Esercizio 29dipolo corto e dipolo a mezz'onda, potenza irradiata e proporzionalità (temi d'esame ed esercitazione 3)

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Teoria usata: Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'ondaper una distribuzione di corrente arbitraria $I(z)$ su un filo di lunghezza $l$ il campo lontano è $E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)e^{jkz\cos\theta}dz$. In un'antenna filiforme sottile la corrente segue la legge di una linea aperta: $I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}$ (nulla agli estremi, $I_0$ al centro). Dipolo corto ($l\ll\lambda$): corrente triangolare $I_0(1-\frac{2|z|}l)$, integrale $=I_0\frac l2$: è la realizzazione fisica del dipolo elementare con $I\Delta z\to I_0\frac l2$; $F=\sin^2\theta$, $D=1{,}5$, $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2$, $R_{rad}=\frac{2\pi}3\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2$ (piccola: rendimento basso). Dipolo a mezz'onda ($l=\lambda/2$): $I(z)=I_0\cos\beta z$, $D\simeq1{,}64$ (2,15 dB), $R_{rad}\simeq72\ \Omega$, diagramma poco diverso da quello del dipolo elementare, rendimento molto alto (circa $0{,}98$). Oltre $\lambda/2$ non si guadagna direttività: per $l\approx\lambda$ la corrente in ingresso tende a zero, per $l>\lambda$ compaiono correnti negative e il diagramma si deforma. Un'antenna su un suolo a conducibilità infinita lunga $l/2$ irradia sopra il suolo come una di lunghezza $l$ nel mezzo uniforme.Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda →, Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontanoil dipolo elementare è un elemento di corrente $I$ costante, di lunghezza infinitesima $\Delta z$, posto nell'origine lungo $\hat z$: è la soluzione base da cui si ricavano i campi di qualsiasi antenna (per sovrapposizione). In coordinate sferiche $(R,\theta,\varphi)$ il campo è $\bar H=H_\varphi\hat\varphi$, $\bar E=E_\theta\hat\theta+E_R\hat R$. Nel campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta,\frac{e^{-jkR}}{R}$, $E_R\approx0$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}{\eta}$: onda sferica localmente piana, con $|E|\propto\frac{\sin\theta}{R}$. Densità di potenza media $S(R,\theta)=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta$, con $S_{max}=S_0\approx15\pi\frac{|I|^2}{R^2}\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ W/m². Potenza irradiata (attiva) $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ indipendente da $R$; la potenza reattiva decade come $\frac1{(kR)^3}$ ed è trascurabile se $R\gg\lambda$. Nel piano $xy$ ($\theta=90^\circ$) il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni (omnidirezionale), lungo l'asse $z$ non irradia.Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano →, Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →.

Formule. Dipolo elementare ($\Delta z$, corrente costante $I$): $P_{rad}=\dfrac\pi3\eta|I|^2\left(\dfrac{\Delta z}\lambda\right)^2$. Dipolo corto fisico (lunghezza $l$, corrente triangolare, $I_0$ al centro): stessa formula con $\Delta z\to l/2$, $P_{rad}=\dfrac\pi3\eta|I_0|^2\left(\dfrac{l}{2\lambda}\right)^2$. Dipolo a mezz'onda: $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I_0|^2$ con $R_{rad}\simeq72\ \Omega$. In ogni caso con un dipolo corto: $P_{rad}\propto|I|^2$ e $\propto\left(\dfrac l\lambda\right)^2\propto l^2f^2$.

1. Raddoppio della lunghezza

$P_{rad}\propto\left(\dfrac l\lambda\right)^2$ a $f$ e $|I|$ fissati: $\dfrac{P'_{rad}}{P_{rad}}=\left(\dfrac{l'}l\right)^2=\left(\dfrac42\right)^2=4$, quindi $P'_{rad}=4\cdot0{,}39=\mathbf{1{,}56}$ mW (risposta b). Verifica con la formula: $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^8}=1$ m; con $\Delta z\to l/2=1$ cm: $P=\dfrac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}01\cdot\left(\dfrac{0{,}01}1\right)^2=0{,}39$ mW ✓ (per $l=2$ cm) e per $l'=4$ cm: $\left(\dfrac{0{,}02}{1}\right)^2$: $1{,}56$ mW ✓.

