Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e banda

La fibra ottica è la "spina dorsale" delle telecomunicazioni mondiali: sono stati posati circa 4 miliardi di km di fibra. Nel 1966 Charles Kao mostrò che il vetro di allora attenuava circa 1 dB/m (peggio della nebbia) a causa delle impurità, non per limiti fondamentali, e propose la struttura ancora oggi usata; nel 1970 si arrivò a meno di 20 dB/km e nel 2009 Kao ricevette il premio Nobel. Una volta capito come la luce resta confinata (Legge di Snell, riflessione totale e apertura numericaalla separazione fra due mezzi con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$ vale la legge di Snell $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ (angoli rispetto alla normale; l'angolo del raggio riflesso è uguale a quello incidente). Se $n_1>n_2$ esiste l'angolo critico $\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}$: per $\theta_1>\theta_c$ non esiste raggio trasmesso, c'è riflessione totale. Una fibra otticafilo di vetro che guida la luce con riflessioni totali successive ha un nucleo di indice $n_f$ circondato da un mantello di indice $n_c<n_f$: la luce resta guidata per riflessioni totali successive. Un raggio che entra dall'aria ($n_0=1$) con angolo $\theta_i$ rispetto all'asse resta guidato se $\sin\theta_i\le\sqrt{n_f^2-n_c^2}$: l'apertura numericaseno dell'angolo massimo con cui la luce può entrare nella fibra ed essere guidata è $NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$ e l'angolo di accettazione $\theta_a=\arcsin NA\approx NA$ per piccoli angoli. Esempi: $n_f=1{,}469$, $n_c=1{,}466$: $NA=0{,}094$, $\theta_a=5{,}4^\circ$; $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$: $NA=0{,}30$, $\theta_a=17{,}5^\circ$.Legge di Snell, riflessione totale e apertura numerica →), restano da conoscere i tre fenomeni che distorcono il segnale lungo la fibra: dispersionedipendenza del ritardo di propagazione dal percorso o dalla frequenza, che allarga gli impulsi, attenuazione e non linearità (quest'ultima fuori programma).

Fibre multimodo e monomodo

In una fibra multimodo (nucleo di 50 o 62,5 µm) più raggi (modiconfigurazioni di campo, o raggi, che possono propagarsi nella fibra) si propagano contemporaneamente con angoli diversi. Tutti trasportano la stessa informazione, ma percorrono cammini di lunghezza diversa. In una fibra monomodo (nucleo di circa 9 µm, vicino alla lunghezza d'onda) si propaga un solo modo lungo l'asse. Le multimodofibra con nucleo largo in cui si propagano più raggi con percorsi diversi sono più semplici e più economiche da accoppiare a sorgenti poco costose (LED, VCSEL) e si usano per collegamenti corti (LAN, data centeredificio con molti computer collegati fra loro da reti ad alta velocità); le monomodofibra con nucleo sottilissimo in cui si propaga un solo modo per le lunghe distanze.

Dispersione modale: il ritardo fra il raggio più veloce e il più lento

Si considera una fibra lunga $l$ con velocità nel nucleo $c_f=\dfrac{c_0}{n_f}$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →).

• Il raggio più corto è quello sull'asse, lanciato al centro del cono di accettazione: percorre $l_{min}=l$.
• Il più lungo è quello lanciato con l'angolo limite $\theta_a$: nel nucleo ha inclinazione $\theta_2$ con $\cos\theta_2=\dfrac{n_c}{n_f}$ ed è lungo $l_{max}=\dfrac{l}{\cos\theta_2}=l\dfrac{n_f}{n_c}$.

Poiché tutti i raggi hanno la stessa velocità $c_f$ nel nucleo, la differenza di tempo è

$$\boxed{\tau=\frac{l_{max}-l_{min}}{c_f}=\frac{l\,n_f}{c_0}\left(\frac{n_f}{n_c}-1\right)\approx\frac{l}{c_0}\left(n_f-n_c\right)}$$

(l'approssimazione vale perché $n_f/n_c\approx1$ e $n_f\approx n_c$). Si ricorda con l'analisi dimensionalecontrollo che le unità di misura di una formula siano coerenti: lunghezza/velocità (secondi) per un fattore adimensionale piccolo $n_f-n_c$. Il ritardo è proporzionale a $l$ e a $n_f-n_c$: raddoppiare la differenza di indici (a parità di lunghezza) raddoppia il ritardo.

Esempio (tema d'esame). In una fibra multimodo con $n_1=1{,}5$ e $n_2=1{,}49$ il ritardo vale $\tau=33{,}8$ ns. Quale ritardo con $n_2=1{,}48$? $n_1-n_2$ passa da $0{,}01$ a $0{,}02$: $\tau'=2\tau=67{,}6$ ns. Se invece (altro tema) $n_1=1{,}5$, $n_2=1{,}48$ ($\Delta n=0{,}02$) dà $\tau=33{,}8$ ns e si passa a $n_2=1{,}49$ ($\Delta n=0{,}01$): $\tau'=\tau/2=16{,}9$ ns. Si può risalire alla lunghezza: $l=\dfrac{\tau c_0}{n_1-n_2}=\dfrac{33{,}8\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^8}{0{,}01}=1014$ m (nel secondo caso $507$ m).

Esempio con la formula esatta. $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$, $l=1$ km: $\tau=\dfrac{1000\cdot1{,}52}{3\cdot10^8}\left(\dfrac{1{,}52}{1{,}49}-1\right)=5{,}067\ \mu\text{s}\cdot0{,}02013=102{,}0$ ns (la formula approssimata dà $\dfrac{1000}{3\cdot10^8}\cdot0{,}03=100$ ns).

