Polarizzazione delle onde piane

** $p=j\frac{A_y}{A_x}$: $\Re\{p\}=0$ rettilinea, $\Re\{p\}>0$ destrorsa, $\Re\{p\}<0$ sinistrorsa. Un campo rettilineo è la somma di due circolari opposti di ugual ampiezza. -->

Il campo elettrico di un'onda piana è un vettore nel piano perpendicolare alla direzione di propagazione, ma non è detto che oscilli sempre lungo la stessa retta. La polarizzazione dice come si muove nel tempo la punta di $\bar e$ in un punto fissato dello spazio. È una grandezza che non si percepisce direttamente, ma ha effetti pratici: le lenti polarizzate degli occhiali oscurano lo schermo di un PC (la luce degli schermi è polarizzata) se vengono ruotate di $90^\circ$ rispetto alla polarizzazionefigura descritta nel tempo dalla punta del vettore campo elettrico in un punto fissato dello schermo.

Le formule

Per un'onda piana uniforme che si propaga verso $+z$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →) il fasore del campo elettrico è

$$\bar E=\hat xE_x+\hat yE_y=\left(\hat xE_{x0}+\hat yE_{y0}\right)e^{-jkz},\qquad E_{x0}=a_xe^{j\varphi_x},\ E_{y0}=a_ye^{j\varphi_y},$$

con $a_x,a_y>0$ reali. Il luogo descritto da $\bar e$ dipende solo dalla differenza di fase $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$: si può quindi porre $\varphi_x=0$ e scrivere

$$\bar E=\left(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y\right)e^{-jkz},\qquad\bar e(z,t)=\hat xa_x\cos(\omega t-kz)+\hat ya_y\cos(\omega t-kz+\varphi).$$

Si fissa $z=0$ e si osserva $\bar e(t)=\hat xa_x\cos\omega t+\hat ya_y\cos(\omega t+\varphi)$: il modulo $|\bar e|=\sqrt{a_x^2\cos^2(\omega t)+a_y^2\cos^2(\omega t+\varphi)}$ e l'angolo di inclinazioneangolo del vettore campo rispetto all'asse x nel piano ortogonale alla propagazione $\psi=\arctan\dfrac{a_y\cos(\omega t+\varphi)}{a_x\cos\omega t}$ variano in generale con il tempo.

I tre tipi

Polarizzazione rettilinea ($\varphi=0$: componenti in fase; $\varphi=\pi$: in opposizione di fase). L'inclinazione è costante ($\tan\psi=\pm\frac{a_y}{a_x}$) e il vettore oscilla lungo una retta: $\bar e=\left(\hat xa_x\pm\hat ya_y\right)\cos\omega t$ a $z=0$. Casi particolari: polarizzazione in $x$ o in $y$.

Polarizzazione circolare ($a_x=a_y=a$, $\varphi=\pm\frac\pi2$). Per $\varphi=+\frac\pi2$:

$$\bar e=\hat xa\cos(\omega t-kz)+\hat ya\cos\left(\omega t-kz+\tfrac\pi2\right)=\hat xa\cos(\omega t-kz)-\hat ya\sin(\omega t-kz).$$

Il modulo è costante, $|\bar e|=a$, e l'inclinazione è $\psi=-(\omega t-kz)$: a $z=0$ $\psi=-\omega t$, cala nel tempo: il vettore descrive una circonferenza in senso orario (guardando l'onda che arriva), a velocità angolare $\omega$. Con il pollice nel verso di propagazione le dita della mano sinistra seguono la rotazione: circolare sinistrorsa, $\bar E=a(\hat x+j\hat y)e^{-jkz}$. Per $\varphi=-\frac\pi2$: $\bar e=\hat xa\cos(\omega t-kz)+\hat ya\sin(\omega t-kz)$, $\psi=\omega t-kz$, il vettore ruota in senso antiorario: circolare destrorsa, $\bar E=a(\hat x-j\hat y)e^{-jkz}$.

Polarizzazione ellittica (caso generale: $a_x\ne a_y$ e $\varphi\ne0,\pi$): la punta di $\bar e$ descrive un'ellisse. Il verso: sinistrorsacon il pollice sinistro lungo la propagazione, le dita seguono il verso di rotazione del campo se $0<\varphi<\pi$, destrorsacon il pollice destro lungo la propagazione, le dita seguono il verso di rotazione del campo se $-\pi<\varphi<0$.