2. Dimezzamento della corrente

$P_{rad}\propto|I|^2$: $P'_{rad}=6{,}32\cdot\left(\dfrac{50}{100}\right)^2=\dfrac{6{,}32}{4}=\mathbf{1{,}58}$ mW (risposta d). (Nota: in questo tema il valore $6{,}32$ mW a $600$ MHz corrisponde alla formula del dipolo elementare con $\Delta z=2$ cm e $\lambda=0{,}5$ m: $\frac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}01\cdot\left(\frac{0{,}02}{0{,}5}\right)^2=6{,}31$ mW. Il rapporto cercato non dipende dalla convenzione.)

3. Classificazione

$\lambda=\dfrac{c_0}f=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^9}=0{,}1$ m $=10$ cm; $\dfrac L\lambda=\dfrac{0{,}5}{10}=0{,}05\ll1$: antenna molto più corta della lunghezza d'onda, dipolo elementare (risposta a). (A mezz'onda servirebbero $5$ cm, a onda intera $10$ cm.)

4. Stessa potenza irradiata

$P_{rad}\propto|I|^2\left(\dfrac{\Delta z}\lambda\right)^2\propto|I|^2f^2$ (a $\Delta z$ fissa, con $\lambda=c/f$). Condizione di uguaglianza: $|I_2|f_2=|I_1|f_1$. Fra le opzioni: $|I_2|=2|I_1|$ con $f_2=\dfrac{f_1}2$ dà $|I_2|f_2=|I_1|f_1$ ✓ (risposta f). (b: $|I|f$ dimezzato, potenza $\frac14$; c: prodotto $4\times$, potenza $16\times$; e: $\frac14$ del prodotto, potenza $\frac1{16}$.)

5. Lo stesso filo a due frequenze

• A $1$ GHz: $\lambda=0{,}3$ m, $L=15$ cm $=\dfrac\lambda2$: dipolo a mezz'onda, $R_{rad}=72\ \Omega$: $P_{rad}=\dfrac12\cdot72\cdot(0{,}05)^2=\mathbf{90}$ mW.
• A $10$ MHz: $\lambda=30$ m, $\dfrac L\lambda=0{,}005$: dipolo corto, $\dfrac{L}{2\lambda}=0{,}0025$: $P_{rad}=\dfrac\pi3\cdot376{,}7\cdot(0{,}05)^2\cdot(0{,}0025)^2=394{,}5\cdot0{,}0025\cdot6{,}25\cdot10^{-6}=\mathbf{6{,}2}\ \mu$W.

Il rapporto è $\dfrac{90\ \text{mW}}{6{,}2\ \mu\text{W}}\approx14\,500$: con la stessa corrente, alle basse frequenze l'antenna corta irradia pochissimo ($R_{rad}=20\pi^2(0{,}005)^2=4{,}9$ m$\Omega$).

6. Antenna corta a $10$ MHz

$\lambda=30$ m, $\dfrac{l}{2\lambda}=\dfrac{1{,}5}{60}=0{,}025$. $P_{rad}=\dfrac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}5^2\cdot0{,}025^2=394{,}5\cdot0{,}25\cdot6{,}25\cdot10^{-4}=\mathbf{61{,}6}$ mW; $R_{rad}=\dfrac{2P_{rad}}{|I_0|^2}=\dfrac{2\cdot0{,}0616}{0{,}25}=\mathbf{0{,}49\ \Omega}$ (con la formula $20\pi^2(l/\lambda)^2=197{,}4\cdot0{,}0025=0{,}49$ ✓). Con $\xi=0{,}1$: $P_t=\dfrac{P_{rad}}{\xi}=\mathbf{616}$ mW e $R_{diss}=R_{rad}\dfrac{1-\xi}\xi=0{,}49\cdot9=\mathbf{4{,}4\ \Omega}$ (la dissipazione domina: il rendimento è basso proprio perché $R_{rad}\ll R_{diss}$).

Errori comuni

• Dimenticare che $P_{rad}\propto|I|^2$ (non $|I|$) e $\propto l^2$ (non $l$).
• Usare $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$ con $R_{rad}=72\ \Omega$ per un'antenna corta: i $72\ \Omega$ valgono solo per la mezz'onda.
• Usare $\dfrac l\lambda$ invece di $\dfrac{l}{2\lambda}$ per un dipolo corto fisico (corrente triangolare).
• Aspettarsi che a parità di corrente la potenza irradiata non dipenda dalla frequenza: per un'antenna fissata corta cresce come $f^2$.