MOSFET - caratteristiche di uscita dalla struttura del canale

È la domanda orale "ricavare le caratteristiche di uscita del MOSFET a partire dalla sua struttura" (Domande orali ricorrenti - elenco e tracce di rispostaDopo lo scritto il corso prevede una prova orale. Le domande ricorrenti sono una ventina e si riconducono a quattro gruppi: operazionale (integratore, non idealità, CMRR, strumentazione), giunzione pn e diodo (carica, campo, potenziale, larghezza, capacità, equazione di Shockley, raddrizzatori), transistor (BJT in zona attiva, modello del trasporto, effetto Early, piccolo segnale, MOSFET dalla struttura, stadi elementari) e circuiti integrati (differenziale, specchi di corrente). Per ogni domanda questa nota dà la traccia di risposta, le formule da saper scrivere e il rimando alla nota che contiene lo svolgimento.Domande orali ricorrenti - elenco e tracce di risposta →). Qui si ricavano le equazioni usate in Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFETNel transistor a effetto di campo la tensione di gate controlla la corrente di drain senza assorbire corrente (I_G = 0). Il MOSFET ha quattro versioni: canale n o p, enhancement (V_t > 0 per n) o depletion (V_t < 0 per n). In saturazione I_D = k(V_GS − V_t)² = I_DSS(V_GS/V_t − 1)²(1 + λV_DS), con g_m = 2|I_D|/|V_GS − V_t| e r_o ≈ 1/(λ|I_D|); in zona ohmica I_D = k[2(V_GS−V_t)V_DS − V_DS²]. Zone (n-MOS): interdizione V_GS < V_t; ohmica 0 < V_DS < V_GS − V_t; saturazione V_DS > V_GS − V_t (per il canale p, tutte le disuguaglianze si invertono). Il JFET segue le stesse equazioni del depletion con V_t = V_p (tensione di pinch-off).Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET →.

Il condensatore MOS e la carica del canale

Tra il gate e il semiconduttore c'è l'ossido di spessore $t_{ox}$: la capacità per unità di area è $C_{ox}=\varepsilon_{ox}/t_{ox}$. Esempio: $\varepsilon_{ox}=3{,}9\cdot8{,}85\cdot10^{-14}=3{,}45\cdot10^{-13}\ \mathrm{F/cm}$ e $t_{ox}=10\ \mathrm{nm}$ danno $C_{ox}=3{,}45\cdot10^{-7}\ \mathrm{F/cm^2}$ ($34{,}5\ \mathrm{fF/\mu m^2}$).

Si distinguono tre regimi del condensatore MOS (substrato di tipo p, n-MOS), in funzione di $v_{GB}$:

• accumulazione ($v_{GB}<0$): il gate negativo richiama lacune sotto l'ossido; nessun canale;
• svuotamento ($0<v_{GB}<V_t$): il gate positivo respinge le lacune, lasciando ioni accettori fissi (zona svuotata) senza portatori mobili;
• inversione ($v_{GB}>V_t$): sotto l'ossido si accumula uno strato di elettroni liberi (il canale), la cui carica per unità di area è proporzionale alla tensione oltre la soglia: $$Q_n=-C_{ox}\,(v_{GS}-V_t).$$ $V_t$ è la tensione di soglia: per $v_{GS}<V_t$ non c'è canale (interdizione).

Ricavo della corrente in zona ohmica

Si applica una tensione $V_{DS}\ge0$ tra drain e source (con source e substrato a massa). Il canale ha lunghezza $L$ (coordinata $y$, $y=0$ al source e $y=L$ al drain) e larghezza $W$. Il potenziale $V(y)$ del canale cresce da $0$ a $V_{DS}$: la tensione tra gate e canale nel punto $y$ diminuisce lungo il canale e la carica diventa (approssimazione di canale graduale) $$Q_n(y)=-C_{ox}\,\big[v_{GS}-V(y)-V_t\big].$$ La corrente (di deriva: gli elettroni si muovono nel campo $E=-dV/dy$ con velocità $-\mu_nE$) in una sezione di larghezza $W$ è $$I_D=W\,\mu_n\,|Q_n(y)|\,\frac{dV}{dy}=W\mu_nC_{ox}\,\big[v_{GS}-V(y)-V_t\big]\frac{dV}{dy}.$$ $I_D$ è la stessa in ogni sezione (conservazione della corrente): si separano le variabili e si integra da $y=0$ ($V=0$) a $y=L$ ($V=V_{DS}$): $$I_DL=W\mu_nC_{ox}\int_0^{V_{DS}}(v_{GS}-V_t-V)\,dV=W\mu_nC_{ox}\Big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}2\Big].$$ $$\boxed{I_D=\mu_nC_{ox}\frac WL\Big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\Big]=k\,\big[2(v_{GS}-V_t)V_{DS}-V_{DS}^2\big],\quad k=\tfrac12\mu_nC_{ox}\tfrac WL.}$$ Per $V_{DS}$ piccola il termine quadratico è trascurabile: $I_D\simeq2k(v_{GS}-V_t)V_{DS}$, il canale è un resistore controllato dalla tensione di gate con $$r_{on}=\frac1{2k\,(v_{GS}-V_t)}.$$

