Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione

** (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La **direttività** è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F\,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il **guadagno** è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il **rendimento** $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60\,G\,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$. -->

Un'antenna non irradia in modo uguale in tutte le direzioni, e non tutta la potenza che le viene fornita viene irradiata. Per descrivere queste due proprietà e inserirle in un collegamento (formula di Friis, Area efficace, antenne a parabola e formula di Friisl'area efficace di un'antenna ricevente è $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}$ (potenza ricevuta nelle condizioni di massimo diviso la densità di potenza incidente $S_i=\frac{|E_i|^2}{2\eta}$), quindi $P_{rec}=A_eS_{MAX}=A_e\frac{GP_t}{4\pi R^2}$. Per il teorema di reciprocitàscambiando generatore e carico in un sistema lineare la corrente letta resta la stessa $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. Antenne filiformi: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$.Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis →) servono pochi parametri. Si lavora in campo lontano (Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontanoil dipolo elementare è un elemento di corrente $I$ costante, di lunghezza infinitesima $\Delta z$, posto nell'origine lungo $\hat z$: è la soluzione base da cui si ricavano i campi di qualsiasi antenna (per sovrapposizione). In coordinate sferiche $(R,\theta,\varphi)$ il campo è $\bar H=H_\varphi\hat\varphi$, $\bar E=E_\theta\hat\theta+E_R\hat R$. Nel campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta,\frac{e^{-jkR}}{R}$, $E_R\approx0$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}{\eta}$: onda sferica localmente piana, con $|E|\propto\frac{\sin\theta}{R}$. Densità di potenza media $S(R,\theta)=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta$, con $S_{max}=S_0\approx15\pi\frac{|I|^2}{R^2}\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ W/m². Potenza irradiata (attiva) $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ indipendente da $R$; la potenza reattiva decade come $\frac1{(kR)^3}$ ed è trascurabile se $R\gg\lambda$. Nel piano $xy$ ($\theta=90^\circ$) il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni (omnidirezionale), lungo l'asse $z$ non irradia.Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano →).

Intensità di radiazione normalizzata e diagramma

Si fissa una distanza $R$ grande e si considera la densità di potenza $S(R,\theta,\varphi)$ nelle diverse direzioni. L'intensità di radiazione normalizzata è

$$F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}\qquad(0\le F\le1,\ \text{indipendente da }R).$$

Per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$ (Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontanoil dipolo elementare è un elemento di corrente $I$ costante, di lunghezza infinitesima $\Delta z$, posto nell'origine lungo $\hat z$: è la soluzione base da cui si ricavano i campi di qualsiasi antenna (per sovrapposizione). In coordinate sferiche $(R,\theta,\varphi)$ il campo è $\bar H=H_\varphi\hat\varphi$, $\bar E=E_\theta\hat\theta+E_R\hat R$. Nel campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta,\frac{e^{-jkR}}{R}$, $E_R\approx0$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}{\eta}$: onda sferica localmente piana, con $|E|\propto\frac{\sin\theta}{R}$. Densità di potenza media $S(R,\theta)=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta$, con $S_{max}=S_0\approx15\pi\frac{|I|^2}{R^2}\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ W/m². Potenza irradiata (attiva) $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ indipendente da $R$; la potenza reattiva decade come $\frac1{(kR)^3}$ ed è trascurabile se $R\gg\lambda$. Nel piano $xy$ ($\theta=90^\circ$) il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni (omnidirezionale), lungo l'asse $z$ non irradia.Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano →). Il diagramma di radiazione è il grafico di $F$: in 3D, oppure in sezioni 2D fissando un angolo ($\varphi=0$: piano $xz$; $\varphi=90^\circ$: piano $yz$; $\theta=90^\circ$: piano $xy$). Per le antenne molto direttive si usa la scala in decibel $F_{dB}=10\log_{10}F$. Il gruppo di direzioni in cui si emette la maggior parte della potenza è il lobo principalegruppo di direzioni in cui l'antenna irradia la maggior parte della potenza; i massimi relativi più piccoli sono i lobi secondarimassimi relativi più piccoli del diagramma, in direzioni non volute (indesiderati nei collegamenti punto-puntocollegamento fra due antenne fisse e puntate l'una verso l'altra, perché disperdono potenza dove non c'è il ricevitore). L'ampiezza del lobo a $F=\frac12$ ($-3$ dB) è l'apertura a metà potenzalarghezza angolare del lobo principale fra i punti in cui la potenza scende a metà: per il dipolo, $\sin^2\theta=\frac12$ dà $\theta=45^\circ$ e $135^\circ$, cioè $90^\circ$.

La figura è la sezione in un piano che contiene l'asse del dipolo (verticale): due lobi uguali perpendicolari all'asse, nulli lungo l'asse. In tre dimensioni è una ciambella attorno all'asse.

