Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione

** è una coppia di conduttori il cui comportamento si descrive con quattro parametri **per unità di lunghezza**: $R$ (perdite nei conduttori), $L$ (energia magnetica), $G$ (perdite nel dielettrico), $C$ (energia elettrica). Scrivendo le leggi di Kirchhoff su un tratto $\Delta z$ e facendo $\Delta z\to0$ si ottengono le **equazioni del telegrafo**; nel regime sinusoidale diventano $\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I$ e $\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V$, da cui l'equazione d'onda $\frac{d^2V}{dz^2}=\gamma^2V$ con $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$. La soluzione è la somma di un'onda che va verso $+z$ e di una che va verso $-z$: $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$ con **impedenza caratteristicarapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva, dipende solo dalla struttura della linea** $Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$. Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$ reale, $v_p=1/\sqrt{LC}$, $\lambda=v_p/f$. -->

Un cavo coassialecavo con un filo centrale circondato da una calza metallica cilindrica, una coppia di fili, una microstrisciapista di rame stampata su un dielettrico, sopra un piano di massa di un circuito stampato: sono tutti linee di trasmissione. Un segnale che le percorre non arriva "subito" ovunque: si propaga come un'onda con velocità finita, e se la lunghezza della linea è paragonabile alla lunghezza d'ondadistanza minima tra due punti con la stessa fase, pari a velocità divisa per frequenza del segnale la tensione e la corrente dipendono dalla posizione, non solo dal tempo. Per questo non bastano le leggi dei circuiti a parametri concentrati: serve un modello distribuito.

Il modello a parametri distribuiti

Si divide la linea in tratti di lunghezza $\Delta z$ molto piccola e si associa a ciascun tratto un piccolo circuito con quattro elementi, i cui valori sono proporzionali a $\Delta z$:

Questi valori dipendono dai materiali (rame, polietilenemateriale plastico isolante usato nei cavi coassiali, con costante dielettrica relativa 2,25, PVC) e dalle dimensioni del cavo (diametro dei conduttori, distanza tra loro) e, attraverso gli effetti di pelle e le perdite del dielettrico, anche dalla frequenza. Il tratto $\Delta z$ è fatto così: tra il filo di andata e il filo di ritorno c'è in serie $R\Delta z$ e $L\Delta z$, e tra i due fili, in parallelo, $G\Delta z$ e $C\Delta z$.

Le equazioni del telegrafo nel dominio del tempo

Si chiama $v(z,t)$ la tensione tra i due conduttori e $i(z,t)$ la corrente nella posizione $z$. Dalla legge di Kirchhoffleggi dei circuiti: somma delle tensioni nulla lungo una maglia e somma delle correnti nulla in un nodo alle maglie sul tratto da $z$ a $z+\Delta z$:

$$v(z,t)-R\Delta z\,i(z,t)-L\Delta z\,\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+\Delta z,t)=0.$$

Dalla legge di Kirchhoff ai nodi:

$$i(z,t)-G\Delta z\,v(z+\Delta z,t)-C\Delta z\,\frac{\partial v(z+\Delta z,t)}{\partial t}-i(z+\Delta z,t)=0.$$

Si dividono le due equazioni per $\Delta z$ e si fa tendere $\Delta z\to0$: i rapporti $\frac{v(z+\Delta z)-v(z)}{\Delta z}$ diventano derivate rispetto a $z$ e si ottengono le equazioni del telegrafo

$$\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-R\,i(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t},\qquad\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-G\,v(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}.$$

Si leggono così: una variazione nel tempo della corrente (o della tensione) provoca una variazione nello spazio della tensione (o della corrente). Modulare un segnale nel tempo, cioè trasmettere informazione, significa quindi creare variazioni lungo la linea: è il meccanismo che fa propagare il segnale.

Il regime sinusoidale: i fasori

Se il generatore è sinusoidale alla pulsazione $\omega$ si lavora con i fasorinumeri complessi che rappresentano ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale: $v(z,t)=\Re\{V(z)e^{j\omega t}\}$. Una derivata rispetto al tempo diventa una moltiplicazione per $j\omega$ e le due equazioni diventano

$$\frac{dV(z)}{dz}=-(R+j\omega L)\,I(z),\qquad\frac{dI(z)}{dz}=-(G+j\omega C)\,V(z).$$