Saturazione

La formula vale finché la carica è positiva su tutto il canale. Al drain la tensione tra gate e canale è $v_{GS}-V_{DS}$: la carica si annulla per $V_{DS}=v_{GS}-V_t=V_{ov}$ (strozzamento, pinch-off). Per $V_{DS}\ge V_{ov}$ il punto di strozzamento si sposta verso il source e la parte del canale tra lo strozzamento e il drain è una zona svuotata che regge la tensione in eccesso $V_{DS}-V_{ov}$: la corrente non cresce più, resta il valore ottenuto per $V_{DS}=V_{ov}$: $$I_D=k\,\big[2V_{ov}^2-V_{ov}^2\big]=k\,V_{ov}^2=\tfrac12\mu_nC_{ox}\frac WL\,(v_{GS}-V_t)^2.$$ La modulazione della lunghezza di canale: la zona di strozzamento si allarga con $V_{DS}$ e la lunghezza efficace del canale diventa $L-\Delta L(V_{DS})$, quindi $I_D$ aumenta un poco: $I_D=kV_{ov}^2(1+\lambda V_{DS})$, analogo all'effetto Early.

La transcaratteristica in saturazione è la parabola $I_D=k\,(v_{GS}-V_t)^2$, il parametro $g_m=2k\,V_{ov}=2I_D/V_{ov}$ (Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFETNel transistor a effetto di campo la tensione di gate controlla la corrente di drain senza assorbire corrente (I_G = 0). Il MOSFET ha quattro versioni: canale n o p, enhancement (V_t > 0 per n) o depletion (V_t < 0 per n). In saturazione I_D = k(V_GS − V_t)² = I_DSS(V_GS/V_t − 1)²(1 + λV_DS), con g_m = 2|I_D|/|V_GS − V_t| e r_o ≈ 1/(λ|I_D|); in zona ohmica I_D = k[2(V_GS−V_t)V_DS − V_DS²]. Zone (n-MOS): interdizione V_GS < V_t; ohmica 0 < V_DS < V_GS − V_t; saturazione V_DS > V_GS − V_t (per il canale p, tutte le disuguaglianze si invertono). Il JFET segue le stesse equazioni del depletion con V_t = V_p (tensione di pinch-off).Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET →). I due regimi si raccordano con derivata continua in $V_{DS}=V_{ov}$ (la parabola della zona ohmica ha il massimo proprio lì).

Esempio numerico

$\mu_n=400\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ (mobilità superficiale, più bassa di quella di volume) con $C_{ox}=3{,}45\cdot10^{-7}\ \mathrm{F/cm^2}$ dà $\mu_nC_{ox}=138\ \mu\mathrm A/\mathrm V^2$; con $W/L=20$: $k=\tfrac12\cdot138\cdot20=1{,}38\ \mathrm{mA/V^2}$. Per $V_t=1\ \mathrm V$ e $v_{GS}=3\ \mathrm V$ ($V_{ov}=2\ \mathrm V$):

• saturazione: $I_D=1{,}38\cdot2^2=5{,}52\ \mathrm{mA}$ per $V_{DS}\ge2\ \mathrm V$;
• zona ohmica a $V_{DS}=1\ \mathrm V$: $I_D=1{,}38\,[2\cdot2\cdot1-1]=4{,}14\ \mathrm{mA}$ (inferiore a $5{,}52$ ✓);
• resistenza a piccola $V_{DS}$: $r_{on}=\dfrac1{2\cdot1{,}38\cdot2}=0{,}18\ \mathrm{k\Omega}=181\ \Omega$. (Per il caso $k=1\ \mathrm{mA/V^2}$, $V_{ov}=2\ \mathrm V$ il grafico della caratteristica di uscita è in Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFETNel transistor a effetto di campo la tensione di gate controlla la corrente di drain senza assorbire corrente (I_G = 0). Il MOSFET ha quattro versioni: canale n o p, enhancement (V_t > 0 per n) o depletion (V_t < 0 per n). In saturazione I_D = k(V_GS − V_t)² = I_DSS(V_GS/V_t − 1)²(1 + λV_DS), con g_m = 2|I_D|/|V_GS − V_t| e r_o ≈ 1/(λ|I_D|); in zona ohmica I_D = k[2(V_GS−V_t)V_DS − V_DS²]. Zone (n-MOS): interdizione V_GS < V_t; ohmica 0 < V_DS < V_GS − V_t; saturazione V_DS > V_GS − V_t (per il canale p, tutte le disuguaglianze si invertono). Il JFET segue le stesse equazioni del depletion con V_t = V_p (tensione di pinch-off).Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET →.)

Varianti

• p-MOS: i portatori sono lacune, $\mu_p$ (circa tre volte minore di $\mu_n$), e tutte le tensioni e le correnti cambiano segno ($V_t<0$ per l'enhancement, $V_{DS}<0$).
• Depletion: il canale esiste già a $v_{GS}=0$ (si inserisce uno strato drogato sotto l'ossido): le stesse equazioni con $V_t<0$ (n-MOS).
• Equazione con $I_{DSS}$: $I_{DSS}=kV_t^2$, e quindi $I_D=I_{DSS}(v_{GS}/V_t-1)^2$ come usato negli esercizi.

Errori comuni

• Dimenticare che la corrente è costante lungo il canale mentre la carica non lo è.
• Usare la formula della zona ohmica per $V_{DS}>V_{ov}$ (la parabola ridiscende).
• Dimenticare il fattore $1/2$ in $k=\tfrac12\mu_nC_{ox}W/L$ (e la differenza tra $k(V_{GS}-V_t)^2$ e $\mu_nC_{ox}\frac WL(V_{GS}-V_t)^2$).
• Usare la mobilità di volume ($1300$) invece di quella superficiale più bassa del canale.