Esercizio 28dipolo elementare, rapporto fra i campi in due punti e potenza irradiata (temi d'esame ed esercitazione 3)

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Teoria usata: Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontanoil dipolo elementare è un elemento di corrente $I$ costante, di lunghezza infinitesima $\Delta z$, posto nell'origine lungo $\hat z$: è la soluzione base da cui si ricavano i campi di qualsiasi antenna (per sovrapposizione). In coordinate sferiche $(R,\theta,\varphi)$ il campo è $\bar H=H_\varphi\hat\varphi$, $\bar E=E_\theta\hat\theta+E_R\hat R$. Nel campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta,\frac{e^{-jkR}}{R}$, $E_R\approx0$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}{\eta}$: onda sferica localmente piana, con $|E|\propto\frac{\sin\theta}{R}$. Densità di potenza media $S(R,\theta)=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta$, con $S_{max}=S_0\approx15\pi\frac{|I|^2}{R^2}\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ W/m². Potenza irradiata (attiva) $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ indipendente da $R$; la potenza reattiva decade come $\frac1{(kR)^3}$ ed è trascurabile se $R\gg\lambda$. Nel piano $xy$ ($\theta=90^\circ$) il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni (omnidirezionale), lungo l'asse $z$ non irradia.Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano →, Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →.

Formula chiave (campo lontano): $|\bar E|=\dfrac{K\sin\theta}{R}$, con $\theta$ angolo dall'asse del dipolo e $K$ costante. Per due punti: $\dfrac{|E_2|}{|E_1|}=\dfrac{R_1}{R_2}\cdot\dfrac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}$. La condizione di campo lontano è $R\gg\lambda=30$ cm: ampiamente verificata in tutti i casi ($R\ge50$ m).

Nota sui dati. Il testo del tema di luglio 2024 riporta il dipolo "lungo $z$" con gli stessi dati numerici del 2º parziale (che lo pone lungo $x$): perché la risposta indicata ($0{,}283$ V/m) torni, entrambi i punti devono stare nel piano perpendicolare al dipolo, come nell'enunciato del 2º parziale.

1. Due punti nel piano perpendicolare al dipolo (lungo $x$)

$Q_1=(0,50,0)$ e $Q_2=(0,100,100)$ hanno entrambi $x=0$: stanno nel piano $yz$, perpendicolare all'asse del dipolo ($x$): $\theta_1=\theta_2=90^\circ$, $\sin\theta=1$. Le distanze sono $R_1=50$ m e $R_2=\sqrt{100^2+100^2}=141{,}4$ m. Quindi

$$|\bar E(Q_2)|=0{,}8\cdot\frac{50}{141{,}4}=\mathbf{0{,}283}\ \text{V/m}\quad(\text{risposta b}).$$

2. Dipolo lungo $z$, punti nel piano $z=0$

$Q_1=(0,50,0)$ e $Q_2$ hanno $z=0$: piano $xy$, perpendicolare all'asse $z$: $\sin\theta=1$ in entrambi. $R_2=\sqrt{\frac{2500}2+\frac{2500}2}=50$ m $=R_1$: $|\bar E(Q_2)|=\mathbf{1{,}4}$ V/m (risposta e).

3. Dipolo lungo $y$, punti nel piano $y=0$

$Q_1=(0,0,100)$ e $Q_2=\left(\frac{50}{\sqrt2},0,-\frac{50}{\sqrt2}\right)$ hanno $y=0$: piano $xz$, perpendicolare all'asse $y$: $\sin\theta=1$. $R_1=100$ m, $R_2=\sqrt{1250+1250}=50$ m: $|\bar E(Q_2)|=0{,}12\cdot\dfrac{100}{50}=\mathbf{0{,}24}$ V/m (risposta b).

4. Dipolo lungo $x$, punti nel piano $x=0$

$Q_1=(0,1000,0)$ e $Q_2=(0,0,250)$: $x=0$, piano perpendicolare: $\sin\theta=1$. $R_1=1000$ m, $R_2=250$ m: $|\bar E(Q_2)|=1\cdot\dfrac{1000}{250}=\mathbf4$ mV/m (risposta f).

5. Punti non nel piano perpendicolare

$R_1=500$ m, $\theta_1=90^\circ$ (stesso piano $x=0$). Per $Q_2=(250,0,250)$: $R_2=\sqrt{250^2+250^2}=353{,}6$ m e $\cos\theta_2=\dfrac{x_2}{R_2}=0{,}7071$, $\theta_2=45^\circ$, $\sin\theta_2=0{,}7071$:

$$|\bar E(Q_2)|=2\cdot\frac{500}{353{,}6}\cdot0{,}7071=\mathbf{2{,}0}\ \text{V/m}.$$

Per $Q_3=(250,0,0)$: sta sull'asse del dipolo ($\theta_3=0$), $\sin\theta_3=0$: $|\bar E(Q_3)|=\mathbf0$ (il dipolo non irradia lungo il proprio asse).

6. Potenza irradiata e campo

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^9}=0{,}1$ m, $\dfrac{\Delta z}\lambda=0{,}05$, $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=62{,}83$ rad/m.

• $P_{rad}=\dfrac\pi3\eta|I|^2\left(\dfrac{\Delta z}{\lambda}\right)^2=1{,}0472\cdot376{,}7\cdot0{,}04\cdot0{,}0025=\mathbf{39{,}4}$ mW.
• $R_{rad}=\dfrac{2P_{rad}}{|I|^2}=\dfrac{2\pi}3\eta\left(\dfrac{\Delta z}\lambda\right)^2=\mathbf{1{,}97\ \Omega}$.
• Campo massimo a $R=1$ km (nel piano perpendicolare): $|E_{max}|=\dfrac{\eta k|I|\Delta z}{4\pi R}=\dfrac{376{,}7\cdot62{,}83\cdot0{,}2\cdot0{,}005}{4\pi\cdot1000}=\mathbf{1{,}88}$ mV/m.
• Densità di potenza: $S_{max}=\dfrac{|E_{max}|^2}{2\eta}=\dfrac{(1{,}88\cdot10^{-3})^2}{753{,}4}=4{,}7\cdot10^{-9}$ W/m$^2$, in accordo con $S_{max}\approx15\pi\dfrac{|I|^2}{R^2}\left(\dfrac{\Delta z}\lambda\right)^2=47{,}1\cdot\dfrac{0{,}04}{10^6}\cdot0{,}0025=4{,}7\cdot10^{-9}$ W/m$^2$ ✓.

Errori comuni

• Misurare $\theta$ dall'asse $z$ anche quando il dipolo è orientato lungo $x$ o $y$: $\theta$ è sempre l'angolo dall'asse del dipolo.
• Usare il rapporto $R_1/R_2$ invertito: il campo cala come $\frac1R$, quindi $E_2=E_1\cdot\frac{R_1}{R_2}$.
• Dimenticare di controllare se i due punti sono sullo stesso piano perpendicolare (allora $\sin\theta$ si semplifica).
• Dimenticare che il campo si annulla lungo l'asse del dipolo.