Per scrivere più in breve si definiscono l'impedenza per unità di lunghezza $Z=R+j\omega L$ e l'ammettenza per unità di lunghezza $Y=G+j\omega C$. Le due equazioni diventano

$$\frac{dV}{dz}=-Z\,I,\qquad\frac{dI}{dz}=-Y\,V.$$

Sono due equazioni differenziali del primo ordine accoppiate: la tensione compare nella seconda, la corrente nella prima. Per risolverle si "disaccoppiano": si deriva la prima rispetto a $z$ e vi si sostituisce la seconda,

$$\frac{d^2V}{dz^2}=-Z\frac{dI}{dz}=ZY\,V=\gamma^2V\quad\Rightarrow\quad\frac{d^2V}{dz^2}-\gamma^2V=0,$$

e analogamente per la corrente: $\frac{d^2I}{dz^2}-\gamma^2I=0$. Queste sono le equazioni d'ondaequazioni differenziali del secondo ordine le cui soluzioni sono onde che si propagano per tensione e corrente. La quantità

$$\boxed{\gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha+j\beta}$$

si chiama costante di propagazionenumero complesso che dà l'attenuazione (parte reale) e lo sfasamento (parte immaginaria) per unità di lunghezza: la parte reale $\alpha$ (Np/m) è l'attenuazione, la parte immaginaria $\beta$ (rad/m) è la costante di fase.

La soluzione: onda progressiva e onda regressiva

L'equazione $V''=\gamma^2V$ ha come soluzione generale

$$V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z},$$

con $V^+$ e $V^-$ costanti complesse (ampiezza e fase). Sostituendo nella prima equazione del telegrafo si trova la corrente:

$$I(z)=-\frac1Z\frac{dV}{dz}=\frac{\gamma}{Z}\left(V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{+\gamma z}\right)=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{+\gamma z}}{Z_0}.$$

Il fattore che lega tensione e corrente di ciascuna onda è l'impedenza caratteristica

$$\boxed{Z_0=\frac{Z}{\gamma}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$$

(si indica anche con $Z_C$ nei temi). Il segno meno davanti alla seconda onda di corrente non è un caso: l'onda che torna indietro porta una corrente che, con il verso scelto per $z$, ha segno opposto alla tensione.

Significato fisico. Nel dominio del tempo il primo termine vale $|V^+|e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\varphi^+)$: è un'onda che avanza verso $z$ crescenti (onda progressivaonda che avanza dal generatore verso il carico o incidente) e la cui ampiezza diminuisce come $e^{-\alpha z}$. Per vederlo si segue un punto a fase costante: da $\omega t_1-\beta z_1=\omega t_2-\beta z_2$ segue $\beta(z_2-z_1)=\omega(t_2-t_1)$, cioè se $t_2>t_1$ allora $z_2>z_1$: il punto si sposta verso $+z$ con velocità

$$v_p=\frac{\omega}{\beta}$$

(la velocità di fase).

Il secondo termine è un'onda che avanza verso $z$ decrescenti (onda regressivaonda che torna dal carico verso il generatore, prodotta dalla riflessione o riflessa). La lunghezza d'onda è la minima distanza fra due punti con la stessa fase: $\beta\lambda=2\pi$, cioè $\lambda=\dfrac{2\pi}{\beta}=\dfrac{v_p}{f}$.

Le costanti $V^+$ e $V^-$ sono solo due perché le condizioni al contornovalori imposti agli estremi della linea dal generatore e dal carico, che fissano le costanti della soluzione sono due: il generatore (tensione a vuoto e impedenza interna) e il carico (impedenza di carico). Vedremo come si determinano in Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità → e in Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|_{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →.

La linea senza perdite

Se $R=0$ e $G=0$ (linea ideale), le formule si semplificano molto:

$$\gamma=j\omega\sqrt{LC}=j\beta,\quad\alpha=0,\quad\beta=\omega\sqrt{LC},\quad Z_0=\sqrt{\frac LC}\ \text{(reale)},\quad v_p=\frac1{\sqrt{LC}}.$$

