Riflessione e rifrazione tra due dielettrici

** da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$. -->

Un'onda piana che incontra una superficie di separazione fra due mezzi in parte si riflette e in parte passa nel secondo mezzo: succede esattamente come per un'onda di tensione che incontra una discontinuità di impedenza caratteristica lungo una linea. Il parallelo è completo e permette di riusare tutto (Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →).

Condizioni di continuità

Fra due mezzi (1 e 2, con $\varepsilon_1,\mu_1,\sigma_1$ e $\varepsilon_2,\mu_2,\sigma_2$), indicando con $\hat n$ la normale alla superficie, le equazioni di Maxwell impongono

$$\hat n\cdot(\bar D_1-\bar D_2)=\rho_S,\quad\hat n\cdot(\bar B_1-\bar B_2)=0,\quad\hat n\times(\bar E_1-\bar E_2)=0,\quad\hat n\times(\bar H_1-\bar H_2)=\bar J_S,$$

con $\rho_S$ e $\bar J_S$ densità di carica e di corrente superficiali. All'interfacciasuperficie di separazione fra due mezzi fra due dielettrici ideali non ci sono cariche libere né correnti superficiali: sono continue le componenti normali di $\bar D$ e $\bar B$ e le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$. Fra un dielettrico e un conduttore idealeconduttore perfetto con conducibilità infinita, in cui il campo è nullo ($\sigma\to\infty$, campo nullo dentro): $\hat n\times\bar E_1=0$, $\hat n\cdot\bar D_1=\rho_S$, $\hat n\times\bar H_1=\bar J_S$ (Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfettoper incidenza normale da un dielettrico (impedenza $\eta_1$) su un buon conduttore ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) l'onda trasmessa è $E_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$, $R_{s2}=\sqrt{\frac{\pi f\mu_2}{\sigma_2}}$; il coefficiente di riflessione è $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}$, con modulo vicinissimo a $1$ ($R_s\ll\eta_1$): per $\sigma=10^7$ S/m e $f=10$ GHz $R_s=0{,}063\ \Omega$ e viene riflesso il $99{,}93%$ della potenza; a frequenze ottiche ($2\cdot10^{14}$ Hz) $R_s=8{,}9\ \Omega$ e si riflette solo il $91%$ (si perde circa il $10%$ a ogni riflessione). Per il conduttore perfetto ($\sigma\to\infty$, $\delta_s=0$): $\Gamma=-1$, $E_0^t=0$, $E_0^r=-E_0^i$, il campo magnetico tangente raddoppia ed è la corrente superficiale: $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Nel mezzo $1$ l'onda è puramente stazionaria: $\bar E_1=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z$, $\bar H_1=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$; nodi di $E$ (ventri di $H$) in $z=-N\frac{\lambda_1}2$ (compresa l'interfaccia), ventri di $E$ (nodi di $H$) in $z=-(2N+1)\frac{\lambda_1}4$.Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto →).

Incidenza normale: coefficienti di riflessione e trasmissione

Un'onda piana con campo elettricocampo che esercita forze sulle cariche, misurato in volt al metro lungo $\hat x$ incide lungo $\hat z$ dal mezzo 1 ($z<0$) sul mezzo 2 ($z>0$); i mezzi sono senza perdite, con $k_i=\omega\sqrt{\mu_i\varepsilon_i}$ e $\eta_i=\sqrt{\mu_i/\varepsilon_i}$. I campi sono

• incidente: $\bar E^i=\hat xE_0^ie^{-jk_1z}$, $\bar H^i=\hat y\dfrac{E_0^i}{\eta_1}e^{-jk_1z}$;
• riflesso (verso $-z$): $\bar E^r=\hat xE_0^re^{+jk_1z}$, $\bar H^r=-\hat y\dfrac{E_0^r}{\eta_1}e^{+jk_1z}$;
• trasmesso: $\bar E^t=\hat xE_0^te^{-jk_2z}$, $\bar H^t=\hat y\dfrac{E_0^t}{\eta_2}e^{-jk_2z}$.

