Esercizio 23polarizzazione, tipo e verso di rotazione (temi d'esame ed esercitazione 1)

---

Teoria usata: Polarizzazione delle onde pianela polarizzazione di un'onda piana uniforme è la figura descritta nel tempo, in un punto fissato, dalla punta del vettore $\bar e$ nel piano ortogonale alla propagazione. Con $\bar E=\left(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y\right)e^{-jkz}$ (onda verso $+z$, $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$) si ha $\bar e=\hat xa_x\cos(\omega t-kz)+\hat ya_y\cos(\omega t-kz+\varphi)$. Rettilinea: $\varphi=0$ o $\pi$ (inclinazione costante); circolare: $a_x=a_y$ e $\varphi=\pm\frac\pi2$; ellittica: tutti gli altri casi ($a_x\ne a_y$ e $\varphi\ne0,\pi$, oppure $a_x=a_y$ con $\varphi\neq\pm\frac\pi2$). Il verso si trova con la regola della mano: pollice nel verso di propagazione, le dita indicano il verso di rotazione di $\bar e$ nel tempo; se è la mano destra → destrorsa, sinistra → sinistrorsa. Per $\bar E\propto\hat x+a\hat ye^{j\varphi}$ con $a>0$: $0<\varphi<\pi$ → sinistrorsa; $-\pi<\varphi<0$ → destrorsa; $\varphi=+\frac\pi2$ circolare sinistrorsa $(\hat x+j\hat y)$, $\varphi=-\frac\pi2$ circolare destrorsa $(\hat x-j\hat y)$. Con il rapporto di polarizzazioneparametro complesso che distingue polarizzazione rettilinea, destrorsa e sinistrorsa $p=j\frac{A_y}{A_x}$: $\Re{p}=0$ rettilinea, $\Re{p}>0$ destrorsa, $\Re{p}<0$ sinistrorsa. Un campo rettilineo è la somma di due circolari opposti di ugual ampiezza.Polarizzazione delle onde piane →, Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →.

Metodo. Si scrive $\bar E=\left(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y\right)e^{-jkz}$ (propagazione in $+z$) e si guarda $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$; rettilinea per $\varphi=0,\pm\pi$; circolare per $a_x=a_y$ e $\varphi=\pm\frac\pi2$; ellittica negli altri casi; sinistrorsa se $0<\varphi<\pi$ (rotazione oraria vista con l'onda che arriva), destrorsa se $-\pi<\varphi<0$. Per verificare: a $z=0$ si seguono le posizioni di $\bar e$ in $\omega t=0$ e $\omega t=\frac\pi2$.

1. Ellittica sinistrorsa

$\bar e(0,t)=5\cos\omega t\,\hat x-12\sin\omega t\,\hat y$. In $\omega t=0$: $(5,0)$; in $\omega t=\frac\pi2$: $(0,-12)$: il vettore passa da destra a sotto, rotazione oraria. Componenti di ampiezza diversa: ellittica sinistrorsa (risposta d), con semiassi $12$ (lungo $y$) e $5$ (lungo $x$).

2. Per quale coppia di fasi: ellittica destrorsa

Si calcola $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$ per ogni opzione: b. $\varphi=\frac\pi2$ (sinistrorsa); c. $\varphi=\frac\pi2$ (sinistrorsa); e. $\varphi=\frac\pi2-(-\pi)=\frac{3\pi}2\equiv-\frac\pi2$ (destrorsa); f. $\varphi=-\pi$ (opposizione di fase: rettilinea). Essendo $A_x\ne A_y$ le polarizzazioni con $\varphi=\pm\frac\pi2$ sono ellittiche. La coppia corretta è e. (Nota: la copia del tema in nostro possesso riporta il segno di spunta accanto a f, ma la coppia f dà polarizzazione rettilinea; per la regola del corso la risposta corretta è e. Controllo con il calcolo del verso: $\bar H\propto A_xe^{-j\pi}\hat x+A_ye^{j\pi/2}\hat y=-A_x\hat x+jA_y\hat y$ a $z=0$: $\bar h(\omega t=0)=(-A_x,0)$, $\bar h(\omega t=\frac\pi2)=(0,-A_y)$: da sinistra a sotto = antiorario = destrorsa.)

3. Vettori $\hat d$ e $\hat s$ nel tempo

$\hat d(t)=\Re\{\hat de^{j\omega t}\}=\dfrac1{\sqrt2}(\cos\omega t\,\hat x+\sin\omega t\,\hat y)$: ruota in senso antiorario (circolare destrorsa). $\hat s(t)=\dfrac1{\sqrt2}(\cos\omega t\,\hat x-\sin\omega t\,\hat y)$: orario (circolare sinistrorsa). Nel dominio del tempo il prodotto scalare è $\hat d(t)\cdot\hat s(t)=\dfrac12\left(\cos^2\omega t-\sin^2\omega t\right)=\dfrac12\cos2\omega t$: non nullo (si annulla solo a istanti particolari): i vettori sono ortogonali nel senso complesso ($\hat d\cdot\hat s^*=0$), non istante per istante.

