Esercizio 21onda piana, campo elettrico e magnetico, impedenza intrinseca, costante di fase e frequenza (temi d'esame ed esercitazione 2)

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Teoria usata: Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →, Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtzle equazioni di Maxwell nel tempo sono $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\frac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$, $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\frac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$, con $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$, $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$ ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m). Nel regime sinusoidale il campo è il fasorenumero complesso o vettore complesso che rappresenta ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le equazioni di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$).Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz →.

Regola generale. Per un'onda piana che si propaga nel verso $\hat k$: $\bar E=\eta\,\bar H\times\hat k$ e $\bar H=\dfrac{\hat k\times\bar E}\eta$, con $\eta=\dfrac{\omega\mu}{k}=\dfrac k{\omega\varepsilon}=\sqrt{\mu/\varepsilon}$. Prodotti vettoriali: $\hat x\times\hat y=\hat z$, $\hat y\times\hat z=\hat x$, $\hat z\times\hat x=\hat y$ (e il cambio di segno scambiando l'ordine).

1. Campo $\bar E$ da $\bar H$ (propagazione in $+z$)

$\bar E=\eta\,\bar H\times\hat z=\eta\left[H_x(\hat x\times\hat z)+H_y(\hat y\times\hat z)\right]=\eta\left(-H_x\hat y+H_y\hat x\right)$, con $\eta=\dfrac k{\omega\varepsilon}$: $\bar E=\dfrac k{\omega\varepsilon}(H_y\hat x-H_x\hat y)e^{-jkz}$: risposta d.

2. Da $\hat H(y)$ al campo nel tempo

L'onda va verso $+y$ ($e^{-j2\pi y}$, $k=2\pi$). $\bar E=\eta\,\bar H\times\hat y=\eta\,H\,(\hat x\times\hat y)=\eta H\,\hat z$: il campo elettrico è lungo $+\hat z$. Con $\eta_0=377\ \Omega$ e $H=4$ mA/m: $E=377\cdot4\cdot10^{-3}=1{,}51$ V/m, quindi $\bar e(y,t)=\mathbf{1{,}5\cos(\omega t-2\pi y)\hat z}$ V/m (luglio 2024). Con $\eta=150\ \Omega$ (giugno 2025): $E=150\cdot4\cdot10^{-3}=0{,}6$, $\bar e(y,t)=\mathbf{0{,}6\cos(\omega t-2\pi y)\hat z}$ V/m (opzione f).

3. Propagazione in $+x$

$\bar E=\eta\,\bar H\times\hat x=\eta\left[H_y(\hat y\times\hat x)+H_z(\hat z\times\hat x)\right]=\eta\left(-H_y\hat z+H_z\hat y\right)$, cioè $\bar E=\dfrac k{\omega\varepsilon}(H_z\hat y-H_y\hat z)e^{-jkx}$: risposta e.

4. Con $\eta=200\ \Omega$

$\bar E=\eta\,\bar H\times\hat z=200\left[0{,}03(\hat x\times\hat z)+0{,}01(\hat y\times\hat z)\right]=200\left(-0{,}03\hat y+0{,}01\hat x\right)=\mathbf{2\hat x-6\hat y}$ V/m: risposta c.

5. Frequenza

$\lambda=\dfrac{c_0}{nf}\Rightarrow f=\dfrac{c_0}{n\lambda}=\dfrac{3\cdot10^8}{1{,}5\cdot0{,}01}=\mathbf{20}$ GHz (risposta b).

6. Ampiezza del campo elettrico

$n=2\Rightarrow\eta=\dfrac{\eta_0}{2}=60\pi\ \Omega$: $E_0=\eta H_0=60\pi\cdot0{,}01=\mathbf{0{,}6\pi}$ V/m $=1{,}88$ V/m.

7. Costante di fase nel vuoto

$k_0=\dfrac{2\pi f}{c_0}=\dfrac{2\pi\cdot6\cdot10^8}{3\cdot10^8}=\mathbf{4\pi}\ \text{m}^{-1}$ ($\lambda_0=0{,}5$ m).

8. Permittività relativa

$\lambda=\dfrac{2\pi}k=2$ m, $v=f\lambda=6\cdot10^7$ m/s, $n=\dfrac{c_0}v=5$, $\varepsilon_r=n^2=\mathbf{25}$. Il segno $+kx$ nel coseno indica un'onda che viaggia verso $-x$.

9. Dimensioni di $\omega\mu$

Dalle unità: $[\nabla\times\bar E]=\dfrac{\text{V}}{\text{m}^2}$ e $[\bar H]=\dfrac{\text{A}}{\text{m}}$, quindi $[\omega\mu]=\dfrac{\text{V/m}^2}{\text{A/m}}=\dfrac{\text{V}}{\text{A}\cdot\text{m}}=\mathbf{\Omega\cdot m^{-1}}$ (risposta d).

10. Condizione per l'equazione di Helmholtz

Si usa $\nabla\times\nabla\times\bar E=\nabla(\nabla\cdot\bar E)-\nabla^2\bar E$; l'equazione di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$ segue solo se $\nabla\cdot\bar E=0$ (risposta f).

11. Campo magnetico dal campo elettrico

Verso $+z$: $\bar h=\dfrac{\hat z\times\bar e}{\eta_0}$ con $\hat z\times\hat x=\hat y$, $\hat z\times\hat y=-\hat x$: $\bar h=\dfrac1{120\pi}\left[1{,}2\pi\cos(\omega t-kz)\hat y+1{,}2\pi\sin(\omega t-kz)\hat x\right]$, cioè

$$\bar h(z,t)=\mathbf{0{,}01\sin(\omega t-kz)\hat x+0{,}01\cos(\omega t-kz)\hat y}\ \text{A/m}.$$

12. Minimo del modulo del campo magnetico

Fasore $\hat H(z)=2{,}5e^{-jkz}+1{,}5e^{+jkz}$ (in $\hat x$ mA/m). $|\hat H|^2=(2{,}5)^2+(1{,}5)^2+2\cdot2{,}5\cdot1{,}5\cos(2kz)=8{,}5+7{,}5\cos(2kz)$: minimo per $\cos(2kz)=-1$, $2kz=-\pi$ (con $z<0$), cioè $z=-\dfrac\pi{2k}$. Con $k=\dfrac{2\pi f n}{c_0}=\dfrac{2\pi\cdot10^9\cdot2}{3\cdot10^8}=41{,}9\ \text{rad/m}$: $z=-\dfrac{\pi}{83{,}8}=-0{,}0375$ m $=\mathbf{-3{,}75}$ cm. (Il valore minimo del modulo è $\sqrt{8{,}5-7{,}5}=1$ mA/m, il massimo $\sqrt{16}=4$ mA/m.)

Errori comuni

• Scambiare l'ordine nel prodotto vettoriale: $\bar H\times\hat k$ per $\bar E$ (non $\hat k\times\bar H$).
• Scrivere il verso di propagazione dal segno del termine di fase: $e^{-jky}$ vuol dire propagazione in $+y$; $\cos(\omega t+kx)$ propagazione in $-x$.
• Usare $377\ \Omega$ in un mezzo con impedenza data (o con $n\neq1$).
• Dimenticare che la costante di fase di un mezzo vale $k=nk_0$.