Esercizio 2coefficiente di riflessione e impedenza lungo la linea (esercitazioni A e B)

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Teoria usata: Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →, Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →.

(a) Modulo del coefficiente di riflessione

Il modulo di $\Gamma$ è lo stesso in tutti i punti di una linea senza perdite (cambia solo la fase): quindi si può calcolare con l'impedenza in qualsiasi punto,

$$\Gamma(-l)=\frac{z(-l)-1}{z(-l)+1}=\frac{-0{,}2+j}{1{,}8+j}=\frac{(-0{,}2+j)(1{,}8-j)}{1{,}8^2+1}=\frac{0{,}64+j2}{4{,}24}=0{,}151+j0{,}472.$$

$$|\Gamma_L|=|\Gamma(-l)|=\sqrt{0{,}151^2+0{,}472^2}=0{,}495\approx\mathbf{0{,}5}.$$

(Sulla carta di Smith: la distanza del punto dal centro.)

(b) Modulo della tensione riflessa

$\Gamma_L=\dfrac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\dfrac{100-50}{150}=\dfrac13$ (reale). La fase di $V^+$ non conta per il modulo: $|V^-|=|\Gamma_L||V^+|=\dfrac13\cdot6=\mathbf2$ V.

(c) Il carico dalla impedenza a $\lambda/4$

$\lambda=\dfrac{c_0}f=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^8}=1$ m e $l=250$ mm $=\dfrac\lambda4$ ($\beta l=90^\circ$). Dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata è l'inversa: $z(-\lambda/4)=\dfrac1{z_L}$, quindi

$$z_L=\frac1{z(-l)}=\frac1{0{,}6-j0{,}8}=\frac{0{,}6+j0{,}8}{0{,}36+0{,}64}=\mathbf{0{,}6+j0{,}8}.$$

(Sulla carta di Smith: dal punto $0{,}6-j0{,}8$ ci si sposta di $\lambda/4$ verso il carico, cioè si passa al punto diametralmente opposto, che dà $0{,}6+j0{,}8$.)

(d) Impedenza a $\lambda/4$ e $\lambda/2$

$z_L=\dfrac{100+j50}{50}=2+j$. A $\lambda/4$: $z=\dfrac1{2+j}=\dfrac{2-j}{5}=0{,}4-j0{,}2$, cioè $Z=\mathbf{20-j10\ \Omega}$ (da induttivo a capacitivo). A $\lambda/2$ ($\beta l=\pi$, periodo dell'impedenza): $z=z_L$, cioè $Z=\mathbf{100+j50\ \Omega}$.

(e) Casi tipici con $Z_0=75\ \Omega$

Per il condensatore $Z_L=-j75$: $\Gamma_L=\dfrac{-j75-75}{-j75+75}=\dfrac{-75(1+j)}{75(1-j)}=-\dfrac{1+j}{1-j}=-\dfrac{(1+j)^2}{2}=-j$: modulo $1$ e fase $-90^\circ$. Nei casi $\pm0{,}5$ il rapporto d'onda stazionario è $S=\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3$ (e infatti $\frac{225}{75}=3=\frac{75}{25}$).

Errori comuni

• Calcolare $|\Gamma|$ con $z$ non normalizzata: $\Gamma=\dfrac{z-1}{z+1}$ vale solo con $z=Z/Z_0$.
• Pensare che $\Gamma$ cambi modulo lungo la linea: cambia solo la fase.
• Applicare la regola del quarto d'onda con una linea lunga $\lambda/8$ o $3\lambda/8$: $z\to1/z$ vale solo a $\lambda/4$ (e multipli dispari).