Esercizio 5Bode di un invertente con rete RC in serie all'ingresso e in retroazione (tema d'esame febbraio 2023)

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1. Il guadagno

Invertente con impedenze: $A_v(s)=-Z_2/Z_1$.

• $Z_1=R_1+\dfrac1{sC_1}=\dfrac{1+sR_1C_1}{sC_1}$;
• il ramo $R_3$-$C_2$ vale $\dfrac{1+sR_3C_2}{sC_2}$; il parallelo con $R_2$: $Z_2=\dfrac{R_2\,\frac{1+sR_3C_2}{sC_2}}{R_2+\frac{1+sR_3C_2}{sC_2}}=\dfrac{R_2\,(1+sR_3C_2)}{1+s\,(R_2+R_3)C_2}.$

$$A_v(s)=-\frac{Z_2}{Z_1}=-R_2\,sC_1\;\frac{1+sR_3C_2}{(1+s(R_2+R_3)C_2)(1+sR_1C_1)}.$$ Valori: $R_1C_1=1\ \mathrm{ms}$ ($\omega=1000$); $R_3C_2=50\ \mu\mathrm s$ ($\omega=20\,000$); $(R_2+R_3)C_2=250\ \mu\mathrm s$ ($\omega=4000$); $R_2C_1=8\ \mathrm{ms}$. In forma di Bode: $$A_v(s)=-8\;\frac{s}{1000}\;\frac{1+s/20\,000}{(1+s/1000)(1+s/4000)}.$$

• costante $-8$ ($18{,}06\ \mathrm{dB}$ in modulo, segno meno: fase $\pm180^\circ$);
• zero nell'origine con $\omega_0=1000$;
• polo in $1000$ (che cancella la pendenza dello zero nell'origine), polo in $4000$, zero in $20\,000$. Controlli: per $s\to0$ ($C_1$ aperto) $A_v\to0$ ✓; per $s\to\infty$ (condensatori in corto) $A_v\to-\dfrac{R_2\|R_3}{R_1}=-\dfrac{8}{5}=-1{,}6$ ✓ (nella formula: $-8\cdot\frac{4000}{20000}=-1{,}6$).

2. Diagramma di Bode del modulo

Punti di spezzamento: $1000$, $4000$, $20\,000\ \mathrm{rad/s}$.

• $\omega<1000$: $|A_v|=8\,\omega/1000$: $+20\ \mathrm{dB/dec}$, passa per $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega=125$ e arriva a $18{,}06\ \mathrm{dB}$ in $1000$.
• $1000<\omega<4000$: zero nell'origine e polo si compensano: costante a $18{,}06\ \mathrm{dB}$ (guadagno $8$).
• $4000<\omega<20\,000$: polo: $-20\ \mathrm{dB/dec}$ (da $18{,}06$ a $18{,}06-20\log5=4{,}08\ \mathrm{dB}$).
• $\omega>20\,000$: zero: pendenza $0$, costante a $4{,}08\ \mathrm{dB}$ ($=20\log1{,}6$).

È un passa-banda con una "spalla": guadagno $8$ nella banda $1000$–$4000$ rad/s, poi $1{,}6$ ad alta frequenza.

3. Diagramma di Bode della fase

Fattori e fasi: costante $-8$ e zero nell'origine: $-180^\circ+90^\circ=-90^\circ$ (costante a tutte le frequenze); polo in $1000$ ($0\to-90^\circ$, rampa $100\to10^4$); polo in $4000$ ($0\to-90^\circ$, rampa $400\to4\cdot10^4$); zero in $20\,000$ ($0\to+90^\circ$, rampa $2000\to2\cdot10^5$). Valori asintotici (sommando le rampe): $-90^\circ$ per $\omega\le100$; $-94^\circ$ in $125$; $-153^\circ$ in $1000$; $-180^\circ$ in $2000$; $-194^\circ$ in $4000$; $-212^\circ$ tra $10^4$ e $2\cdot10^4$ (minimo); poi risale a $-194^\circ$ in $10^5$ e raggiunge $-180^\circ$ oltre $2\cdot10^5$, quando tutte le rampe sono finite: $-90^\circ$ (costante e zero nell'origine) $-90^\circ-90^\circ+90^\circ=-180^\circ$, come deve essere perché per $s\to\infty$ $A_v\to-1{,}6$ (reale negativo).

Confronto con i valori esatti (analisi nodale del circuito, fase scelta in modo continuo): modulo $-21{,}9,\ -2{,}0,\ 14{,}8,\ 16{,}2,\ 15{,}0,\ 10{,}4,\ 6{,}9,\ 4{,}25,\ 4{,}08\ \mathrm{dB}$ e fase $-90{,}7^\circ,\ -96{,}9^\circ,\ -146^\circ,\ -174^\circ,\ -200^\circ,\ -216^\circ,\ -211^\circ,\ -188^\circ,\ -181^\circ$ per $\omega=10,100,1000,2000,4000,10^4,2\cdot10^4,10^5,10^6$. Il massimo del modulo reale è circa $16{,}2\ \mathrm{dB}$ (contro $18{,}06$ asintotici), perché i punti di spezzamento $1000$ e $4000$ distano meno di una decade.

Errori comuni

• Scrivere $Z_2$ come somma (invece che parallelo) di $R_2$ e $R_3+1/(sC_2)$: il limite per $s\to\infty$ sarebbe sbagliato.
• Dimenticare lo zero nell'origine di $C_1$ in serie all'ingresso (blocca la continua).
• Dimenticare il segno meno di un invertente: la fase parte da $-90^\circ$ (dopo lo zero nell'origine), non da $+90^\circ$.
• Non vedere che polo in $1000$ e zero nell'origine si "compensano" in pendenza: tra $1000$ e $4000$ il modulo è costante.