Legge di Snell, riflessione totale e apertura numerica

** ha un nucleo di indice $n_f$ circondato da un mantello di indice $n_c<n_f$: la luce resta guidata per riflessioni totali successive. Un raggio che entra dall'aria ($n_0=1$) con angolo $\theta_i$ rispetto all'asse resta guidato se $\sin\theta_i\le\sqrt{n_f^2-n_c^2}$: l'**apertura numericaseno dell'angolo massimo con cui la luce può entrare nella fibra ed essere guidata** è $NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$ e l'**angolo di accettazione** $\theta_a=\arcsin NA\approx NA$ per piccoli angoli. Esempi: $n_f=1{,}469$, $n_c=1{,}466$: $NA=0{,}094$, $\theta_a=5{,}4^\circ$; $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$: $NA=0{,}30$, $\theta_a=17{,}5^\circ$. -->

Una linea di trasmissione metallica guida il segnale con due conduttori. Alle frequenze ottiche (circa $10^{14}$ Hz) i conduttori sono troppo dissipativi: per ogni riflessione si perde quasi il 10% della potenza (Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfettoper incidenza normale da un dielettrico (impedenza $\eta_1$) su un buon conduttore ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) l'onda trasmessa è $E_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$, $R_{s2}=\sqrt{\frac{\pi f\mu_2}{\sigma_2}}$; il coefficiente di riflessione è $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}$, con modulo vicinissimo a $1$ ($R_s\ll\eta_1$): per $\sigma=10^7$ S/m e $f=10$ GHz $R_s=0{,}063\ \Omega$ e viene riflesso il $99{,}93%$ della potenza; a frequenze ottiche ($2\cdot10^{14}$ Hz) $R_s=8{,}9\ \Omega$ e si riflette solo il $91%$ (si perde circa il $10%$ a ogni riflessione). Per il conduttore perfetto ($\sigma\to\infty$, $\delta_s=0$): $\Gamma=-1$, $E_0^t=0$, $E_0^r=-E_0^i$, il campo magnetico tangente raddoppia ed è la corrente superficiale: $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Nel mezzo $1$ l'onda è puramente stazionaria: $\bar E_1=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z$, $\bar H_1=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$; nodi di $E$ (ventri di $H$) in $z=-N\frac{\lambda_1}2$ (compresa l'interfaccia), ventri di $E$ (nodi di $H$) in $z=-(2N+1)\frac{\lambda_1}4$.Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto →). Si guida invece la luce con la riflessione totale all'interno di un filo di vetro: la fibra ottica. Qui si ricavano le leggi geometriche che servono.

Legge di Snell

Un'onda piana che incide su una superficie piana fra due mezzi (indici di rifrazionerapporto fra la velocità della luce nel vuoto e quella nel mezzo $n_1$ e $n_2$) con un angolo $\theta_1$ rispetto alla normale alla superficie dà origine a un'onda riflessa (con angolo $\theta_1$) e a un'onda trasmessa con angolo $\theta_2$ tale che

$$\boxed{n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2}$$

(legge di Snellrelazione fra gli angoli dei raggi e gli indici di rifrazione ai due lati di una superficie). La si capisce dal requisito di continuità sul piano di separazione: la fase dell'onda sulla superficie deve essere la stessa nei due mezzi, e la costante di fasenumero d'onda, pulsazione spaziale dell'onda tangente alla superficie è $k_1\sin\theta_1=k_2\sin\theta_2$, con $k=\omega n/c_0$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →). Passando in un mezzo più denso ($n_2>n_1$) il raggio si avvicina alla normaleretta perpendicolare alla superficie nel punto di incidenza, in uno meno denso se ne allontana.

Esempio. Luce dall'aria ($n_1=1$) in vetro ($n_2=1{,}5$) con $\theta_1=30^\circ$: $\sin\theta_2=\dfrac{\sin30^\circ}{1{,}5}=0{,}333$, quindi $\theta_2=19{,}5^\circ$.

Riflessione totale

Se la luce passa da un mezzo più denso a uno meno denso ($n_1>n_2$), $\sin\theta_2=\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1>\sin\theta_1$: l'angolo trasmesso è maggiore di quello incidente e raggiunge $90^\circ$ (raggio radentetangente alla superficie, con angolo di 90 gradi rispetto alla normale) per l'angolo criticoangolo di incidenza oltre il quale non c'è più raggio trasmesso

$$\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}.$$

Per $\theta_1>\theta_c$ non esiste un angolo $\theta_2$ reale con $\sin\theta_2>1$: non c'è raggio trasmesso, tutta la potenza viene riflessa. È la riflessione totale, che può esistere solo passando da un mezzo più denso a uno meno denso. Esempi: vetro-aria ($1{,}5\to1$): $\theta_c=\arcsin\frac1{1{,}5}=41{,}8^\circ$; acqua-aria: $48{,}8^\circ$; diamante-aria: $24{,}4^\circ$ (da cui la brillantezza del diamante, che intrappola la luce).