4. $\bar E=(-\hat x+2\hat ye^{j2\pi/3})e^{-jkz}$

A $z=0$: $\bar e(t)=-\cos\omega t\,\hat x+2\cos\left(\omega t+120^\circ\right)\hat y$. Si ha $\varphi_x=\pi$ (perché $-1=e^{j\pi}$), $\varphi_y=\frac{2\pi}3$, $\varphi=\frac{2\pi}3-\pi=-\frac\pi3$. Punti: $\omega t=0$: $(-1;-1)$; $\omega t=\frac\pi4$: $(-0{,}71;-1{,}93)$; $\omega t=\frac\pi2$: $(0;-1{,}73)$; $\omega t=\pi$: $(1;1)$. Il vettore da $(-1,-1)$ a $(-0{,}71,-1{,}93)$ ruota in senso antiorario (il prodotto vettoriale delle posizioni successive è positivo). L'ellisse ha semiassi $2{,}07$ e $0{,}84$, inclinata di circa $73^\circ$ sull'asse $x$. Polarizzazione ellittica destrorsa.

5. $\bar A_1=(4\hat x-3\hat y)e^{-jkz}$

Componenti in opposizione di fase ($\varphi=\pi$): rettilinea. A $z=0$ $\bar a_1(t)=(4\hat x-3\hat y)\cos\omega t$: il vettore oscilla sul segmento da $(4,-3)$ a $(-4,3)$, di lunghezza $10$ ($|\bar a_1|_{max}=5$), con inclinazione $\psi=\arctan\dfrac{-3}4=-36{,}9^\circ$.

6. $\bar A$ e $\bar B=c\bar A$

A $z=0$: $\bar a(t)=\Re\{[(1-j)\hat x+j2\hat y]e^{j\omega t}\}$. In $\omega t=0$: $(1,0)$; in $\omega t=\frac\pi2$: $\Re\{(1-j)j\}=1$, $\Re\{j2\cdot j\}=-2$: $(1,-2)$. Il vettore va da $(1,0)$ verso il basso: rotazione oraria. La fase relativa è $\varphi=\varphi_y-\varphi_x=\frac\pi2-\left(-\frac\pi4\right)=\frac{3\pi}4\in(0,\pi)$: ellittica sinistrorsa (semiassi $2{,}29$ e $0{,}87$). $\bar B=2e^{j\pi/4}\bar A$ ha le stesse fasi relative e quindi la stessa polarizzazione (ellittica sinistrorsa), la stessa ellisse ingrandita di $2$ e traslata nel tempo: $\bar b(t)=2\,\bar a\left(t+\frac{\pi}{4\omega}\right)$. I vettori nel dominio del tempo non sono paralleli in ogni istante: sono lo stesso movimento con un anticipo di $\frac18$ di periodo (paralleli nel piano complesso $\neq$ paralleli nel piano reale).

7. $\bar e=2\cos(\omega t-kz)\hat x+3\sin(\omega t-kz)\hat y$

$\sin(\theta)=\cos\left(\theta-\frac\pi2\right)$: $\varphi=-\frac\pi2$ con $a_x\ne a_y$: ellittica. A $z=0$: $(2,0)$ in $\omega t=0$, $(0,3)$ in $\omega t=\frac\pi2$: da destra a sopra: antiorario: ellittica destrorsa (risposta c).

8. Condizione per la polarizzazione circolare

Servono componenti ortogonali dello stesso campo con uguale ampiezza e sfasate di $\pm\frac\pi2$ ($a_x=a_y$, $\varphi=\pm\frac\pi2$). Non basta una sola delle due condizioni: con ampiezze uguali e $\varphi=0$ o $\pi$ è rettilinea, con sfasamento $\frac\pi2$ e ampiezze diverse è ellittica.

9. $\bar H=(3\hat x+j5\hat z)e^{jky}$

L'esponenziale $e^{+jky}$ indica propagazione verso $-y$; le componenti sono in $x$ e $z$ (trasversali). A $y=0$: $\bar h(t)=3\cos\omega t\,\hat x-5\sin\omega t\,\hat z$ ($\Re\{j5e^{j\omega t}\}=-5\sin\omega t$). In $\omega t=0$: $3\hat x$; in $\omega t=\frac\pi2$: $-5\hat z$. La rotazione, per la regola della mano destra, ha il vettore velocità angolare diretto come $+\hat y$ (da $+x$ a $-z$), opposto alla propagazione ($-\hat y$): con il pollice della mano sinistra lungo $-\hat y$ le dita seguono la rotazione. Ellittica sinistrorsa.

Errori comuni

• Dire circolare ogni campo con $\varphi=\pm\frac\pi2$: servono anche ampiezze uguali.
• Decidere il verso senza riferirsi al verso di propagazione (pollice sulla propagazione, in 9 è $-\hat y$).
• Dimenticare che $\varphi=0,\pm\pi$ dà polarizzazione rettilinea anche se le ampiezze sono diverse.
• Concludere che vettori paralleli nel piano complesso sono paralleli in ogni istante.