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Note per Studenti Esercizio 18 · corrente a gradini con generatore non adattato, riflessioni multiple (Moodle)

Esercizio 18corrente a gradini con generatore non adattato, riflessioni multiple (Moodle)

In questa pagina 4

Testo (esercizio proposto del corso).

L'andamento della corrente nel tempo misurato con un oscilloscopio in un punto fisso L1L_1 di una linea di trasmissione, collegata a un generatore di tensione a gradino e chiusa su un carico resistivo, è il seguente: 150150 mA (dopo il primo gradino), poi 200200 mA, poi 212,5212{,}5 mA (la misura dopo 425425 ns è poco affidabile). Sapendo che la linea ha impedenza caratteristica di 50 Ω50\ \Omega e che il segnale si propaga con una velocità di 2,4⋅1082{,}4\cdot10^8 m/s, determinare:

  • la lunghezza LL della linea;
  • la distanza dal generatore del punto L1L_1;
  • l'impedenza di carico ZLZ_L;
  • l'impedenza ZGZ_G e la tensione a vuoto V0V_0 del generatore di tensione a gradino.

(I gradini si osservano agli istanti 7575 ns, 175175 ns e 325325 ns, ricavati dalle risposte del corso; il successivo a 425425 ns è quello che la misura non rende affidabile.)

Teoria usata: Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi →, Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →.

Istanti dei gradini

In L1L_1 (a distanza L1L_1 dal generatore, T1=L1/vT_1=L_1/v) passano, nell'ordine: (1) l'onda diretta iniziale a T1T_1; (2) la riflessa dal carico a 2T−T12T-T_1; (3) la diretta riflessa dal generatore a 2T+T12T+T_1; (4) la seconda riflessa dal carico a 4T−T14T-T_1; e così via. Sapendo che i primi gradini sono a 7575, 175175, 325325 ns:

  • (2) − (1): (2T−T1)−T1=2(T−T1)=175−75=100(2T-T_1)-T_1=2(T-T_1)=175-75=100 ns ⇒T−T1=50\Rightarrow T-T_1=50 ns;
  • (3) − (2): (2T+T1)−(2T−T1)=2T1=325−175=150(2T+T_1)-(2T-T_1)=2T_1=325-175=150 ns ⇒T1=75\Rightarrow T_1=75 ns (✓ coerente con il primo gradino a 7575 ns);
  • quindi T=T1+50=125T=T_1+50=125 ns.

Lunghezza e distanza: L=vT=2,4⋅108⋅125⋅10−9=30L=vT=2{,}4\cdot10^8\cdot125\cdot10^{-9}=\mathbf{30} m; L1=vT1=2,4⋅108⋅75⋅10−9=18L_1=vT_1=2{,}4\cdot10^8\cdot75\cdot10^{-9}=\mathbf{18} m. Controllo: la quarta onda arriva a 4T−T1=500−75=4254T-T_1=500-75=425 ns ✓ (l'istante oltre il quale la misura è inaffidabile).

Livelli di corrente

Sia I+I^+ la corrente del primo gradino. Le onde di corrente: diretta In+=Vn+Z0I_n^+=\dfrac{V_n^+}{Z_0}, riflessa −Vn−Z0=−ΓLIn+-\dfrac{V_n^-}{Z_0}=-\Gamma_L I_n^+ (la corrente riflessa ha il segno opposto), diretta successiva In+1+=ΓGΓLIn+I_{n+1}^+=\Gamma_G\Gamma_LI_n^+. I livelli osservati in L1L_1:

livello gradino corrente
1 I+I^+ 150150 mA
2 −ΓLI+-\Gamma_LI^+ 150 (1−ΓL)=200150\,(1-\Gamma_L)=200 mA
3 +ΓGΓLI++\Gamma_G\Gamma_LI^+ 200+150 ΓGΓL=212,5200+150\,\Gamma_G\Gamma_L=212{,}5 mA

Carico. Dal livello 2: 1−ΓL=200150=43⇒ΓL=−131-\Gamma_L=\dfrac{200}{150}=\dfrac43\Rightarrow\Gamma_L=-\dfrac13, quindi ZL=Z01+ΓL1−ΓL=50⋅2/34/3=25 ΩZ_L=Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}=50\cdot\dfrac{2/3}{4/3}=\mathbf{25\ \Omega}.

Generatore. Dal livello 3: ΓGΓL=212,5−200150=112\Gamma_G\Gamma_L=\dfrac{212{,}5-200}{150}=\dfrac1{12}, quindi ΓG=1/12−1/3=−14\Gamma_G=\dfrac{1/12}{-1/3}=-\dfrac14 e

ZG=Z01+ΓG1−ΓG=50⋅0,751,25=30 Ω.Z_G=Z_0\frac{1+\Gamma_G}{1-\Gamma_G}=50\cdot\frac{0{,}75}{1{,}25}=\mathbf{30\ \Omega}.

Tensione a vuoto. I+=V0ZG+Z0I^+=\dfrac{V_0}{Z_G+Z_0}, quindi V0=I+(ZG+Z0)=0,150⋅80=12V_0=I^+(Z_G+Z_0)=0{,}150\cdot80=\mathbf{12} V.

Verifica con il valore a regime

I gradini successivi si ottengono moltiplicando per ΓLΓG=112\Gamma_L\Gamma_G=\frac1{12} ogni coppia di onde: −ΓL⋅ΓLΓGI+=4,17-\Gamma_L\cdot\Gamma_L\Gamma_GI^+=4{,}17 mA (a 425425 ns), I+(ΓLΓG)2=1,04I^+(\Gamma_L\Gamma_G)^2=1{,}04 mA (a 575575 ns), 0,350{,}35 mA, ... e la somma è 150+50+12,5+4,17+1,04+0,35+⋯=218,2150+50+12{,}5+4{,}17+1{,}04+0{,}35+\dots=218{,}2 mA. A regime la linea è un filo e la corrente è i∞=V0RG+RL=1230+25=218,2i_\infty=\dfrac{V_0}{R_G+R_L}=\dfrac{12}{30+25}=218{,}2 mA ✓ (e la tensione sul carico 25⋅0,2182=5,4525\cdot0{,}2182=5{,}45 V).

Grafico interattivo: Corrente osservata in L₁ (generatore 30 Ω, carico 25 Ω, linea 50 Ω): livelli a 150, 200, 212,5 mA ... fino a 218,2 mA a regime (tempo in ns)

(Gli istanti successivi sono 4T−T1=4254T-T_1=425 ns, 4T+T1=5754T+T_1=575 ns, 6T−T1=6756T-T_1=675 ns.)

Errori comuni

  • Usare per la corrente la stessa regola di segno della tensione: il gradino riflesso di corrente ha segno opposto (−ΓLI+-\Gamma_LI^+): un carico con R<Z0R<Z_0 (ΓL<0\Gamma_L<0) aumenta la corrente.
  • Pensare che il secondo gradino corrisponda a 2T2T: in L1L_1 è a 2T−T12T-T_1; il terzo a 2T+T12T+T_1.
  • Prendere V0=I+Z0V_0=I^+Z_0: questa è la tensione dell'onda V+V^+; la tensione a vuoto è V0=I+(ZG+Z0)V_0=I^+(Z_G+Z_0).

Versione ripasso

Testo. Linea 50 Ω, v=2,4⋅108v=2{,}4\cdot10^8 m/s; corrente in L1L_1: 150 mA, 200 mA, 212,5 mA (gradini a 75, 175, 325 ns; il successivo a 425 ns): LL, L1L_1, ZLZ_L, ZGZ_G, V0V_0.

Teoria collegata