Esercizio 13linea con adattatore a quarto d'onda già inserito, frequenza, carico e rapporto d'onda stazionaria (Moodle)

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Teoria usata: Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →, Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →, Problemi inversi - dai massimi e minimi al caricoun problema inverso dà la forma del modulo di $V$ o di $I$ lungo la linea (valori e posizioni di un massimo e di un minimo adiacenti) e chiede di ricostruire frequenza e carico. Metodo: (1) $\lambda=4,|d_M-d_m|$ (massimo e minimo adiacenti distano $\lambda/4$; due minimi consecutivi $\lambda/2$) e $f=v_p/\lambda$; (2) $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{|I|{max}}{|I|{min}}$ e $|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}$; (3) fase: dal primo massimo di $|V|$ a distanza $d_M$ si ha $\varphi_L=\frac{4\pi d_M}{\lambda}$, dal primo minimo $d_m$ si ha $\varphi_L=\pi+\frac{4\pi d_m}{\lambda}$ (un massimo di $|I|$ è un minimo di $|V|$); (4) $Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; (5) $|V^+|=\frac{|V|{max}}{1+|\Gamma|}$ e $\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|{max}+|I|{min}}{2}$; $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|$, $|I_L|=\frac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|$; con generatore adattato $|V_g|=2|V^+|$.Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico →.

1. Frequenza

L'adattatore è lungo $l=\dfrac\lambda4=150$ mm, quindi $\lambda=600$ mm e (linea con $v=c_0$) $f=\dfrac{c_0}\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{0{,}6}=\mathbf{500}$ MHz.

2. Coefficiente di riflessione sul carico

Con la linea a monte adattata, l'adattatore vede alla sua uscita (verso il carico) un'impedenza $R$ reale tale che $Z_{in}=\dfrac{Z_{C1}^2}{R}=Z_C=50\ \Omega$:

$$R=\frac{Z_{C1}^2}{Z_C}=\frac{100^2}{50}=200\ \Omega.$$

A distanza $d$ dal carico l'impedenza è reale e maggiore di $Z_C$: massimo di tensione, $Z(-d)=SZ_C$, quindi $S=\dfrac{200}{50}=\mathbf4$ e $|\Gamma_L|=\dfrac{S-1}{S+1}=\dfrac35=\mathbf{0{,}6}$. Per la fase: un massimo di tensione a $d$ implica $\varphi_L=\dfrac{4\pi d}{\lambda}=4\pi\cdot\dfrac{225}{600}=1{,}5\pi=270^\circ\equiv-90^\circ$. Quindi

$$\Gamma_L=0{,}6\,e^{-j90^\circ}=\mathbf{-j0{,}6}.$$

3. Impedenza di carico

$$z_L=\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}=\frac{1-j0{,}6}{1+j0{,}6}=\frac{(1-j0{,}6)^2}{1+0{,}36}=\frac{0{,}64-j1{,}2}{1{,}36}=0{,}4706-j0{,}8824,$$

cioè $Z_L=50\,z_L=\mathbf{23{,}5-j44{,}1\ \Omega}$ (modulo $50\ \Omega$, un carico capacitivo).

4. Moduli di tensione

La potenza attiva disponibile è $P_A=\dfrac{|V_G|^2}{8Z_C}=\dfrac{144}{400}=0{,}36$ W $=360$ mW e si conserva (adattatore e linea sono senza perdite).

• A monte dell'adattatore ($z=-d-l$): linea adattata, $|V|=\dfrac{|V_G|}2=\mathbf6$ V (costante fino al generatore).
• All'ingresso dell'adattatore verso il carico ($z=-d$): l'impedenza è reale, $R=200\ \Omega$ (massimo di tensione del tratto con il carico), e vale $P_A=\dfrac12\dfrac{|V(-d)|^2}{R}$, da cui $|V(-d)|=\sqrt{2P_AR}=\sqrt{2\cdot0{,}36\cdot200}=\mathbf{12}$ V.
• Sul carico: $|I_L|=\sqrt{\dfrac{2P_A}{R_L}}=\sqrt{\dfrac{0{,}72}{23{,}53}}=174{,}9$ mA e $|V_L|=|Z_L||I_L|=50\cdot0{,}1749=\mathbf{8{,}75}$ V.

(Il valore $12$ V si può anche trovare come $|V^+|(1+|\Gamma_L|)$ con $|V^+|=7{,}5$ V sul carico; infatti $|V_L|=7{,}5\cdot|1-j0{,}6|=7{,}5\cdot1{,}166=8{,}75$ V ✓.)

5. Moduli di corrente

• A monte dell'adattatore: $|I|=\dfrac{6}{50}=\mathbf{120}$ mA.
• A $z=-d$ (punto a $200\ \Omega$): $|I|=\dfrac{12}{200}=\mathbf{60}$ mA (massimo di tensione = minimo di corrente: $|I|_{min}=\dfrac{|V^+|}{Z_C}(1-|\Gamma_L|)=0{,}15\cdot0{,}4=60$ mA ✓).
• Sul carico: $|I_L|=\mathbf{174{,}9}$ mA.

Si noti che la potenza è uguale in tutti i punti: a monte $\frac12\cdot6\cdot0{,}12=0{,}36$ W; in $-d$ $\frac12\cdot12\cdot0{,}06=0{,}36$ W; sul carico $\frac12\cdot23{,}53\cdot0{,}1749^2=0{,}36$ W ✓. L'adattatore trasforma la coppia tensione-corrente ($6$ V, $120$ mA) in ($12$ V, $60$ mA) lasciando invariata la potenza.

6. Rapporto d'onda stazionaria

• A monte dell'adattatore: $S=1$ (linea adattata).
• Dentro l'adattatore (impedenza caratteristica $100\ \Omega$): ai suoi estremi ha $50\ \Omega$ (da un lato) e $200\ \Omega$ (verso il carico). Il rapporto fra l'impedenza reale ai capi e $Z_{C1}$ dà $S_1=\dfrac{200}{100}=\mathbf2$ (e $\dfrac{100}{50}=2$ ✓; $|\Gamma|=\frac13$).
• Fra adattatore e carico: $S=\mathbf4$.

Errori comuni

• Dimenticare che dentro l'adattatore l'impedenza di riferimento per il ROS è $Z_{C1}$ e non $Z_C$.
• Calcolare $\Gamma_L$ dal valore $Z_{C1}/Z_C=2$ invece di $S=\frac{R}{Z_C}=4$: il punto di inserzione ha impedenza $R=Z_{C1}^2/Z_C$.
• Ricavare la fase di $\Gamma_L$ dal minimo invece che dal massimo di tensione (il punto di impedenza maggiore di $Z_C$ è il massimo).