}\approx-1$.

Antenne e collegamenti radio

Note: Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontanoil dipolo elementare è un elemento di corrente $I$ costante, di lunghezza infinitesima $\Delta z$, posto nell'origine lungo $\hat z$: è la soluzione base da cui si ricavano i campi di qualsiasi antenna (per sovrapposizione). In coordinate sferiche $(R,\theta,\varphi)$ il campo è $\bar H=H_\varphi\hat\varphi$, $\bar E=E_\theta\hat\theta+E_R\hat R$. Nel campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta,\frac{e^{-jkR}}{R}$, $E_R\approx0$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}{\eta}$: onda sferica localmente piana, con $|E|\propto\frac{\sin\theta}{R}$. Densità di potenza media $S(R,\theta)=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta$, con $S_{max}=S_0\approx15\pi\frac{|I|^2}{R^2}\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ W/m². Potenza irradiata (attiva) $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ indipendente da $R$; la potenza reattiva decade come $\frac1{(kR)^3}$ ed è trascurabile se $R\gg\lambda$. Nel piano $xy$ ($\theta=90^\circ$) il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni (omnidirezionale), lungo l'asse $z$ non irradia.Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano → · Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione → · Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'ondaper una distribuzione di corrente arbitraria $I(z)$ su un filo di lunghezza $l$ il campo lontano è $E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)e^{jkz\cos\theta}dz$. In un'antenna filiforme sottile la corrente segue la legge di una linea aperta: $I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}$ (nulla agli estremi, $I_0$ al centro). Dipolo corto ($l\ll\lambda$): corrente triangolare $I_0(1-\frac{2|z|}l)$, integrale $=I_0\frac l2$: è la realizzazione fisica del dipolo elementare con $I\Delta z\to I_0\frac l2$; $F=\sin^2\theta$, $D=1{,}5$, $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2$, $R_{rad}=\frac{2\pi}3\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2$ (piccola: rendimento basso). Dipolo a mezz'onda ($l=\lambda/2$): $I(z)=I_0\cos\beta z$, $D\simeq1{,}64$ (2,15 dB), $R_{rad}\simeq72\ \Omega$, diagramma poco diverso da quello del dipolo elementare, rendimento molto alto (circa $0{,}98$). Oltre $\lambda/2$ non si guadagna direttività: per $l\approx\lambda$ la corrente in ingresso tende a zero, per $l>\lambda$ compaiono correnti negative e il diagramma si deforma. Un'antenna su un suolo a conducibilità infinita lunga $l/2$ irradia sopra il suolo come una di lunghezza $l$ nel mezzo uniforme.Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda → · Area efficace, antenne a parabola e formula di Friisl'area efficace di un'antenna ricevente è $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}$ (potenza ricevuta nelle condizioni di massimo diviso la densità di potenza incidente $S_i=\frac{|E_i|^2}{2\eta}$), quindi $P_{rec}=A_eS_{MAX}=A_e\frac{GP_t}{4\pi R^2}$. Per il teorema di reciprocitàscambiando generatore e carico in un sistema lineare la corrente letta resta la stessa $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. Antenne filiformi: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$.Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis →

• Dipolo elementare, campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}\eta$, $|E|=\frac{K\sin\theta}R$; $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\big(\frac{\Delta z}\lambda\big)^2$, $R_{rad}=\frac{2\pi}3\eta\big(\frac{\Delta z}\lambda\big)^2$; fra due punti $\frac{E_2}{E_1}=\frac{R_1}{R_2}\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}$.
• Diagramma $F=\frac S{S_{MAX}}$ (dipolo $\sin^2\theta$); direttività $D=\frac{4\pi}{\iint F\,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}$ (elementare $1{,}5$, mezz'onda $1{,}64$); guadagno $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}=\xi D$, $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$; $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$, $|E_{MAX}|=\frac{\sqrt{60GP_t}}R$.

• Filiformi: corrente $I(z)=-I_0\frac{\sin\beta(|z|-l/2)}{\sin(\beta l/2)}$. Dipolo corto ($l\ll\lambda$): triangolare, $F=\sin^2\theta$, $D=1{,}5$, $R_{rad}=20\pi^2\big(\frac l\lambda\big)^2$. Mezz'onda: $I=I_0\cos\beta z$, $D=1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.

• Area efficace $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Friis: $P_{rec}=P_tG_TG_R\Big(\frac\lambda{4\pi R}\Big)^2$; in dB $P_t+G_T+G_R-A_{sl}$ con $A_{sl}=20\log_{10}\frac{4\pi R}\lambda$. Parabola: $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}4$, $G=\xi_G\big(\frac{\pi d}\lambda\big)^2\propto f^2$.

Radioprotezione

Note: Radioprotezione - effetti dei campi elettromagnetici e SARi campi elettromagnetici non ionizzantiradiazioni con energia troppo bassa per ionizzare gli atomi, come radiofrequenze e microonde (radiofrequenze, microonde, bassa frequenza) hanno effetti fisici accertati per due soli meccanismi: l'induzione di correnti (che interferiscono con il sistema nervoso) e il riscaldamento per assorbimento. Gli effetti biologici sono studiati con esperimenti (in vitro, in vivo) e con studi epidemiologicibasati sullo studio statistico della salute di una popolazione: il rischio relativorapporto fra la frazione di malati fra gli esposti e quella fra i non esposti $RR=\frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$ (esposti/non esposti, malati/sani) è significativo solo se supera 2-3 (fumo: circa 30); correlazione non è causalità. Lo IARC classifica gli agenti in gruppi (1 cancerogeno, 2A probabile, 2B possibile — campi a radiofrequenza e campi magnetici a bassissima frequenza —, 3 non classificabile): la classificazione dà la forza delle evidenze, non la potenza dell'effetto. La grandezza dosimetrica è il SAR (specific absorption rate): $SAR=\frac{\sigma|\bar E|^2_{rms}}{\rho}=\frac{\sigma|\bar E|^2}{2\rho}$ (W/kg), mediato su 10 g (limite europeo 2 W/kg) o su 1 g (USA 1,6 W/kg). L'aumento di temperatura senza dispersione è $\Delta T=\frac{SAR\cdot t}{c}$. Distanza a cui il campo scende sotto $E$: $R=\frac{\sqrt{60GP_t}}{E}$; conversione $S=\frac{E^2}{377}$ (6 V/m $\leftrightarrow0{,}1$ W/m²; 20 V/m $\leftrightarrow1$ W/m²; 15 V/m $\leftrightarrow0{,}6$ W/m²).Radioprotezione - effetti dei campi elettromagnetici e SAR →

• SARtasso di assorbimento specifico, potenza assorbita per unità di massa $=\frac{\sigma E_{rms}^2}\rho$ (W/kg), mediato su 10 g (UE: 2 W/kg) o 1 g (USA: 1,6 W/kg); $\Delta T=\frac{SAR\,t}{c}$.
• Densità di potenza $S=\frac{E^2}{377}$ (6 V/m $=0{,}095$ W/m$^2$, 15 V/m $=0{,}60$, 20 V/m $=1{,}06$). Distanza di rispetto: $R=\frac{\sqrt{60GP_t}}{E_0}$. Rischio relativo $RR=\frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$, significativo se $RR>2$-$3$.