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Note per Studenti Esercizio 1 · parametri della linea, costante di propagazione e impedenza caratteristica

Esercizio 1parametri della linea, costante di propagazione e impedenza caratteristica

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Testo (esercizio originale sul modello della linea di trasmissione).

(i) Una linea ha, alla frequenza f=200f=200 MHz, i parametri per unità di lunghezza R=0,4 Ω/mR=0{,}4\ \Omega/\text{m}, L=300L=300 nH/m, G=60 μS/mG=60\ \mu\text{S/m}, C=120C=120 pF/m. Calcolare γ=α+jβ\gamma=\alpha+j\beta, l'impedenza caratteristica Z0Z_0, la velocità di fase, la lunghezza d'onda e l'attenuazione in dB su 5050 m. Confrontare con l'approssimazione di linea senza perdite. (ii) Una linea ideale con dielettrico εr=2,25\varepsilon_r=2{,}25 deve avere impedenza caratteristica 75 Ω75\ \Omega. Quanto valgono LL e CC per metro? A f=100f=100 MHz, quanto è lunga la linea se misura 55 m in unità di λ\lambda e quale è il ritardo di propagazione? (iii) In una linea ideale lunga ll cosa vale lo sfasamento βl\beta l per l=λ/8l=\lambda/8, λ/4\lambda/4, λ/2\lambda/2?

Teoria usata: Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazioneuna linea di trasmissionecoppia di conduttori che guida un segnale elettrico come un'onda è una coppia di conduttori il cui comportamento si descrive con quattro parametri per unità di lunghezza: $R$ (perdite nei conduttori), $L$ (energia magnetica), $G$ (perdite nel dielettrico), $C$ (energia elettrica). Scrivendo le leggi di Kirchhoff su un tratto $\Delta z$ e facendo $\Delta z\to0$ si ottengono le equazioni del telegrafo; nel regime sinusoidale diventano $\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I$ e $\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V$, da cui l'equazione d'onda $\frac{d^2V}{dz^2}=\gamma^2V$ con $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$. La soluzione è la somma di un'onda che va verso $+z$ e di una che va verso $-z$: $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$ con impedenza caratteristicarapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva, dipende solo dalla struttura della linea $Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$. Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$ reale, $v_p=1/\sqrt{LC}$, $\lambda=v_p/f$.Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione →, Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

(i) Linea con piccole perdite

Con ω=2π⋅2⋅108=1,2566⋅109\omega=2\pi\cdot2\cdot10^8=1{,}2566\cdot10^9 rad/s:

  • Impedenza per metro: Z=R+jωL=0,4+j 1,2566⋅109⋅300⋅10−9=0,4+j377,0 Ω/mZ=R+j\omega L=0{,}4+j\,1{,}2566\cdot10^9\cdot300\cdot10^{-9}=0{,}4+j377{,}0\ \Omega/\text{m}.
  • Ammettenza per metro: Y=G+jωC=60⋅10−6+j 1,2566⋅109⋅120⋅10−12=6⋅10−5+j0,1508Y=G+j\omega C=60\cdot10^{-6}+j\,1{,}2566\cdot10^9\cdot120\cdot10^{-12}=6\cdot10^{-5}+j0{,}1508 S/m.
  • Le perdite sono piccole: RωL=0,11%\frac{R}{\omega L}=0{,}11\% e GωC=0,04%\frac G{\omega C}=0{,}04\%.

La costante di propagazione è γ=ZY\gamma=\sqrt{ZY}: ZY=(0,4+j377)(6⋅10−5+j0,1508)=−56,85+j0,0829ZY=(0{,}4+j377)(6\cdot10^{-5}+j0{,}1508)=-56{,}85+j0{,}0829 (domina il prodotto delle parti immaginarie, j377⋅j0,1508=−56,85j377\cdot j0{,}1508=-56{,}85; il piccolo termine immaginario 0,08290{,}0829 dà l'attenuazione: α≈0,08292⋅7,54\alpha\approx\frac{0{,}0829}{2\cdot7{,}54}), da cui

γ=0,0055+j7,5398 m−1,α=0,0055 Np/m, β=7,540 rad/m.\gamma=0{,}0055+j7{,}5398\ \text{m}^{-1},\qquad\alpha=0{,}0055\ \text{Np/m},\ \beta=7{,}540\ \text{rad/m}.

L'impedenza caratteristica è Z0=Z/Y=50,0000−j0,0166 Ω≈50 ΩZ_0=\sqrt{Z/Y}=50{,}0000-j0{,}0166\ \Omega\approx50\ \Omega (praticamente reale). La velocità di fase è vp=ωβ=1,2566⋅1097,540=1,667⋅108v_p=\dfrac\omega\beta=\dfrac{1{,}2566\cdot10^9}{7{,}540}=1{,}667\cdot10^8 m/s e la lunghezza d'onda λ=2πβ=0,833\lambda=\dfrac{2\pi}\beta=0{,}833 m (oppure vp/f=1,667⋅1082⋅108=0,833v_p/f=\dfrac{1{,}667\cdot10^8}{2\cdot10^8}=0{,}833 m ✓).

