Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico

Nei capitoli precedenti il carico era noto e si calcolava il comportamento della linea. Nei temi d'esame si presenta spesso la situazione opposta: si misura (o si legge da un grafico) l'andamento del modulo di tensione o di corrente lungo la linea, e da lì si vuole ricostruire il carico, la frequenzanumero di oscillazioni al secondo del segnale, legata alla lunghezza d'onda dalla velocità e le tensioni. È possibile perché massimi e minimi contengono tutta l'informazione: la distanza fra loro dà $\lambda$, il loro rapporto dà $|\Gamma|$, la loro posizione dà la fase di $\Gamma_L$ (Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →).

Il metodo, passo per passo

Si assume linea senza perdite con impedenza caratteristicaimpedenza che lega tensione e corrente dell'onda progressiva sulla linea $Z_0$ nota. I dati tipici: il primo massimo di $|V|$ (o di $|I|$) a distanza $d_1$ dal carico con valore $A_1$, il primo minimo a distanza $d_2$ con valore $A_2$.

Passo 1 - Lunghezza d'onda e frequenza. Un massimo e il minimo adiacente distano $\lambda/4$, due massimi (o due minimi) consecutivi distano $\lambda/2$:

$$\lambda=4\,|d_1-d_2|\quad\text{oppure}\quad\lambda=2\,\Delta d_{\text{minimi consecutivi}},\qquad f=\frac{v_p}{\lambda}.$$

Se la costante di propagazionenumero che dà lo sfasamento per metro dell'onda lungo la linea è quella del vuoto $v_p=c_0=3\cdot10^8$ m/s; in un dielettricomateriale isolante tra i due conduttori della linea $v_p=c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$.

Passo 2 - Rapporto d'onda stazionaria e modulo di $\Gamma_L$.

$$S=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{|I|_{max}}{|I|_{min}},\qquad|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}.$$

Passo 3 - Fase di $\Gamma_L$. Un massimo di tensione a distanza $d_M$ soddisfa $\varphi_L-2\beta d_M=2k\pi$, quindi $\varphi_L=2\beta d_M=\dfrac{4\pi d_M}{\lambda}$ (modulo $2\pi$). Un minimo di tensione a distanza $d_m$ soddisfa $\varphi_L-2\beta d_m=(2k+1)\pi$, quindi $\varphi_L=\pi+\dfrac{4\pi d_m}{\lambda}$. Attenzione: se il grafico è della corrente, i massimi di $|I|$ sono i minimi di $|V|$ e viceversa. Le due espressioni danno lo stesso risultato (è un controllo).

Passo 4 - Carico. $\Gamma_L=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e $Z_L=Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$. (Alternativa con la carta di Smithdiagramma circolare che rappresenta le impedenze normalizzate nel piano del coefficiente di riflessione: si traccia la circonferenza a $S$ costante, si parte dal punto di minimo o massimo sull'asse reale e si ruota di $d/\lambda$ verso il carico, in senso antiorario.)

Passo 5 - Tensioni e correnti. Dal massimo di tensione $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$ si ricava $|V^+|$. Con la corrente: $|I|_{max}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1+|\Gamma|)$ e $|I|_{min}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1-|\Gamma|)$, quindi sommando e dividendo per due

$$\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|_{max}+|I|_{min}}{2}.$$

Sul carico $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|$ e $|I_L|=\dfrac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|$. Se il generatore è adattato alla linea ($Z_g=Z_0$), $|V^+|=|V_g|/2$ e quindi $|V_g|=2|V^+|$ (Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|_{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →).

Passo 6 - Adattatori. Nel punto di massimo di $|V|$ l'impedenza è reale $=SZ_0$, nel minimo $=Z_0/S$: un adattatore a quarto d'onda inserito lì ha impedenza caratteristica $Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot SZ_0}=Z_0\sqrt S$ oppure $Z_{01}=Z_0/\sqrt S$ (Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →).

Esempio svolto

Su una linea con $Z_0=50\ \Omega$ si misura che il primo minimo del modulo di tensioneampiezza della tensione in un punto, senza la fase è a $d_m=79$ mm dal carico e vale $3$ V, il primo massimo è a $d_M=16{,}5$ mm e vale $21$ V (linea con la costante di propagazione del vuoto).

1. Frequenza. $\lambda/4=79-16{,}5=62{,}5$ mm, quindi $\lambda=250$ mm e $f=\dfrac{3\cdot10^8}{0{,}25}=1{,}2$ GHz.
2. ROS. $S=\dfrac{21}{3}=7$ e $|\Gamma_L|=\dfrac{7-1}{7+1}=0{,}75$.
3. Fase. $\varphi_L=\dfrac{4\pi\cdot16{,}5}{250}=0{,}829$ rad $=47{,}5^\circ$ (controllo con il minimo: $\pi+\frac{4\pi\cdot79}{250}=\pi+3{,}971=7{,}113$ rad che modulo $2\pi$ dà $0{,}829$ rad: ✓).
4. Carico. $\Gamma_L=0{,}75\,e^{j47{,}5^\circ}=0{,}506+j0{,}553$, quindi $z_L=\dfrac{1{,}506+j0{,}553}{0{,}494-j0{,}553}=0{,}796+j2{,}013$ e $Z_L=39{,}8+j100{,}7\ \Omega$ (circa $40+j100\ \Omega$: un carico induttivocon parte immaginaria positiva, comportamento simile a un induttore, $\varphi_L>0$ ✓).
5. Onda incidente. $|V^+|=\dfrac{21}{1+0{,}75}=12$ V.
6. Impedenza in un punto qualunque, per esempio a $25$ mm dal carico: $\beta l=\dfrac{2\pi}{250}\cdot25=0{,}628$ rad e $z=\dfrac{z_L+j\tan\beta l}{1+jz_L\tan\beta l}=2{,}22-j3{,}15$, cioè $Z=110{,}8-j157{,}5\ \Omega$ (letto sulla carta: circa $105-j160\ \Omega$).

Perché funziona e quando fare attenzione

• La posizione del primo massimo o minimo è definita dal carico verso il generatore: la distanza $d$ che compare nelle formule è sempre la distanza dal carico.
• Se il grafico copre più di un periodo, si usa il primo massimo/minimo e il valore di $\lambda$ si può verificare dal passo fra due massimi successivi.
• Le misure reali non sono mai esatte: per questo i testi d'esame offrono le risposte a gruppi ben distanziati; conviene fare i conti con la calcolatricestrumento di calcolo, accettabile nella prova solo se indicato ma accettare piccole differenze (1-2%) rispetto all'opzione.
• Se sono forniti solo $|V|_{max}$ e $|V|_{min}$ ma non le posizioni, si ricavano $S$, $|\Gamma|$ e $|V^+|$ ma non la fase: serve almeno una posizione.

Errori comuni

• Usare $\varphi_L=4\pi d/\lambda$ con un minimo di tensione senza aggiungere $\pi$ (o con un massimo di corrente scambiato per massimo di tensione).
• Dire $\lambda=2|d_M-d_m|$: massimo e minimo adiacentivicini senza altri massimi o minimi in mezzo distano $\lambda/4$, non $\lambda/2$.
• Dimenticare $Z_0$ quando si passa dalle correnti alle tensioni: $|V^+|=Z_0\,\dfrac{|I|_{max}+|I|_{min}}{2}$ (per le tensioni, invece, $|V^+|=\dfrac{|V|_{max}+|V|_{min}}{2}$).
• Non convertire le distanze in metri (o tutte in millimetri) prima di usare $\lambda$.