Qui $E_0^i,E_0^r,E_0^t$ sono le ampiezze sulla superficie $z=0$. Le componenti tangenti ($\bar E$ e $\bar H$ sono già tangenti) sono continue in $z=0$:

$$E_0^i+E_0^r=E_0^t,\qquad\frac{E_0^i}{\eta_1}-\frac{E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}.$$

Risolvendo (si sostituisce $E_0^t$ nella seconda: $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^i+E_0^r}{\eta_2}$, cioè $E_0^i(\eta_2-\eta_1)=E_0^r(\eta_2+\eta_1)$):

$$\boxed{\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1},\qquad\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}=1+\Gamma}$$

Per dielettrici non magnetici ($\mu_1=\mu_2=\mu_0$): $\eta_i=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{ri}}}=\dfrac{\eta_0}{n_i}$ e quindi

$$\Gamma=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}.$$

È la stessa formula di $\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$ con $Z_0\to\eta_1$ e $Z_L\to\eta_2$ (il secondo mezzo si comporta come un carico di impedenza $\eta_2$). Si noti il verso: se l'onda va da un mezzo meno denso a uno più densocon indice di rifrazione maggiore ($n_2>n_1$), $\Gamma<0$: la riflessa è in opposizione di fasesfasamento di 180 gradi fra due onde; se va verso un mezzo meno densocon indice di rifrazione minore, $\Gamma>0$.

Esempio: aria-vetro. $n_1=1$, $n_2=1{,}5$ ($\varepsilon_r=2{,}25$): $\Gamma=\dfrac{1-1{,}5}{1+1{,}5}=-0{,}2$. La frazione di potenza riflessa è $|\Gamma|^2=0{,}04$: il $4\%$ (la riflessioneritorno di parte dell'onda nel primo mezzo quando incontra la superficie di separazione di una lastra di vetro).

Il campo nel mezzo 1: onda parzialmente stazionaria

Nel mezzo 1 coesistono incidente e riflessa. Con $\Gamma=|\Gamma|e^{j\varphi_\Gamma}$:

$$\bar E_1(z)=\hat xE_0^ie^{-jk_1z}\left[1+|\Gamma|e^{j\varphi_\Gamma}e^{+2jk_1z}\right],\qquad\bar H_1(z)=\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}e^{-jk_1z}\left[1-|\Gamma|e^{j\varphi_\Gamma}e^{+2jk_1z}\right].$$

I moduli ($z\le0$) sono $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+|\Gamma|e^{j(\varphi_\Gamma+2k_1z)}\right|$ e $|\bar H_1|=\dfrac{E_0^i}{\eta_1}\left|1-|\Gamma|e^{j(\varphi_\Gamma+2k_1z)}\right|$: stessa struttura dei moduli di $V$ e $I$ sulla linea (nell'asse $z<0$, $l=-z$). Quindi:

• massimi di $|E|$ (e minimi di $|H|$) per $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ con $z_{MAX}\le0$: $|\bar E_1|_{MAX}=E_0^i(1+|\Gamma|)$ e $|\bar H_1|_{min}=\dfrac{E_0^i}{\eta_1}(1-|\Gamma|)$;
• minimi di $|E|$ (e massimi di $|H|$) per $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$: $|\bar E_1|_{min}=E_0^i(1-|\Gamma|)$ e $|\bar H_1|_{MAX}=\dfrac{E_0^i}{\eta_1}(1+|\Gamma|)$.

Due massimi consecutivi distano $\lambda_1/2$ (con $\lambda_1=\dfrac{2\pi}{k_1}=\dfrac{c_0}{n_1f}$), un massimo e un minimo $\lambda_1/4$. Caso $\Gamma>0$ ($\varphi_\Gamma=0$, $n_1>n_2$): in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$ (e un minimo di $|H|$) e il primo minimo di $|E|$ è a $z=-\lambda_1/4$. Caso $\Gamma<0$ ($\varphi_\Gamma=\pi$, $n_1<n_2$): in $z=0$ c'è un minimo di $|E|$ e il primo massimo è a $z=-\lambda_1/4$. Il rapporto d'onda stazionariarapporto fra il massimo e il minimo del modulo del campo lungo il mezzo 1 $S=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è definito come per le linee.

Potenza

La densità di potenza attiva incidente è $S_i=\dfrac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, la riflessa $S_r=|\Gamma|^2S_i$ e la trasmessaparte dell'onda che passa nel secondo mezzo $S_t=\dfrac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}$. Nel mezzo 1 il flusso netto è la differenza $S_i-S_r=S_i(1-|\Gamma|^2)$, costante in $z$, e per la continuità delle componenti tangenti coincide con $S_t$: la potenza si conserva:

