Esercizio 26riflessione normale, posizione dei minimi e dei massimi, campo incidente e campo a distanza (temi d'esame)

---

Teoria usata: Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici →, Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →.

Formule. $\Gamma=\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$, $\tau=1+\Gamma$; campo totale in $z=0$: $E(0)=E_{0i}(1+\Gamma)$; $|\bar E_1(z)|=E_{0i}\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$ per $z\le0$; massimi se $\varphi_\Gamma+2k_1z=2N\pi$, minimi se $=(2N+1)\pi$; $\lambda_1=\dfrac{c_0}{n_1f}$.

1. Minimo più vicino con $\varepsilon_{r1}=4$, $\varepsilon_{r2}=2{,}25$

$n_1=2$, $n_2=1{,}5$: $\Gamma=\dfrac{2-1{,}5}{2+1{,}5}=+\dfrac17>0$, fase $\varphi_\Gamma=0$: in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$. Il primo minimo è dove $2k_1z_{min}=-\pi$, cioè $z_{min}=-\dfrac{\lambda_1}4$. $\lambda_1=\dfrac{c_0}{n_1f}=\dfrac{3\cdot10^8}{2\cdot12\cdot10^9}=12{,}5$ mm, quindi $z_{min}=\mathbf{-3{,}125}$ mm (risposta e).

2. Massimo più vicino con $\varepsilon_{r1}=2{,}25$, $\varepsilon_{r2}=4$

$n_1=1{,}5$, $n_2=2$: $\Gamma=\dfrac{1{,}5-2}{3{,}5}=-\dfrac17<0$, $\varphi_\Gamma=\pi$: in $z=0$ c'è un minimo. Il primo massimo è dove $\pi+2k_1z_{MAX}=0$: $z_{MAX}=-\dfrac{\lambda_1}4$ con $\lambda_1=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5\cdot16\cdot10^9}=12{,}5$ mm: $z_{MAX}=\mathbf{-3{,}125}$ mm (risposta c; l'opzione d, $0$, sarebbe il caso opposto).

3. e 4. Campo incidente dal campo totale

Il campo totale in $z=0$ è $E(0)=E_{0i}(1+\Gamma)=\tau E_{0i}$.

3. $n_1=2{,}5$, $n_2=1{,}5$: $\Gamma=\dfrac{2{,}5-1{,}5}{2{,}5+1{,}5}=0{,}25$, $\tau=1{,}25$: $E_{0i}=\dfrac{10}{1{,}25}=\mathbf8$ V/m (risposta d).
4. $n_1=2$, $n_2=1{,}5$: $\Gamma=\dfrac17$, $\tau=\dfrac87$: $E_{0i}=\dfrac{8}{8/7}=\mathbf7$ V/m (risposta e).

5. Campo a distanza $d$

$n_1=3$, $n_2=2$: $\Gamma=\dfrac{3-2}{3+2}=0{,}2$, $\tau=1{,}2$, $E_{0i}=\dfrac{12}{1{,}2}=10$ V/m. $\lambda_1=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot5\cdot10^9}=20$ mm, quindi $d=5$ mm $=\dfrac{\lambda_1}4$ e $2k_1d=2\cdot\dfrac{2\pi}{20}\cdot5=\pi$. In $z=-d$: $|E|=E_{0i}\left|1+\Gamma e^{-j\pi}\right|=E_{0i}(1-\Gamma)=10\cdot0{,}8=\mathbf8$ V/m (risposta f): è un minimo, a $\lambda_1/4$ dall'interfaccia (dove c'è un massimo perché $\Gamma>0$: $12$ V/m $=10\cdot1{,}2$).

6. Campo riflesso nel dominio del tempo

Ampiezza complessa incidente in $z=0$: $E_{0i}=3e^{j60^\circ}$. Riflesso: $E_{0r}=\Gamma E_{0i}=-0{,}3\cdot3e^{j60^\circ}=0{,}9\,e^{j(60^\circ+180^\circ)}=0{,}9\,e^{j240^\circ}$ e si propaga verso $-z$ (segno $+kz$): $\bar e_r(z,t)=\mathbf{0{,}9\cos(\omega t+kz+240^\circ)\hat x}$ V/m $=-0{,}9\cos(\omega t+kz+60^\circ)\hat x$ V/m.

7. Campo totale in tre punti

$n_1=1{,}5$, $n_2=2$: $\Gamma=\dfrac{1{,}5-2}{3{,}5}=-\dfrac17$, $\tau=\dfrac67$, quindi $E_{0i}=\dfrac{E(0)}{\tau}=\dfrac76=1{,}167$ V/m. $\lambda_1=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5\cdot10^{10}}=2$ cm.

• (a) $z=-1$ cm $=-\dfrac{\lambda_1}2$: $2k_1z=-2\pi$, il fattore di fase vale $1$: $|E|=E_{0i}|1+\Gamma|=1{,}167\cdot\dfrac67=\mathbf1$ V/m (lo stesso valore di $z=0$: il periodo è $\lambda_1/2$).
• (b) $z=-5$ mm $=-\dfrac{\lambda_1}4$: $2k_1z=-\pi$, $|E|=E_{0i}|1-\Gamma|=1{,}167\cdot\dfrac87=\mathbf{1{,}333}$ V/m (massimo di $|E|$).
• (c) $z=+2{,}4$ cm (nel mezzo 2, senza perdite): $|E|=|E_t|=E_{0i}\tau=\mathbf1$ V/m (il modulo del campo trasmesso è costante, onda progressiva pura).

Errori comuni

• Usare la lunghezza d'onda nel vuoto: $\lambda_1=c_0/(n_1f)$ (con $n_1=2$ e $f=12$ GHz si ha $12{,}5$ mm, non $25$ mm).
• Scambiare minimi e massimi: con $\Gamma>0$ il massimo è sull'interfaccia; con $\Gamma<0$ il minimo.
• Dire che $E(0)=E_{0i}$: $E(0)=E_{0i}(1+\Gamma)$.
• Dare come campo nel mezzo 2 un valore che dipende da $z$: senza perdite il modulo del campo trasmesso è costante.