Esercizio 5problema inverso da massimo e minimo del modulo di tensione

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Teoria usata: Problemi inversi - dai massimi e minimi al caricoun problema inverso dà la forma del modulo di $V$ o di $I$ lungo la linea (valori e posizioni di un massimo e di un minimo adiacenti) e chiede di ricostruire frequenza e carico. Metodo: (1) $\lambda=4,|d_M-d_m|$ (massimo e minimo adiacenti distano $\lambda/4$; due minimi consecutivi $\lambda/2$) e $f=v_p/\lambda$; (2) $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{|I|{max}}{|I|{min}}$ e $|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}$; (3) fase: dal primo massimo di $|V|$ a distanza $d_M$ si ha $\varphi_L=\frac{4\pi d_M}{\lambda}$, dal primo minimo $d_m$ si ha $\varphi_L=\pi+\frac{4\pi d_m}{\lambda}$ (un massimo di $|I|$ è un minimo di $|V|$); (4) $Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; (5) $|V^+|=\frac{|V|{max}}{1+|\Gamma|}$ e $\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|{max}+|I|{min}}{2}$; $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|$, $|I_L|=\frac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|$; con generatore adattato $|V_g|=2|V^+|$.Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico →, Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|_{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →.

(a) Lunghezza d'onda e frequenza

Massimo e minimo adiacenti distano $\dfrac\lambda4$: $\dfrac\lambda4=105-30=75$ mm, quindi $\lambda=\mathbf{300}$ mm e $f=\dfrac{c_0}\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{0{,}3}=\mathbf{1}$ GHz.

(b) ROS e modulo di $\Gamma$

$S=\dfrac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\dfrac{12}4=\mathbf3$ e $|\Gamma_L|=\dfrac{S-1}{S+1}=\dfrac24=\mathbf{0{,}5}$.

(c) Fase e impedenza del carico

Il massimo di tensione è a $d_M=30$ mm: $\varphi_L=2\beta d_M=\dfrac{4\pi d_M}{\lambda}=4\pi\cdot\dfrac{30}{300}=0{,}4\pi=\mathbf{72^\circ}$. (Controllo con il minimo: $\varphi_L=\pi+\dfrac{4\pi\cdot105}{300}=\pi+1{,}4\pi=2{,}4\pi\equiv0{,}4\pi$ ✓.) Quindi $\Gamma_L=0{,}5\,e^{j72^\circ}=0{,}1545+j0{,}4755$ e

$$Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}=75\cdot\frac{1{,}1545+j0{,}4755}{0{,}8455-j0{,}4755}=75\,(0{,}797+j1{,}011)=\mathbf{59{,}8+j75{,}8\ \Omega}.$$

Carico induttivo (parte immaginaria positiva), coerente con $\varphi_L>0$.

(d) Onda incidente, tensione e corrente sul carico

$|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma_L|)\Rightarrow|V^+|=\dfrac{12}{1{,}5}=\mathbf8$ V (anche $|V^+|=\dfrac{12+4}2=8$ V ✓). Sul carico: $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|=8\cdot|1{,}1545+j0{,}4755|=8\cdot1{,}2485=\mathbf{9{,}99}\approx10$ V e $|I_L|=\dfrac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|=\dfrac8{75}\cdot|0{,}8455-j0{,}4755|=0{,}1067\cdot0{,}9700=\mathbf{103{,}5}$ mA. Verifica: $\dfrac{|V_L|}{|I_L|}=96{,}5\ \Omega=|Z_L|=\sqrt{59{,}8^2+75{,}8^2}=96{,}5\ \Omega$ ✓.

(e) Impedenza a $40$ mm

$\beta l=\dfrac{2\pi}{300}\cdot40=0{,}8378$ rad $=48^\circ$, $\tan48^\circ=1{,}1106$. Con $z_L=0{,}797+j1{,}011$:

$$z(-l)=\frac{z_L+j\tan\beta l}{1+jz_L\tan\beta l}=\frac{0{,}797+j2{,}122}{1+j0{,}885-1{,}123}=\frac{0{,}797+j2{,}122}{-0{,}123+j0{,}885}=2{,}229-j1{,}209,$$

quindi $Z=75\,z=\mathbf{167{,}2-j90{,}7\ \Omega}$. (Alternativamente $\Gamma(-l)=0{,}5\,e^{j(72^\circ-96^\circ)}=0{,}5\,e^{-j24^\circ}$ e $z=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ dà lo stesso.)

(f) Adattatori a quarto d'onda e potenza

• Nel massimo di tensione (a $30$ mm, e a $30+150k$ mm): $Z=SZ_0=225\ \Omega$, quindi $Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot225}=Z_0\sqrt S=75\cdot1{,}732=\mathbf{129{,}9\ \Omega}$.
• Nel minimo (a $105$ mm): $Z=\dfrac{Z_0}S=25\ \Omega$, quindi $Z_{01}=\dfrac{Z_0}{\sqrt S}=\mathbf{43{,}3\ \Omega}$.

Con generatore adattato ($Z_g=Z_0$): $|V^+|=\dfrac{|V_g|}{2}\Rightarrow|V_g|=2\cdot8=\mathbf{16}$ V. La potenza attiva (e quindi assorbita dal carico) è $P_A=\dfrac{|V^+|^2}{2Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right)=\dfrac{64}{150}\cdot0{,}75=\mathbf{0{,}32}$ W; con l'adattatore salirebbe a $\dfrac{|V_g|^2}{8Z_0}=\dfrac{256}{600}=0{,}427$ W. (Verifica con la parte resistiva del carico: $\tfrac12R_L|I_L|^2=\tfrac12\cdot59{,}8\cdot0{,}1035^2=0{,}32$ W ✓.)

Errori comuni

• Usare $\lambda/2$ per la distanza massimo-minimo: massimo e minimo adiacenti distano $\lambda/4$.
• Calcolare $\varphi_L$ dalla posizione del minimo senza aggiungere $\pi$.
• Dimenticare che $|V_g|=2|V^+|$ vale solo con generatore adattato.