Effetti sul segnale e limite sulla velocità di trasmissione

Un impulso che entra "tutto insieme" esce allargato: ogni modo porta una parte della potenza e arriva con un tempo diverso. Per una sequenza di bit, se l'allargamento supera il tempo di bit, la potenza di un bit "invade" i bit adiacenti: l'interferenza intersimbolicasovrapposizione di bit adiacenti dovuta all'allargamento degli impulsi, causa di errori (ISI) provoca errori. Perché non succeda si impone che il periodo di bit $T$ superi il doppio del ritardo differenziale ($T>2\tau$), che dà il limite

$$f_{bit}=\frac1T<\frac1{2\tau}=\frac{c_0\,n_c}{2\,l\,n_f\,(n_f-n_c)}.$$

Il prodotto $f_{bit}\cdot l$ è quindi limitato: per le fibre multimodo ottimizzate vale 100-500 Mbit/s·km. Esempio. $l=1$ km, $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$: $f_{bit}<\dfrac{3\cdot10^8\cdot1{,}49}{2\cdot1000\cdot1{,}52\cdot0{,}03}=4{,}9$ Mbit/s. Per questo le multimodo servono per reti locali e di accesso.

Fibre a indice graduale (graded index). L'indice del nucleo diminuisce gradualmente dal centro verso il mantello ($n_1>n_2>n_3>\dots$) e un raggio obbedisce a $n_k\sin\theta_k=\text{costante}$. I raggi che fanno un cammino più lungo si allontanano dall'asse, dove l'indice è minore e quindi la velocità $c_0/n_k$ è maggiore: compensano in parte il percorso più lungo e il ritardo differenziale si riduce, con più banda e più distanza ($f_{bit}\,l$ molto più grande). Sono usate in LAN e data center, per qualche centinaio di metri.

Attenuazione

La potenza che si propaga in fibra diminuisce con la distanza. Il coefficiente di attenuazioneperdita di potenza lungo la propagazione, in dB per km $\alpha_{dB}$ (dB/km) dà la perdita su una lunghezza $L$: $A_{dB}=\alpha_{dB}L$ e

$$P_{out}=P_{in}\,10^{-A_{dB}/10}=P_{in}\,10^{-\alpha_{dB}L/10}$$

(Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →). Esempio. Una fibra di $30$ km con $0{,}2$ dB/km attenua di $6$ dB, cioè di un fattore $10^{0{,}6}=3{,}98\approx4$: con $P_{in}=4$ mW esce $P_{out}\approx1$ mW. Un'altra: lunga $40$ km, $0{,}25$ dB/km, $P_{out}=0{,}1$ mW: l'attenuazione totale è $10$ dB, quindi $P_{in}=0{,}1\cdot10=1$ mW.

Cause dell'attenuazione. Lo scattering di Rayleighdiffusione della luce da parte di disomogeneità molto più piccole della lunghezza d'onda, più forte alle lunghezze d'onda corte (diffusione della luce per piccole disomogeneità del vetro) segue $P\propto\dfrac1{\lambda^4}$: è maggiore a lunghezze d'onda corte, quindi conviene usare l'infrarosso invece del blu. L'assorbimento dovuto a impurità (in particolare gli ioni OHioni dell'acqua nel vetro, che assorbono la luce e creano picchi di perdita$^-$ dell'acqua) crea picchi di attenuazione. Il minimo di attenuazione, circa $0{,}16$-$0{,}2$ dB/km, è a $\lambda=1550$ nm. Nelle fibre recenti la banda con attenuazione inferiore a $0{,}5$ dB/km va da $1250$ a $1650$ nm: $f_1=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}25\cdot10^{-6}}=240$ THz e $f_2=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}65\cdot10^{-6}}=182$ THz, cioè circa $58$ THz di banda disponibile.

Altre perdite sono dovute alle curvature (macrocurvature e microcurvature, raggio minimo circa 32 mm).

Fibra contro cavo coassiale

Su un collegamento di $100$ km il coassiale a $5$ GHz perderebbe oltre $8000$ dB ($80\cdot100$), la fibra soltanto $20$ dB ($0{,}2\cdot100$): per questo un solo amplificatore ogni $50$-$100$ km basta per la fibra.

Cenni su cavi e applicazioni

Una fibra nuda è protetta con un rivestimento acrilico (diametro $250\ \mu$m) e un rivestimento plastico di $0{,}9$ mm. I cavi di posa a protezione lasca (loose) alloggiano le fibre in tubetti o scanalature di un nucleo dielettrico con basso coefficiente di dilatazione; filati aramidici (kevlar) danno resistenza alla trazione; gel o nastri idroespansivi bloccano l'acqua (gli ioni OH$^-$ degradano la fibra); armature metalliche proteggono da urti e roditori; nei cavi sottomarini conduttori di rame alimentano i rigeneratoridispositivi che amplificano o rigenerano il segnale lungo il cavo del segnale. Applicazioni: dorsali di telecomunicazione, FTTHfiber to the home: fibra che arriva fino all'abitazione dell'utente (fiber to the home), endoscopi, sensori (temperatura e deformazione cambiano l'indice o il cammino ottico) per gasdotti, pozzi, strutture in cemento.

Errori comuni

• Dire che il ritardo è proporzionale a $n_f/n_c$ o a $n_f+n_c$: è proporzionale alla differenza $n_f-n_c$.
• Dimenticare la lunghezza $l$: il ritardo aumenta linearmente con $l$.
• Usare l'attenuazione in dB come fattore moltiplicativo: la potenza si ottiene con $10^{-A/10}$.
• Confondere il limite $T>2\tau$ con $T>\tau$ (si impone un margine perché gli impulsi non si sovrappongano).