Direttività

La direttività $D$ è il rapporto fra il massimo dell'intensità di radiazione normalizzatadensità di potenza a distanza fissata divisa per il suo valore massimo ($F_{MAX}=1$ per definizione) e il suo valor medio sulla sfera:

$$D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F(\theta,\varphi)\,d\Omega}\ \ge1.$$

Un'antenna isotropa (stessa intensità in tutte le direzioni) avrebbe $D=1$, ma non esiste. Per il dipolo elementare ($F=\sin^2\theta$, $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$): $\iint F\,d\Omega=2\pi\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=2\pi\cdot\frac43=\frac{8\pi}3$, quindi

$$D=\frac{4\pi}{8\pi/3}=\frac32=1{,}5\qquad(D_{dB}=10\log_{10}1{,}5=1{,}76\ \text{dB}).$$

Formula equivalente. Poiché $S=S_{MAX}F$ e la potenza irradiata è $P_{rad}=\iint S\,R^2d\Omega=S_{MAX}R^2\iint F\,d\Omega$, risulta

$$\boxed{D=\frac{4\pi R^2\,S_{MAX}}{P_{rad}}=\frac{S_{MAX}}{P_{rad}/(4\pi R^2)}}$$

cioè $D$ è il rapporto fra la densità di potenza massima e quella che avrebbe un'antenna isotropaantenna ideale che irradia la stessa intensità in tutte le direzioni, con direttività 1 con la stessa potenza irradiata ($\frac{P_{rad}}{4\pi R^2}$).

Guadagno e rendimento

La direttivitàrapporto fra il massimo e il valor medio dell'intensità di radiazione, mai minore di 1 è matematicamente ben definita ma difficile da misurare (bisognerebbe misurare $S$ su tutta una sfera). Una grandezza facile da misurare è la potenza di alimentazionepotenza attiva che entra ai morsetti dell'antenna $P_t$ ai morsettipunti in cui l'antenna è collegata alla linea di alimentazione dell'antenna (basta misurare tensione e corrente). Si definisce il guadagno (in potenza)

$$G=\frac{4\pi R^2\,S_{MAX}}{P_t}.$$

Non tutta la potenza fornita viene irradiata: una parte si dissipa nei conduttori. Il rendimento è $\xi=\dfrac{P_{rad}}{P_t}\le1$, e quindi

$$\boxed{G=\xi D}$$

Un'antenna poco direttiva e di cattivo rendimentorapporto fra potenza irradiata e potenza fornita all'antenna ha guadagnorapporto fra la densità di potenza massima e quella di un'antenna isotropa alimentata con la stessa potenza di alimentazione basso (anche dell'ordine di 1); una molto direttiva e di buon rendimento ha guadagno elevato (anche decine di dB, come le parabole). Le prime sono adatte a broadcasttrasmissione diffusa verso molti ricevitori in tutte le direzioni (illuminano settori angolari ampi o 360° nel piano: il dipolo, i ricevitori mobili insensibili alla direzione), le seconde ai collegamenti punto-punto fissi (ponti radio, satelliti).

Noti $G$ e $P_t$: $S_{MAX}=\dfrac{G\,P_t}{4\pi R^2}$ e, poiché $S_{MAX}=\dfrac{|E_{MAX}|^2}{2\eta}$ (Vettore di Poynting e potenza dell'onda pianail valor medio nel tempo del quadrato di una grandezza sinusoidale di fasore $E$ è $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$ (per un vettore $\frac12\bar E\cdot\bar E^$). Il vettore di Poynting complesso è $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^$ (W/m²): la sua parte reale $\Re{\bar S}$ è la densità di potenza attiva media, con la direzione in cui l'onda trasporta potenza. Il bilancio di potenza dice che la potenza erogata dalle sorgenti uguaglia il flusso uscente più la potenza dissipata nei conduttori ($\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$) e nei dielettrici e materiali magnetici con perdite, più i termini reattivi. Per un'onda piana uniforme in un mezzo senza perdite $\bar S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat k=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat k$ (reale: l'onda trasporta solo potenza attiva); nel vuoto $S=\frac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}$, quindi $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m². Con un'onda incidente e una riflessa il flusso netto è $\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana →), il campo nella direzione di massimo è

$$|E_{MAX}(R)|=\sqrt{2\eta S_{MAX}}=\frac1R\sqrt{\frac{\eta\,G\,P_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60\,G\,P_t}}{R}\quad(\text{nel vuoto, }\eta=120\pi).$$

Esempio. Un'antenna con $G=3$ dB ($\approx2$) alimentata con $P_t=10$ W: a $R=10$ m $|E_{MAX}|=\dfrac{\sqrt{60\cdot2\cdot10}}{10}=\dfrac{\sqrt{1200}}{10}=3{,}46$ V/m. Al contrario, se a $R=100$ m si misura $|E_{MAX}|=0{,}3$ V/m con $P_t=5$ W, $G=\dfrac{(|E|R)^2}{60P_t}=\dfrac{30^2}{60\cdot5}=3$. Se un'antenna con $G=6$ dB ($3{,}98$) produce $0{,}1$ V/m a $100$ m: $P_t=\dfrac{(0{,}1\cdot100)^2}{60\cdot3{,}98}=0{,}419$ W (con $G\approx4$: $0{,}417$ W).