Confronto con la linea ideale. Z0=L/C=300⋅10−9120⋅10−12=50 ΩZ_0=\sqrt{L/C}=\sqrt{\dfrac{300\cdot10^{-9}}{120\cdot10^{-12}}}=50\ \Omega; β=ωLC=7,540\beta=\omega\sqrt{LC}=7{,}540 rad/m, vp=1LC=1,667⋅108v_p=\dfrac1{\sqrt{LC}}=1{,}667\cdot10^8 m/s: identici. L'attenuazione con la formula per piccole perdite: α≈R2Z0+GZ02=0,4100+60⋅10−6⋅502=0,004+0,0015=0,0055\alpha\approx\dfrac R{2Z_0}+\dfrac{GZ_0}2=\dfrac{0{,}4}{100}+\dfrac{60\cdot10^{-6}\cdot50}2=0{,}004+0{,}0015=0{,}0055 Np/m: coincide con il valore esatto.

Attenuazione su 5050 m. In decibel AdB=8,686 αL=8,686⋅0,0055⋅50=2,39A_{dB}=8{,}686\,\alpha L=8{,}686\cdot0{,}0055\cdot50=2{,}39 dB; la potenza che arriva è e−2αL=e−0,55=0,577e^{-2\alpha L}=e^{-0{,}55}=0{,}577, cioè il 57,7%57{,}7\% (10−2,39/10=0,57710^{-2{,}39/10}=0{,}577 ✓).

(ii) Linea ideale con Z0=75 ΩZ_0=75\ \Omega e εr=2,25\varepsilon_r=2{,}25

Velocità di propagazione vp=c0εr=3⋅1081,5=2⋅108v_p=\dfrac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5}=2\cdot10^8 m/s. Dalle due relazioni Z0=L/CZ_0=\sqrt{L/C} e vp=1LCv_p=\frac1{\sqrt{LC}}: Z0vp=1CZ_0v_p=\dfrac{1}{C} e Z0vp=L\dfrac{Z_0}{v_p}=L, quindi

L=Z0vp=752⋅108=375 nH/m,C=1Z0vp=175⋅2⋅108=66,7 pF/m.L=\frac{Z_0}{v_p}=\frac{75}{2\cdot10^8}=375\ \text{nH/m},\qquad C=\frac1{Z_0v_p}=\frac{1}{75\cdot2\cdot10^8}=66{,}7\ \text{pF/m}.

Verifica: 375⋅10−966,7⋅10−12=5625=75 Ω\sqrt{\dfrac{375\cdot10^{-9}}{66{,}7\cdot10^{-12}}}=\sqrt{5625}=75\ \Omega ✓. A 100100 MHz: λ=vpf=2\lambda=\dfrac{v_p}{f}=2 m, quindi la linea di 55 m vale 5λ=2,5λ\dfrac5\lambda=2{,}5\lambda (βl=2,5⋅360∘=900∘\beta l=2{,}5\cdot360^\circ=900^\circ). Il ritardo di propagazione è lvp=52⋅108=25\dfrac{l}{v_p}=\dfrac{5}{2\cdot10^8}=25 ns (e a 100100 MHz il periodo è 1010 ns: 2,52{,}5 periodi ✓).

(iii) Sfasamenti

βl=2πλl\beta l=\dfrac{2\pi}\lambda l: per l=λ8l=\frac\lambda8, βl=π4=45∘\beta l=\frac\pi4=45^\circ; per λ4\frac\lambda4, π2=90∘\frac\pi2=90^\circ; per λ2\frac\lambda2, π=180∘\pi=180^\circ. Ricordando che il coefficiente di riflessione ruota di 2βl2\beta l: 90∘90^\circ, 180∘180^\circ e 360∘360^\circ rispettivamente.

Errori comuni

  • Usare RR e GG come se fossero valori totali della linea: sono per metro.
  • Dimenticare che Z=R+jωLZ=R+j\omega L ha solo la parte immaginaria dominante: R/ωLR/\omega L piccolo giustifica l'approssimazione di linea ideale.
  • Calcolare LL e CC senza usare la velocità di propagazione del dielettrico (vp=c0/εrv_p=c_0/\sqrt{\varepsilon_r}).

Versione ripasso

Testo. Linea con R=0,4 Ω/R=0{,}4\ \Omega/m, L=300L=300 nH/m, G=60 μG=60\ \muS/m, C=120C=120 pF/m a 200 MHz; linea ideale da 75 Ω con εr=2,25\varepsilon_r=2{,}25; sfasamenti.

Teoria collegata