La fibra ottica e l'apertura numerica

Una fibra ha un nucleo (core) di indice $n_f$ circondato da un mantello (cladding) di indice minore $n_c<n_f$, in modo che un raggio che incide sull'interfaccia nucleoparte centrale della fibra, con indice di rifrazione maggiore, in cui viaggia la luce-mantellostrato attorno al nucleo, con indice minore, che permette la riflessione totale con angolo abbastanza grande subisca riflessione totalefenomeno in cui tutta la potenza viene riflessa e nulla passa nel secondo mezzo e rimanga confinato nel nucleo. All'esterno c'è uno strato di plastica per proteggere la fibra.

La figura (schematica: gli angoli sono esagerati rispetto a una fibra reale) mostra un raggio che entra nel nucleo con angolo $\theta_2$ rispetto all'asse (tratteggiato), più piccolo di $\theta_i$ perché $n_f>n_0$, e rimbalza fra le due pareti per riflessione totale. Si ricava la condizione sull'angolo di ingresso con due applicazioni della legge di Snell. All'ingresso (dall'aria, $n_0=1$, al nucleo):

$$n_0\sin\theta_i=n_f\sin\theta_2.$$

Il raggio nel nucleo, inclinato di $\theta_2$ rispetto all'asse, incide sull'interfaccia nucleo-mantello con angolo $\frac\pi2-\theta_2$ rispetto alla normale: perché ci sia riflessione totale deve essere $n_f\sin\left(\frac\pi2-\theta_2\right)\ge n_c$, cioè $n_f\cos\theta_2\ge n_c$. Al limite $\cos\theta_2=\dfrac{n_c}{n_f}$ e $\sin\theta_2=\sqrt{1-\dfrac{n_c^2}{n_f^2}}$; sostituendo nella prima:

$$\sin\theta_i=n_f\sin\theta_2=\sqrt{n_f^2-n_c^2}.$$

Si definisce apertura numerica (numerical aperture) e angolo di accettazione

$$\boxed{NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2},\qquad\theta_a=\arcsin NA\approx NA\ (\text{rad})}$$

Un raggio che entra con $\theta_i\le\theta_a$ è guidato; se entra con angolo maggiore passa nel mantello e si disperde. Se il mezzo esterno non è l'aria: $\sin\theta_a=\dfrac{\sqrt{n_f^2-n_c^2}}{n_0}$.

Esempio 1. $n_0=1$, $n_f=1{,}469$, $n_c=1{,}466$: $NA=\sqrt{1{,}469^2-1{,}466^2}=\sqrt{0{,}008805}=0{,}0938$, $\theta_a=\arcsin0{,}0938=5{,}38^\circ$ ($0{,}094$ rad). (Il valore arrotondato nelle slide del corso è $0{,}1$ rad, circa $5{,}7^\circ$.) Nel nucleo l'inclinazione massima è $\theta_{2,max}=\arccos\frac{n_c}{n_f}=3{,}66^\circ$, e l'angolo di incidenza sull'interfaccia vale almeno $86{,}3^\circ$: i raggi sono quasi paralleli all'asse.

Esempio 2. $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$: $NA=\sqrt{1{,}52^2-1{,}49^2}=\sqrt{0{,}0903}=0{,}3005$, $\theta_a=17{,}5^\circ$ (un'apertura molto più larga). Una fibra con una differenza di indice maggiore accetta luce da un cono più ampio, ma — come si vede in Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e bandain una fibra multimodo ogni raggio compie un cammino diverso: il più breve è quello lungo l'asse (lunghezza $l$), il più lungo è quello inclinato di $\theta_2$ con $\cos\theta_2=\frac{n_c}{n_f}$ (lunghezza $l\frac{n_f}{n_c}$). Il ritardo massimo fra raggio più veloce e più lento (dispersione modale) è $\tau=\frac{l,n_f}{c_0}\left(\frac{n_f}{n_c}-1\right)\approx\frac{l}{c_0},(n_f-n_c)$: proporzionale alla lunghezza e alla differenza di indici. Per evitare l'interferenza intersimbolica serve $T>2\tau$, quindi $f_{bit}<\frac1{2\tau}=\frac{c_0,n_c}{2,l,n_f,(n_f-n_c)}$ (il prodotto $f_{bit},l$ è limitato: 100-500 Mbit/s·km per le fibre multimodo ottimizzate). Le fibre monomodo (nucleo di circa 9 µm) e a indice graduale riducono la dispersione. L'attenuazione si misura in dB/km: $P_{out}=P_{in},10^{-\alpha_{dB}L/10}$; lo scattering di Rayleigh cala come $1/\lambda^4$ e il minimo (circa 0,16-0,2 dB/km) è a 1550 nm; la banda con meno di 0,5 dB/km va da 1250 a 1650 nm, cioè circa 58 THz.Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e banda → — ha più dispersione modaleallargamento dell'impulso dovuto ai diversi percorsi dei raggi nella fibra.

Errori comuni

• Misurare gli angoli rispetto alla superficie invece che alla normale.
• Dire che la riflessione totale si ha passando in un mezzo più denso: serve $n_1>n_2$ (da denso a meno denso).
• Dimenticare che l'angolo di accettazioneangolo massimo rispetto all'asse con cui un raggio può entrare ed essere guidato si definisce sull'angolo in aria $\theta_i$, non su quello nel nucleo $\theta_2$.
• Usare $NA=n_f-n_c$: la formula esatta è $\sqrt{n_f^2-n_c^2}$ (circa $\sqrt{2n_f(n_f-n_c)}$).