Resistenza di radiazione

Nello schema equivalente di un'antenna in trasmissione (vista ai morsetti) si hanno una resistenza di radiazione $R_{rad}$, una resistenza di dissipazioneresistenza che rappresenta le perdite nei conduttori e nel dielettrico dell'antenna $R_{diss}$ (perdite nei conduttori e nel dielettrico) e una reattanza $jX$ (potenza reattiva immagazzinata nel campo vicino), tutte percorse dalla corrente $I$:

$$P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2,\qquad P_t=\frac12\left(R_{rad}+R_{diss}\right)|I|^2,\qquad\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}.$$

$R_{rad}$ è il valore della resistenza (fittizia) che dissiperebbe una potenza uguale alla potenza irradiata se la attraversasse la corrente $I$. Per il dipolo elementare $P_{rad}=\dfrac\pi3\eta|I|^2\left(\dfrac{\Delta z}\lambda\right)^2$ dà $R_{rad}=\dfrac{2\pi}{3}\eta\left(\dfrac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$, molto piccola perché $\Delta z/\lambda\ll1$. Per il dipolo a mezz'onda $R_{rad}\approx72\ \Omega$ (Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'ondaper una distribuzione di corrente arbitraria $I(z)$ su un filo di lunghezza $l$ il campo lontano è $E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)e^{jkz\cos\theta}dz$. In un'antenna filiforme sottile la corrente segue la legge di una linea aperta: $I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}$ (nulla agli estremi, $I_0$ al centro). Dipolo corto ($l\ll\lambda$): corrente triangolare $I_0(1-\frac{2|z|}l)$, integrale $=I_0\frac l2$: è la realizzazione fisica del dipolo elementare con $I\Delta z\to I_0\frac l2$; $F=\sin^2\theta$, $D=1{,}5$, $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2$, $R_{rad}=\frac{2\pi}3\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2$ (piccola: rendimento basso). Dipolo a mezz'onda ($l=\lambda/2$): $I(z)=I_0\cos\beta z$, $D\simeq1{,}64$ (2,15 dB), $R_{rad}\simeq72\ \Omega$, diagramma poco diverso da quello del dipolo elementare, rendimento molto alto (circa $0{,}98$). Oltre $\lambda/2$ non si guadagna direttività: per $l\approx\lambda$ la corrente in ingresso tende a zero, per $l>\lambda$ compaiono correnti negative e il diagramma si deforma. Un'antenna su un suolo a conducibilità infinita lunga $l/2$ irradia sopra il suolo come una di lunghezza $l$ nel mezzo uniforme.Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda →). Dalla relazione $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$: $R_{diss}=R_{rad}\dfrac{1-\xi}{\xi}$ e $R_{rad}=R_{diss}\dfrac{\xi}{1-\xi}$. Una piccola resistenza di radiazione è un problema perché la $R_{diss}$, anche piccola, la sovrasta: il rendimento è basso.

Esempi numerici

1. Direttività da guadagno e rendimento. $G=9$ dB $(7{,}94)$ e $\xi=0{,}8$: $D=\dfrac G\xi=9{,}93\ (9{,}97$ dB$)$.
2. Rendimento da dB. $G=8$ dB e $D=10$ dB: $\xi=\dfrac GD=10^{(8-10)/10}=0{,}63$.
3. Resistenza di radiazione. $R_{diss}=0{,}15\ \Omega$ e $\xi=0{,}95$: $R_{rad}=0{,}15\cdot\dfrac{0{,}95}{0{,}05}=2{,}85\ \Omega$.
4. Guadagno dal campo. $P_t=417$ mW, $R=100$ m, $|E_{MAX}|=0{,}1$ V/m: $G=\dfrac{(0{,}1\cdot100)^2}{60\cdot0{,}417}=4{,}0\to6{,}01$ dB.
5. Antenna a mezz'onda a $2{,}441$ GHz (WiFi). $R_{rad}=72\ \Omega$, $\xi=0{,}976$, $I_0=100$ mA: $P_{rad}=\tfrac12\cdot72\cdot0{,}1^2=360$ mW, $P_t=\dfrac{P_{rad}}{\xi}=369$ mW, $R_{diss}=72\cdot\dfrac{0{,}024}{0{,}976}=1{,}77\ \Omega$. Irradia quasi cento volte l'esempio del dipolo corto con la stessa corrente.

Errori comuni

• Confondere guadagno e direttività: $G=\xi D$ (coincidono solo se $\xi=1$); la direttività riguarda la potenza irradiata, il guadagno la potenza fornita.
• Usare $G$ in dB nelle formule: va convertito in rapporto ($G=10^{G_{dB}/10}$).
• Dimenticare il fattore $\frac12$ in $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$ (ampiezza di picco).
• Dire che un'antenna "amplifica": il guadagno è solo una ridistribuzione della stessa potenza nello spazio, non un aumento.