Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS

** (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I **massimi** di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i **minimi** (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il **rapporto d'onda stazionaria** $S=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi. -->

Il comportamento di tensione e corrente lungo una linea senza perdite dipende da quanto viene riflesso dal carico, cioè da $|\Gamma_L|$. Si parte da $V(-l)=V^+e^{j\beta l}\left[1+\Gamma(-l)\right]$ e $I(-l)=\dfrac{V^+}{Z_0}e^{j\beta l}\left[1-\Gamma(-l)\right]$ con $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →). I moduli sono

$$|V(-l)|=|V^+|\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|,\qquad|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|.$$

Il termine $|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}$ è un vettore nel piano complesso che parte, sul carico, con fase $\varphi_L$ e poi ruota a modulo costante al crescere di $l$. Il modulo di $1+\text{(quel vettore)}$ è la distanza tra il punto $-1$ e la punta del vettore: va da un massimo $1+|\Gamma_L|$ (vettore parallelo a $+1$) a un minimo $1-|\Gamma_L|$ (vettore parallelo a $-1$). La corrente ha il segno opposto, quindi i massimi di una corrispondono ai minimi dell'altra.

Tre casi

1. Onda progressiva ($\Gamma_L=0$, carico adattatocarico con impedenza uguale a quella caratteristica, che assorbe tutta la potenza senza riflettere $Z_L=Z_0$). Esiste solo l'onda che va verso il carico. Il modulo della tensione è costante lungo la linea: $|V|=|V^+|$, $|I|=|V^+|/Z_0$. Nel tempo $v(t)=|V^+|\cos(\omega t+\beta l+\varphi^+)$: l'argomento contiene insieme tempo e posizione, quindi la forma d'onda si sposta con velocità $v_p=\omega/\beta$.

2. Onda stazionaria ($|\Gamma_L|=1$: $Z_L=jX$ puramente reattivodovuto a induttori o condensatori, quindi senza dissipazione di potenza, corto circuito, aperto). Incidente e riflessa hanno la stessa ampiezza. Sommandole,

$$v(t)=2|V^+|\cos\!\left(\omega t+\frac{\varphi^++\varphi^-}{2}\right)\cos\!\left(\beta l+\frac{\varphi^+-\varphi^-}{2}\right).$$

Un fattore dipende solo dal tempo, l'altro solo dalla posizione: tempo e spazio sono variabili separategrandezza scritta come prodotto di una funzione del solo tempo per una funzione della sola posizione. La forma d'onda non si sposta: oscilla ferma, con punti dove la tensione è sempre nulla (nodi) e punti dove oscilla al massimo (ventri). Per il corto circuito $V_L=V^++V^-=0$, quindi $\varphi^+=\varphi^-+\pi$ e $v(t)=2|V^+|\sin(\omega t+\varphi^-)\sin\beta l$: nodipunti in cui l'onda stazionaria è sempre nulla in $\beta l=n\pi$ ($l=n\lambda/2$, compreso il carico) e ventripunti in cui l'onda stazionaria oscilla con ampiezza massima in $\beta l=\frac\pi2+n\pi$ ($l=\lambda/4+n\lambda/2$). Per il circuito aperto è il contrario: ventro sul carico. La corrente è sfasata di $\lambda/4$ nello spazio rispetto alla tensione.

3. Onda parzialmente stazionaria ($0<|\Gamma_L|<1$). Si può scrivere $V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ aggiungendo e togliendo $V^-e^{j\beta l}$: il campo è la somma di un'onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ e di un'onda stazionaria di ampiezza $2|V^-|$. Il modulo oscilla fra un minimo $|V^+|-|V^-|$ e un massimo $|V^+|+|V^-|$.

Massimi e minimi

Il modulo di tensione è massimo quando il vettore ruotato è parallelo a $+1$:

$$\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi\ \Rightarrow\ l_M=\frac{\lambda}{4\pi}\left(\varphi_L-2k\pi\right)=\lambda\left(\frac{\varphi_L}{4\pi}-\frac k2\right),\quad l_M>0,\ k\in\mathbb Z,$$

e vale $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma_L|)$; negli stessi punti la corrente ha il minimo $|I|_{min}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1-|\Gamma_L|)$. Il modulo è minimo quando il vettore è parallelo a $-1$:

$$\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi\ \Rightarrow\ l_m=\lambda\left(\frac{\varphi_L}{4\pi}-\frac{2k+1}{4}\right),\quad l_m>0,$$

con $|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma_L|)$ e $|I|_{max}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1+|\Gamma_L|)$. Si prende l'intero $k$ in modo che la distanza sia positiva (si cerca il primo punto a partire dal carico verso il generatore). Due massimi consecutivi distano $\lambda/2$, e un massimo e il minimo adiacente $\lambda/4$.

