Esercizio 8adattatori a quarto d'onda per un carico complesso (tema d'esame 23 giugno 2025)

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Teoria usata: Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →, Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →.

Preliminari. $\lambda=\dfrac{c_0}f=1$ m. $z_L=\dfrac{100-j100}{50}=2-j2$ e

$$\Gamma_L=\frac{z_L-1}{z_L+1}=\frac{1-j2}{3-j2}=\frac{(1-j2)(3+j2)}{13}=\frac{7-j4}{13}=0{,}538-j0{,}308=0{,}620\,e^{-j29{,}7^\circ}.$$

Il ROS è $S=\dfrac{1+0{,}620}{1-0{,}620}=4{,}27$ (sulla carta: $S\approx4{,}4$).

Quale punto dà $Z_{C1}>Z_C$

Un adattatore inserito in un punto dove l'impedenza vale $R$ reale ha $Z_{C1}=\sqrt{Z_CR}$. Si ha $Z_{C1}>Z_C$ se $R>Z_C$: serve un punto con impedenza reale maggiore di $Z_C$, cioè un massimo di tensione (dove $Z=SZ_C$). Per $Z_{C1}<Z_C$ serve invece un minimo di tensione ($Z=Z_C/S$).

1. Distanza minima del massimo di tensione

$d_M=\dfrac{\varphi_L}{4\pi}\lambda$ con $\varphi_L=-29{,}7^\circ$: $-\dfrac{29{,}7}{720}\lambda=-0{,}0413\lambda<0$, quindi si aggiunge $\dfrac\lambda2$: $d_M=(0{,}5-0{,}0413)\lambda=0{,}4587\lambda=\mathbf{0{,}459}$ m (risposta e). (Il minimo è $\dfrac\lambda4$ prima: $d_m=0{,}2087$ m $=0{,}209$ m, cioè l'opzione d, il punto dove si inserirebbe l'adattatore con $Z_{C1}<Z_C$; un errore di segno su $\varphi_L$ darebbe invece $0{,}041$ m, l'opzione a.)

2. Modulo della tensione nel massimo

$|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma_L|)=10\cdot1{,}620=\mathbf{16{,}2}$ V (risposta b).

3. Minimo del modulo della tensione

$|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma_L|)=10\cdot0{,}380=\mathbf{3{,}80}$ V (risposta b).

4. e 5. Impedenze caratteristiche degli adattatori

• Nel massimo: $Z=SZ_C=4{,}27\cdot50=213{,}3\ \Omega$ (reale), quindi $Z_{C1}=\sqrt{50\cdot213{,}3}=Z_C\sqrt S=50\cdot2{,}066=\mathbf{103{,}3\ \Omega}$ (risposta c, $103\ \Omega$).
• Nel minimo: $Z=\dfrac{Z_C}S=11{,}7\ \Omega$, quindi $Z_{C1}=\sqrt{50\cdot11{,}72}=\dfrac{Z_C}{\sqrt S}=\mathbf{24{,}2\ \Omega}$ (risposta a, $24\ \Omega$).

Verifica del progetto. Con il primo adattatore ($d=0{,}459$ m, $Z_{C1}=103{,}3\ \Omega$): $Z_{in}=\dfrac{Z_{C1}^2}{Z(-d)}=\dfrac{103{,}3^2}{213{,}3}=50\ \Omega$ ✓, $\Gamma_{in}=0$. Dopo l'inserzione a monte $S=1$ e $|V|=10$ V ovunque; fra adattatore e carico resta $S=4{,}27$; nell'adattatore $S_1=\sqrt S=2{,}07$.

Errori comuni

• Dimenticare di sommare $\lambda/2$ quando $d_M$ viene negativo (con $\varphi_L<0$ il primo massimo è più lontano del primo minimo).
• Scambiare le due soluzioni: $Z_{C1}>Z_C$ appartiene al massimo (impedenza $SZ_C$), $Z_{C1}<Z_C$ al minimo.
• Usare $Z_{C1}=\sqrt{Z_CZ_L}$ con $Z_L=100-j100\ \Omega$ (complesso): vale solo per $R$ reale.