$$S_t=S_i\left(1-|\Gamma|^2\right).$$

Esempi

Esempio 1. Un'onda a $6$ GHz incide da un dielettrico con $n_1=1{,}5$ su uno con $n_2=2$ (non magneticicon permeabilità magnetica uguale a quella del vuoto), $E_0^i=3$ mV/m. $\Gamma=\dfrac{1{,}5-2}{1{,}5+2}=-0{,}143$ e $\tau=1+\Gamma=0{,}857$. $\eta_1=\dfrac{377}{1{,}5}=251$ $\Omega$: $S_i=\dfrac{(3\cdot10^{-3})^2}{2\cdot251}=17{,}9$ nW/m²; $S_r=0{,}0204\cdot17{,}9=0{,}37$ nW/m²; $S_t=17{,}5$ nW/m². $\lambda_1=\dfrac{c_0}{n_1f}=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5\cdot6\cdot10^9}=33{,}3$ mm. In $z=0$: $|E|=E_0^i(1+\Gamma)=2{,}57$ mV/m (un minimo, perché $\Gamma<0$). Il primo massimo è a $-\lambda_1/4=-8{,}33$ mm con $|E|_{MAX}=E_0^i(1+|\Gamma|)=3{,}43$ mV/m; il successivo minimo a $-\lambda_1/2=-16{,}7$ mm (valore $2{,}57$ mV/m).

Esempio 2 (tema d'esame): dove sta il minimo. $\varepsilon_{r1}=4$, $\varepsilon_{r2}=2{,}25$, $f=12$ GHz. $n_1=2$, $n_2=1{,}5$: $\Gamma=\dfrac{2-1{,}5}{3{,}5}=\dfrac17>0$: massimo in $z=0$. $\lambda_1=\dfrac{3\cdot10^8}{2\cdot12\cdot10^9}=12{,}5$ mm, quindi il minimo più vicino è a $z_{min}=-\dfrac{\lambda_1}4=-3{,}125$ mm. Se invece $\varepsilon_{r1}=2{,}25$ e $\varepsilon_{r2}=4$ a $16$ GHz: $\Gamma=-\dfrac17<0$, $\lambda_1=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5\cdot16\cdot10^9}=12{,}5$ mm: minimo in $z=0$ e il massimo più vicino a $-3{,}125$ mm.

Esempio 3 (tema d'esame): campo incidente dal campo totale. Il campo totale in $z=0$ è $E_0^t=E_0^i(1+\Gamma)$. Con $\varepsilon_{r1}=6{,}25$, $\varepsilon_{r2}=2{,}25$: $\Gamma=\dfrac{2{,}5-1{,}5}{2{,}5+1{,}5}=0{,}25$; se $E(0)=10$ V/m allora $E_0^i=\dfrac{10}{1{,}25}=8$ V/m. Con $\varepsilon_{r1}=4$, $\varepsilon_{r2}=2{,}25$: $1+\Gamma=\dfrac87$ e $E(0)=8$ V/m dà $E_0^i=7$ V/m.

Esempio 4 (tema d'esame): campo a distanza $d$. $\varepsilon_{r1}=9$, $\varepsilon_{r2}=4$, $f=5$ GHz, $E(0)=12$ V/m, punto $z=-d=-5$ mm. $\Gamma=\dfrac{3-2}{3+2}=0{,}2$, $E_0^i=\dfrac{12}{1{,}2}=10$ V/m, $\lambda_1=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot5\cdot10^9}=20$ mm, quindi $d=\dfrac{\lambda_1}4$ e $2k_1d=\pi$. Allora $|E(-d)|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{-j\pi}\right|=E_0^i(1-\Gamma)=10\cdot0{,}8=8$ V/m (è proprio un minimo).

Esempio 5: campo riflesso nel tempo. Un'onda $\bar e_i(z,t)=3\cos(\omega t-kz+60^\circ)\hat x$ V/m incide con $\Gamma=-0{,}3$ in $z=0$. La riflessa ha ampiezza $|\Gamma|\cdot3=0{,}9$ V/m e, essendo $\Gamma$ negativo, fase aggiuntiva $\pi$: $\bar e_r(z,t)=0{,}9\cos(\omega t+kz+240^\circ)\hat x$ V/m (cioè $-0{,}9\cos(\omega t+kz+60^\circ)$).

Errori comuni

• Scambiare il verso: $\Gamma=\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}$, con il secondo mezzo come "carico"; da $n_1$ a $n_2$ è $\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$ (il rapporto con gli indici ha l'ordine opposto, perché $\eta\propto1/n$).
• Usare $\lambda_0$ invece di $\lambda_1=\lambda_0/n_1$ per le distanze di massimi e minimi.
• Dimenticare che $E(0)$ (campo totale) $=E_0^i(1+\Gamma)$, non $E_0^i$.
• Sbagliare il caso: se $\Gamma>0$ il massimo di $E$ è sull'interfaccia; se $\Gamma<0$ il minimo.