Rapporto d'onda stazionaria (ROS, SWR)

Il rapporto d'onda stazionariain inglese SWR (standing wave ratio): misura quanto l'onda è stazionaria, vale 1 se non c'è riflessione è definito come

$$\boxed{S=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{|I|_{max}}{|I|_{min}}=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}},\qquad|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}.$$

È un numero reale con $1\le S\le\infty$: $S=1$ per la linea adattata, $S=\infty$ per riflessione totalecaso in cui tutta la potenza incidente torna indietro, con modulo del coefficiente di riflessione uguale a 1. Il valore di $S$ è lo stesso in tutta la linea (dipende solo da $|\Gamma|$ che è costante) e può essere misurato con uno strumento, senza conoscere il carico: è il modo più diretto per conoscere $|\Gamma|$ (vedi Problemi inversi - dai massimi e minimi al caricoun problema inverso dà la forma del modulo di $V$ o di $I$ lungo la linea (valori e posizioni di un massimo e di un minimo adiacenti) e chiede di ricostruire frequenza e carico. Metodo: (1) $\lambda=4,|d_M-d_m|$ (massimo e minimo adiacenti distano $\lambda/4$; due minimi consecutivi $\lambda/2$) e $f=v_p/\lambda$; (2) $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{|I|{max}}{|I|{min}}$ e $|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}$; (3) fase: dal primo massimo di $|V|$ a distanza $d_M$ si ha $\varphi_L=\frac{4\pi d_M}{\lambda}$, dal primo minimo $d_m$ si ha $\varphi_L=\pi+\frac{4\pi d_m}{\lambda}$ (un massimo di $|I|$ è un minimo di $|V|$); (4) $Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; (5) $|V^+|=\frac{|V|{max}}{1+|\Gamma|}$ e $\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|{max}+|I|_{min}}{2}$; $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|$, $|I_L|=\frac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|$; con generatore adattato $|V_g|=2|V^+|$.Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico →).

Impedenza nei massimi e nei minimi. Nei punti di massimo o di minimo $\Gamma(-l)$ è reale, quindi l'impedenza è reale:

• nel massimo di tensione (minimo di correntepunto in cui il modulo della corrente è minimo, che coincide con un massimo del modulo della tensione) $\Gamma(-l)=+|\Gamma|$, quindi $Z=Z_0\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=S\,Z_0>Z_0$;
• nel minimo di tensione (massimo di corrente) $\Gamma(-l)=-|\Gamma|$, quindi $Z=\dfrac{Z_0}{S}<Z_0$.

Questo è il fatto che permette di inserire un adattatore a quarto d'onda in un punto dove l'impedenza è realenei massimi e nei minimi il carico equivalente visto in quel punto è una pura resistenza (Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda →).

Esempio svolto: dal coefficiente di riflessione alle tensioni

Dati: $|V^+|=1$ V, $Z_0=50\ \Omega$, $\Gamma_L=0{,}3\,e^{j30^\circ}=0{,}260+j0{,}150$.

1. Impedenza di carico. $z_L=\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}=\dfrac{1{,}260+j0{,}150}{0{,}740-j0{,}150}=\dfrac{(1{,}260+j0{,}150)(0{,}740+j0{,}150)}{0{,}740^2+0{,}150^2}=1{,}595+j0{,}526$, quindi $Z_L=79{,}8+j26{,}3\ \Omega$.
2. Tensione e corrente sul carico. $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|=|1{,}260+j0{,}150|=1{,}27$ V e $|I_L|=\dfrac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|=\dfrac{|0{,}740-j0{,}150|}{50}=15{,}1$ mA. Verifica: $|Z_L||I_L|=84{,}0\cdot0{,}0151=1{,}27$ V.
3. Massimi di tensione (minimi di corrente): $l_M=\lambda\left(\dfrac{30^\circ}{720^\circ}-\dfrac k2\right)=0{,}0417\,\lambda-k\cdot0{,}5\lambda$ con $k=0,-1,-2,\dots$ (il primo punto è a $0{,}042\lambda$ dal carico). $|V|_{max}=1\cdot(1+0{,}3)=1{,}3$ V e $|I|_{min}=\dfrac{1{,}0\cdot(1-0{,}3)}{50}=14{,}0$ mA.
4. Minimi di tensione (massimi di corrente): $l_m=0{,}0417\lambda-0{,}25\lambda(2k+1)$ con $k=-1,-2,\dots$, cioè il primo a $0{,}292\lambda$; $|V|_{min}=0{,}7$ V e $|I|_{max}=\dfrac{1{,}3}{50}=26{,}0$ mA.
5. ROS: $S=\dfrac{1+0{,}3}{1-0{,}3}=1{,}857$ (infatti $1{,}3/0{,}7$).

Si vede che le due curve sono in opposizione: dove la tensione ha il massimo la corrente ha il minimo e viceversa, con periodo $\lambda/2$.

Errori comuni

• Cercare il primo massimo con $k=0$ senza controllare che $l_M>0$: se $\varphi_L<0$ bisogna sommare $\lambda/2$ (cioè scegliere $k$ negativo o positivo opportuno) fino a ottenere una distanza positiva.
• Dimenticare che un massimo di tensione è un minimo di corrente (e viceversa).
• Confondere $S$ con $|\Gamma|$: $S\ge1$ è un rapporto di moduli, $|\Gamma|\le1$ è un rapporto di ampiezze.
• Pensare che il modulo massimo sia $|V^+|+|V^-|$ solo "in certi casi": vale sempre, nei massimi.