Esercizio 4carico 60+j140 con la carta di Smith e con le formule (Moodle)

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Teoria usata: Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →, Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →.

Preliminari. $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^8}=1$ m; $z_L=\dfrac{Z_L}{Z_C}=0{,}6+j1{,}4$.

1. Coefficiente di riflessione sul carico

$$\Gamma_L=\frac{z_L-1}{z_L+1}=\frac{-0{,}4+j1{,}4}{1{,}6+j1{,}4}=\frac{1{,}456\,e^{j105{,}9^\circ}}{2{,}126\,e^{j41{,}2^\circ}}=0{,}685\,e^{j64{,}8^\circ}\ (=0{,}292+j0{,}619).$$

Sulla carta: modulo letto sulla scala del coefficiente di riflessione ($\approx0{,}68$), fase sulla ghiera ($\approx65^\circ$). Il ROS è $S=\dfrac{1+0{,}685}{1-0{,}685}=5{,}35$.

2. Coefficiente di riflessione a $200$ mm

Con $l=200$ mm $=0{,}2\lambda$: $2\beta l=4\pi\cdot0{,}2=144^\circ$. $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}=0{,}685\,e^{j(64{,}8^\circ-144^\circ)}=\mathbf{0{,}685\,e^{-j79{,}2^\circ}}$ (modulo invariato, rotazione oraria).

3. Impedenza a $200$ mm

$z=\dfrac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}=\dfrac{1+0{,}1285-j0{,}6728}{1-0{,}1285+j0{,}6728}=\dfrac{1{,}1285-j0{,}6728}{0{,}8715+j0{,}6728}=0{,}438-j1{,}109$ e quindi $Z=\mathbf{43{,}8-j110{,}9\ \Omega}$ (dalla carta: circa $45-j110\ \Omega$).

4. e 5. Massimo di tensione

$l_M=\dfrac{\lambda}{4\pi}\varphi_L=\dfrac{1000\ \text{mm}\cdot64{,}8^\circ}{720^\circ}=\mathbf{89{,}9}$ mm ($\approx90$ mm; sulla carta: rotazione oraria dal punto fino all'asse reale positivo). Nel punto di massimo la tensione è reale rispetto a $V^+e^{j\beta l_M}$:

$$V(-l_M)=V^+e^{j\beta l_M}\left(1+|\Gamma_L|\right),\quad\beta l_M=\frac{64{,}8^\circ}{2}=32{,}4^\circ,$$

$$V(-l_M)=8\,e^{j30^\circ}\cdot e^{j32{,}4^\circ}\cdot1{,}685=\mathbf{13{,}48\,e^{j62{,}4^\circ}}\ \text{V}.$$

6. Corrente sul carico

$$I_L=\frac{V^+(1-\Gamma_L)}{Z_C}=\frac{8\,e^{j30^\circ}(0{,}708-j0{,}619)}{100}=\frac{8\cdot0{,}9405\,e^{j(30^\circ-41{,}2^\circ)}}{100}=\mathbf{75{,}3\,e^{-j11{,}2^\circ}}\ \text{mA}.$$

(Verifica: $V_L=V^+(1+\Gamma_L)=11{,}46\,e^{j55{,}6^\circ}$ V e $V_L/I_L=152{,}2\,e^{j66{,}8^\circ}=60+j140$ ✓.)

7. e 8. Minimo di tensione

$l_m=l_M+\dfrac\lambda4=89{,}9+250=\mathbf{339{,}9}$ mm ($\approx340$ mm). Qui $\beta l_m=\dfrac{2\pi}{1000}\cdot339{,}9=122{,}4^\circ$ e

$$V(-l_m)=V^+e^{j\beta l_m}\left(1-|\Gamma_L|\right)=8\,e^{j(30^\circ+122{,}4^\circ)}\cdot0{,}315=\mathbf{2{,}52\,e^{j152{,}4^\circ}}\ \text{V}.$$

(Le risposte del corso, ottenute dalla carta: $13{,}44\,e^{j62{,}4^\circ}$ V e $2{,}56\,e^{j152{,}4^\circ}$ V — la lettura della carta dà $|\Gamma_L|=0{,}68$ invece di $0{,}685$.)

Errori comuni

• Dimenticare il fattore di fase $e^{j\beta l}$ (si scrive $V(-l)=V^+e^{j\beta l}(1+\Gamma(-l))$, non solo il modulo): la fase della tensione nel punto di massimo è $\arg V^++\beta l_M$.
• Prendere $2\beta l_M=\varphi_L$ come $\beta l_M=\varphi_L$: nel massimo $\varphi_L-2\beta l_M=0$.
• Dimenticare che la fase di $V$ nel punto di minimo si ottiene con $\beta l_m=\beta l_M+\frac\pi2$.