In questo caso $v_p$ non dipende dalla frequenza e $\beta$ è proporzionale a $\omega$: una conseguenza importante per la distorsione (Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppoadattamento in potenza: il generatore vede ai morsetti l'impedenza $Z_g^*$ (complesso coniugato di quella interna) e quindi eroga la massima potenza attiva, $P_{max}=\frac{|V_g|^2}{8,\mathrm{Re},Z_g}$. Non basta per trasmettere bene un segnale: la funzione di trasferimento della linea $H(\omega)=\frac{V_L}{V(-l_1)}=\frac{Z_L}{Z_L\cos\beta l_1+jZ_0\sin\beta l_1}$ non ha modulo costante né fase lineare in $\omega$, quindi la linea distorce. Un segnale arriva indistorto (solo ritardato di $\tau$) se $H(\omega)=e^{-j\omega\tau}$: modulo 1 e $\beta$ lineare in $\omega$. Adattamento di uniformità: se $Z_L=Z_0$ allora $V^-=0$ e $H(\omega)=e^{-j\beta l_1}=e^{-j\omega l_1\sqrt{LC}}$, quindi nessuna distorsione; si ottiene con una rete di adattamento senza perdite ($Z_{in}=Z_0$). Velocità di fase $v_p=\frac{\omega}{\beta}$ (di un punto a fase fissa, può superare $c_0$) e velocità di gruppo $v_g=\frac{d\omega}{d\beta}=\frac1{d\beta/d\omega}$ (dell'inviluppo, è la vera velocità del segnale, sempre finita); coincidono in una linea ideale TEM.Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppo →). Se la linea è riempita di un dielettrico con costante dielettrica relativa $\varepsilon_r$, vale $LC=\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r$, quindi $v_p=c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$: nel polietilene ($\varepsilon_r=2{,}25$) si ha $v_p=2\cdot10^8$ m/s. Nel testo di fisica si ritrova la stessa struttura: le equazioni del telegrafodue equazioni differenziali accoppiate che legano le derivate di tensione e corrente lungo la linea e le equazioni di Helmholtz di Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtzle equazioni di Maxwell nel tempo sono $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\frac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$, $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\frac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$, con $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$, $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$ ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m). Nel regime sinusoidale il campo è il fasorenumero complesso o vettore complesso che rappresenta ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le equazioni di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$).Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz → sono la stessa equazione d'onda, con $\beta\leftrightarrow k$.

Per una linea a due strisce parallele (larghezza $w$, distanza $h$) in un dielettrico con costante efficace $\varepsilon_{eff}$ ($1\le\varepsilon_{eff}\le\varepsilon_r$) si trova $Z_0=\dfrac{120\pi}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}\dfrac hw$: un cavo più "largo" rispetto alla distanza ha impedenza più bassa.

Esempio numerico: una linea con piccole perdite

Una linea a 100 MHz ha $R=0{,}5\ \Omega/\text{m}$, $L=250$ nH/m, $G=100\ \mu\text{S/m}$, $C=100$ pF/m. Con $\omega=2\pi\cdot10^8=6{,}283\cdot10^8$ rad/s:

• $Z=R+j\omega L=0{,}5+j157{,}08\ \Omega/\text{m}$ (domina la parte immaginaria: $R/\omega L=0{,}3\%$);
• $Y=G+j\omega C=10^{-4}+j0{,}06283$ S/m (anche qui $G/\omega C=0{,}16\%$);
• $\gamma=\sqrt{ZY}=0{,}0075+j3{,}1416\ \text{m}^{-1}$, cioè $\alpha=0{,}0075$ Np/m e $\beta=3{,}1416$ rad/m;
• $Z_0=\sqrt{Z/Y}=50{,}000-j0{,}040\ \Omega\approx50\ \Omega$ (praticamente reale, come per la linea idealelinea senza perdite, con resistenza e conduttanza nulle $\sqrt{L/C}=\sqrt{250\cdot10^{-9}/100\cdot10^{-12}}=50\ \Omega$);
• $v_p=\omega/\beta=2{,}00\cdot10^8$ m/s e $\lambda=2\pi/\beta=2{,}00$ m.

Per una linea con piccole perditecaso in cui la resistenza in serie è molto minore della reattanza induttiva e la conduttanza molto minore della suscettanza capacitiva ($R\ll\omega L$ e $G\ll\omega C$) si usa l'approssimazione $\alpha\approx\dfrac{R}{2Z_0}+\dfrac{GZ_0}{2}=\dfrac{0{,}5}{100}+\dfrac{10^{-4}\cdot50}{2}=0{,}005+0{,}0025=0{,}0075$ Np/m: coincide con il valore esatto. L'attenuazione in decibel su 100 m è $8{,}686\cdot0{,}0075\cdot100=6{,}5$ dB, cioè arriva circa il 22% della potenza ($e^{-2\alpha\ell}=e^{-1{,}5}=0{,}223$). Per la scala dei dB vedi Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

Errori comuni

• Dimenticare che $R$, $L$, $G$, $C$ sono per unità di lunghezza: non sono grandezze del cavo intero.
• Confondere $Z$ (impedenza per metro, in $\Omega/$m) con $Z_0$ (impedenza caratteristica, in $\Omega$): $Z_0$ è un numero in ohm che non dipende dalla lunghezza della linea.
• Pensare che $Z_0$ sia l'impedenza che si misura ai capi di un tratto qualunque: è il rapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva. L'impedenza in un punto dipende anche dal carico (Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →).
• Usare $\beta=\omega\sqrt{LC}$ per una linea con perdite elevate: la formula vale solo senza perdite (o con perdite piccole come approssimazione).