Un modo pratico per decidere il verso, usato nei temi d'esame: si fissa un punto ($z=0$), si guardano le posizioni di $\bar e$ in $\omega t=0$ e $\omega t=\pi/4$ e si vede se la rotazione è oraria (se vista con la propagazione che si avvicina). Esempio. $\bar e(z,t)=5\cos(\omega t-kz)\hat x-12\cos\left(\omega t-kz-\frac\pi2\right)\hat y$ V/m. A $z=0$: $\bar e=5\cos\omega t\,\hat x-12\sin\omega t\,\hat y$ (perché $\cos(\omega t-\frac\pi2)=\sin\omega t$). In $\omega t=0$: $(5,0)$; in $\omega t=\frac\pi2$: $(0,-12)$. Il vettore passa da destra a sotto: rotazione oraria, quindi ellittica sinistrorsa (con $a_x\neq a_y$ è ellitticapolarizzazione in cui la punta del campo descrive un'ellisse; $\varphi=+\frac\pi2$, perché $-\cos(\theta-\frac\pi2)=\cos(\theta+\frac\pi2)$).

Qui $a_x=3$, $a_y=2$, $\varphi=+\frac\pi2$: la punta del vettore va da $\omega t=0$ a $\omega t=\frac\pi4$ in senso orario: ellittica sinistrorsa. Con $\varphi=-\frac\pi2$ la stessa ellisse sarebbe percorsa in senso antiorario (destrorsa).

Il rapporto di polarizzazione

Si definisce il rapporto di polarizzazione lineare $p=j\dfrac{A_y}{A_x}=\dfrac{a_y}{a_x}e^{j(\varphi+\pi/2)}$ (rapporto fra le componenti $A_y$ e $A_x$ del fasore). Allora:

• polarizzazione rettilinea: $\Re\{p\}=0$ (perché $\varphi=0,\pi$);
• circolare sinistrorsa: $p=-1$ ($a_x=a_y$, $\varphi=\frac\pi2$); circolare destrorsa: $p=+1$ ($\varphi=-\frac\pi2$);
• in generale $\Re\{p\}<0$: ellittica sinistrorsa, $\Re\{p\}>0$: ellittica destrorsa.

Due vettori complessi ortogonalicon prodotto scalare complesso nullo, che hanno stati di polarizzazione opposti ($\bar A\cdot\bar B^*=0$) hanno stati di polarizzazione opposti ($p_A=-1/p_B^*$, quindi $\Re\{p_A\}$ e $\Re\{p_B\}$ hanno segno opposto); due vettori paralleli nel piano complesso ($\bar B=C\bar A$, con $C$ complesso) hanno lo stesso $p$ e quindi lo stesso tipo di polarizzazione. Attenzione: ortogonalità e parallelismo nel piano complesso non sono ortogonalità e parallelismo nel piano reale.

Base circolare

Oltre alla base $(\hat x,\hat y)$ si può usare la base complessacoppia di vettori complessi di modulo unitario e ortogonali, qui le due polarizzazioni circolari ortonormale $\hat s=\dfrac{\hat x+j\hat y}{\sqrt2}$ (circolarepolarizzazione in cui la punta del campo descrive una circonferenza con modulo costante sinistrorsa) e $\hat d=\dfrac{\hat x-j\hat y}{\sqrt2}$ (circolare destrorsa): $\hat s\cdot\hat d^*=0$. Un campo qualunque $\bar E=E_s\hat s+E_d\hat d$ con $E_s=\bar E\cdot\hat s^*$ e $E_d=\bar E\cdot\hat d^*$. In particolare $\hat x=\dfrac{\hat s+\hat d}{\sqrt2}$: un'onda a polarizzazione rettilinea è la somma di due onde circolari di verso opposto. Esempio. $\bar E=\left(\hat x-\sqrt3\hat y\right)e^{-jkz}$: nel tempo $\bar e=(\hat x-\sqrt3\hat y)\cos(\omega t-kz)$, inclinazione costante $\psi=-60^\circ$: rettilineapolarizzazione in cui il campo oscilla lungo una retta ($p=-j\sqrt3$, $\Re\{p\}=0$). Le proiezioni: $E_s=\dfrac{1+j\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt2\,e^{j\pi/3}$ e $E_d=\dfrac{1-j\sqrt3}{\sqrt2}=\sqrt2\,e^{-j\pi/3}$, con $|E_s|^2=|E_d|^2=2=\frac12|\bar E|^2$: la potenza è divisa in parti uguali fra le due circolari.

