Esercizio 20fibre ottiche, apertura numerica, ritardo, velocità di bit e attenuazione (temi d'esame ed esercitazione 2)

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Teoria usata: Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e bandain una fibra multimodo ogni raggio compie un cammino diverso: il più breve è quello lungo l'asse (lunghezza $l$), il più lungo è quello inclinato di $\theta_2$ con $\cos\theta_2=\frac{n_c}{n_f}$ (lunghezza $l\frac{n_f}{n_c}$). Il ritardo massimo fra raggio più veloce e più lento (dispersione modale) è $\tau=\frac{l,n_f}{c_0}\left(\frac{n_f}{n_c}-1\right)\approx\frac{l}{c_0},(n_f-n_c)$: proporzionale alla lunghezza e alla differenza di indici. Per evitare l'interferenza intersimbolica serve $T>2\tau$, quindi $f_{bit}<\frac1{2\tau}=\frac{c_0,n_c}{2,l,n_f,(n_f-n_c)}$ (il prodotto $f_{bit},l$ è limitato: 100-500 Mbit/s·km per le fibre multimodo ottimizzate). Le fibre monomodo (nucleo di circa 9 µm) e a indice graduale riducono la dispersione. L'attenuazione si misura in dB/km: $P_{out}=P_{in},10^{-\alpha_{dB}L/10}$; lo scattering di Rayleigh cala come $1/\lambda^4$ e il minimo (circa 0,16-0,2 dB/km) è a 1550 nm; la banda con meno di 0,5 dB/km va da 1250 a 1650 nm, cioè circa 58 THz.Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e banda →, Legge di Snell, riflessione totale e apertura numericaalla separazione fra due mezzi con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$ vale la legge di Snell $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ (angoli rispetto alla normale; l'angolo del raggio riflesso è uguale a quello incidente). Se $n_1>n_2$ esiste l'angolo critico $\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}$: per $\theta_1>\theta_c$ non esiste raggio trasmesso, c'è riflessione totale. Una fibra otticafilo di vetro che guida la luce con riflessioni totali successive ha un nucleo di indice $n_f$ circondato da un mantello di indice $n_c<n_f$: la luce resta guidata per riflessioni totali successive. Un raggio che entra dall'aria ($n_0=1$) con angolo $\theta_i$ rispetto all'asse resta guidato se $\sin\theta_i\le\sqrt{n_f^2-n_c^2}$: l'apertura numericaseno dell'angolo massimo con cui la luce può entrare nella fibra ed essere guidata è $NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$ e l'angolo di accettazione $\theta_a=\arcsin NA\approx NA$ per piccoli angoli. Esempi: $n_f=1{,}469$, $n_c=1{,}466$: $NA=0{,}094$, $\theta_a=5{,}4^\circ$; $n_f=1{,}52$, $n_c=1{,}49$: $NA=0{,}30$, $\theta_a=17{,}5^\circ$.Legge di Snell, riflessione totale e apertura numerica →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

(a) e (b) Ritardo in funzione della differenza di indici

Il ritardo massimo fra i raggi è $\tau=\dfrac{l}{c_0}\,(n_1-n_2)$ (formula approssimata, sempre usata nei temi): proporzionale alla differenza di indici $n_1-n_2$ (a lunghezza fissata). Quindi

(a) da $n_1-n_2=0{,}01$ a $0{,}02$: $\tau'=\tau\cdot\dfrac{0{,}02}{0{,}01}=2\cdot33{,}8=\mathbf{67{,}6}$ ns (risposta b).

(b) da $n_1-n_2=0{,}02$ a $0{,}01$: $\tau'=\tau\cdot\dfrac{0{,}01}{0{,}02}=\dfrac{33{,}8}{2}=\mathbf{16{,}9}$ ns (risposta a).

La lunghezza della fibra si ricava dal dato: $l=\dfrac{\tau c_0}{n_1-n_2}$. In (a) $l=\dfrac{33{,}8\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^8}{0{,}01}=1014$ m ($\approx1$ km); in (b) $l=\dfrac{33{,}8\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^8}{0{,}02}=507$ m.

(c) Ritardo su 1 km

$\tau\approx\dfrac{l}{c_0}(n_1-n_2)=\dfrac{1000}{3\cdot10^8}\cdot0{,}001=\mathbf{3{,}33}$ ns. Con la formula esatta $\tau=\dfrac{l\,n_1}{c_0}\left(\dfrac{n_1}{n_2}-1\right)=\dfrac{1000\cdot1{,}468}{3\cdot10^8}\cdot0{,}000682=3{,}34$ ns: la differenza è trascurabile.

(d) Apertura numerica e velocità di bit

$NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}=\sqrt{1{,}48^2-1{,}46^2}=\sqrt{2{,}1904-2{,}1316}=\sqrt{0{,}0588}=\mathbf{0{,}2425}$ e $\theta_a=\arcsin0{,}2425=\mathbf{14{,}0^\circ}$ (i raggi che entrano dall'aria con angoli fino a $14^\circ$ rispetto all'asse sono guidati).

Per la seconda fibra: $\tau=\dfrac{l}{c_0}(n_f-n_c)=\dfrac{2000}{3\cdot10^8}\cdot0{,}02=133$ ns. Con $T>2\tau$: $f_{bit}=\dfrac1T<\dfrac1{2\tau}=\dfrac{1}{266{,}7\ \text{ns}}=\mathbf{3{,}75}$ Mbit/s (con la formula $\dfrac{c_0n_c}{2\,l\,n_f(n_f-n_c)}=\dfrac{3\cdot10^8\cdot1{,}48}{2\cdot2000\cdot1{,}5\cdot0{,}02}=3{,}7$ Mbit/s). Il prodotto $f_{bit}\,l=7{,}4$ Mbit/s$\cdot$km è molto minore dei $100$-$500$ Mbit/s$\cdot$km delle fibre ottimizzate: questa fibra "step-index" con $\Delta n$ elevato è poco adatta alle lunghe distanze.

(e) Attenuazione

Prima fibra: $A_{dB}=\alpha L=0{,}2\cdot30=6$ dB, $P_{out}=P_{in}10^{-6/10}=4\cdot0{,}251=1{,}0$ mW ($\approx1$ mW; attenuazione di un fattore $\approx4$). Seconda fibra: $A_{dB}=0{,}25\cdot40=10$ dB, quindi $P_{in}=P_{out}\cdot10^{10/10}=0{,}1\cdot10=\mathbf{1}$ mW. Per confronto: una fibra di $80$ km con $0{,}2$ dB/km perde $16$ dB, cioè un fattore $40$: con $P_{in}=2$ mW (3 dBm) esce $2\cdot10^{-1{,}6}=0{,}050$ mW $=50\ \mu$W ($-13$ dBm).

(f) Dipendenza qualitativa

$\tau=\dfrac l{c_0}(n_1-n_2)$: aumenta all'aumentare di $n_1-n_2$: risposta b. Non dipende da $n_1+n_2$ e non decresce con $n_1-n_2$.

Errori comuni

• Dire che il ritardo dipende da $n_1+n_2$ o dal rapporto $n_1/n_2$ in modo diverso dalla differenza: nella formula approssimata conta $n_1-n_2$.
• Dimenticare la lunghezza della fibra: a parità di $n_1-n_2$ il ritardo è proporzionale a $l$.
• Usare $T>\tau$ al posto di $T>2\tau$ per la massima velocità di bit.
• Confondere l'apertura numerica con la differenza di indici ($NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$, non $n_f-n_c$).
• Usare l'attenuazione in dB come fattore moltiplicativo: $P_{out}=P_{in}\cdot10^{-A/10}$.