Altri esempi

• $\bar A_1=(4\hat x-3\hat y)e^{-jkz}$: componenti in opposizione di fase ($\varphi=\pi$): rettilinea con $\psi=\arctan\dfrac{-3}4=-36{,}9^\circ$; il vettore oscilla sul segmento da $(4,-3)$ a $(-4,3)$.
• $\bar E=(-\hat x+2\hat ye^{j2\pi/3})e^{-jkz}$: $\varphi_x=\pi$ ($-1=e^{j\pi}$), $\varphi_y=\frac{2\pi}3$, $\varphi=-\frac\pi3$: ellittica destrorsa (a $z=0$ passa da $(-1,-1)$ a $(0,-1{,}73)$ a $(1,1)$: antiorario).
• $\bar e=2\cos(\omega t-kz)\hat x+3\sin(\omega t-kz)\hat y$: $\sin=\cos(\cdot-\frac\pi2)$ quindi $\varphi=-\frac\pi2$ e $a_x\ne a_y$: ellittica destrorsa.
• $\bar H=(3\hat x+j5\hat z)e^{+jky}$: propaga verso $-y$ (esponente $+jky$); a $y=0$: $\bar h=3\cos\omega t\hat x-5\sin\omega t\hat z$; il vettore va da $+x$ a $-z$: la rotazione ha il vettore velocità angolare lungo $+\hat y$ (mano destra), opposto alla propagazione $-\hat y$: ellittica sinistrorsa.
• Condizioni per un campo con $A_x\ne A_y$: per $\varphi_x=0$, $\varphi_y=\frac\pi2$: ellittica sinistrorsa; $\varphi_x=-\pi$, $\varphi_y=\frac\pi2$: $\varphi=\frac{3\pi}2\equiv-\frac\pi2$, ellittica destrorsa; $\varphi_x=0$, $\varphi_y=-\pi$: rettilinea.

Applicazioni

• Rettilinea. Occhiali polarizzati (vetro che lascia passare solo una direzione), antenne a dipolo (un dipolo riceve solo la componente di campo parallela a esso: se è ortogonale al campo incidente non riceve nulla, vedi Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'ondaper una distribuzione di corrente arbitraria $I(z)$ su un filo di lunghezza $l$ il campo lontano è $E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)e^{jkz\cos\theta}dz$. In un'antenna filiforme sottile la corrente segue la legge di una linea aperta: $I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}$ (nulla agli estremi, $I_0$ al centro). Dipolo corto ($l\ll\lambda$): corrente triangolare $I_0(1-\frac{2|z|}l)$, integrale $=I_0\frac l2$: è la realizzazione fisica del dipolo elementare con $I\Delta z\to I_0\frac l2$; $F=\sin^2\theta$, $D=1{,}5$, $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2$, $R_{rad}=\frac{2\pi}3\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2$ (piccola: rendimento basso). Dipolo a mezz'onda ($l=\lambda/2$): $I(z)=I_0\cos\beta z$, $D\simeq1{,}64$ (2,15 dB), $R_{rad}\simeq72\ \Omega$, diagramma poco diverso da quello del dipolo elementare, rendimento molto alto (circa $0{,}98$). Oltre $\lambda/2$ non si guadagna direttività: per $l\approx\lambda$ la corrente in ingresso tende a zero, per $l>\lambda$ compaiono correnti negative e il diagramma si deforma. Un'antenna su un suolo a conducibilità infinita lunga $l/2$ irradia sopra il suolo come una di lunghezza $l$ nel mezzo uniforme.Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda → e Area efficace, antenne a parabola e formula di Friisl'area efficace di un'antenna ricevente è $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}$ (potenza ricevuta nelle condizioni di massimo diviso la densità di potenza incidente $S_i=\frac{|E_i|^2}{2\eta}$), quindi $P_{rec}=A_eS_{MAX}=A_e\frac{GP_t}{4\pi R^2}$. Per il teorema di reciprocitàscambiando generatore e carico in un sistema lineare la corrente letta resta la stessa $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. Antenne filiformi: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$.Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis →).
• Circolare. Cinema 3D (i due occhi ricevono immagini con polarizzazione circolare opposta). GPSGlobal Positioning System: sistema di satelliti per la localizzazione: i satelliti trasmettono in polarizzazione circolare destrorsa (antenne a elica) per tre motivi: (1) è difficile allineare un ricevitore con un'antenna rettilinea; (2) nella ionosferastrato dell'alta atmosfera che contiene particelle cariche la polarizzazione rettilinea ruota (effetto Faradayrotazione della polarizzazione rettilinea nella ionosfera dovuta al campo magnetico terrestre) mentre la circolare è molto più robusta; (3) nelle riflessioni (Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici →) il verso di rotazione si inverte, quindi i disturbi per riflessione si riconoscono ed escludono. I telefoni usano antenne patchantenna planare formata da una piastra di metallo su un supporto isolante con polarizzazione rettilinea e perdono metà potenza (3 dB), ma sono insensibili all'orientamento.

Errori comuni

• Dire che la polarizzazione è circolare quando le componenti hanno $\varphi=\pm\frac\pi2$ ma ampiezze diverse: è ellittica.
• Decidere il verso senza specificare rispetto al verso di propagazione: pollice sulla propagazione, mano destra = destrorsa. Se l'onda va verso $-y$ o $+x$ il pollice va in quel verso.
• Confondere $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$ con $\varphi_x-\varphi_y$: il segno cambia il verso.
• Pensare che $\varphi=-\pi$ dia polarizzazione ellittica: $\varphi=0,\pm\pi$ è rettilinea.