Esercizio 18n-MOSFET e inseguitore di emettitore, guadagno e resistenza di uscita (tema d'esame febbraio 2022)

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1. Polarizzazione di $M_1$

$V_G=24\cdot\dfrac{700}{2400}=7\ \mathrm V$. Con $V_{GS}=V_G-R_SI_D=7-16I_D$ (kΩ, mA, V) e $I_D=(V_{GS}/2-1)^2$ (mA): $$I_D=(2{,}5-8I_D)^2\ \Rightarrow\ 64I_D^2-41I_D+6{,}25=0\ \Rightarrow\ I_D=\frac{41\pm9}{128}=0{,}3906\ \text{o}\ 0{,}25\ \mathrm{mA}.$$ La prima radice darebbe $V_{GS}=7-6{,}25=0{,}75\ \mathrm V<V_t$: scartata. Quindi $$I_D=0{,}25\ \mathrm{mA},\qquad V_{GS}=3\ \mathrm V,\qquad V_S=16\cdot0{,}25=4\ \mathrm V.$$

2. Polarizzazione di $Q_1$ (collegamento diretto)

Nel nodo drain/base la corrente di $R_D$ si divide tra il drain di $M_1$ ($I_D$) e la base di $Q_1$ ($I_B$): $V_B=V_D=V_{CC}-R_D(I_D+I_B)$. L'emettitore: $V_E=V_B-V_{BE}=R_E(1+\beta_F)I_B$. Quindi $$24-40(0{,}25+I_B)=0{,}65+1{,}2\cdot201\,I_B\ \Rightarrow\ 13{,}35=281{,}2\,I_B\ \Rightarrow\ I_B=47{,}5\ \mu\mathrm A.$$ $$I_C=200\,I_B=9{,}50\ \mathrm{mA},\quad I_E=9{,}54\ \mathrm{mA},\quad V_E=1{,}2\cdot9{,}54=11{,}45\ \mathrm V,\quad V_B=V_D=12{,}10\ \mathrm V.$$ Verifiche: $Q_1$: $V_{CE}=24-11{,}45=12{,}55\ \mathrm V>V_{CE,sat}$ e $I_B>0$: attivo. $M_1$: $V_{DS}=12{,}10-4=8{,}1\ \mathrm V>V_{GS}-V_t=1\ \mathrm V$: saturazione. ✓

3. Parametri di piccolo segnale

$$g_{m1}=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_t}=\frac{0{,}5\ \mathrm{mA}}{1\ \mathrm V}=0{,}5\ \mathrm{mS},\qquad g_{m2}=\frac{9{,}50\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=380\ \mathrm{mS},\qquad r_\pi=\frac{250}{0{,}380\ \mathrm S}=658\ \Omega.$$

4. Guadagno

In banda $C_S$ cortocircuita $R_S$ (source a massa per il segnale). Stadio 2 a collettore comune con carico $R_E'=R_E\|R_L=1{,}2\|6=1\ \mathrm{k\Omega}$: $$R_{in2}=r_\pi+(1+\beta_0)R_E'=0{,}658+251\cdot1=251{,}7\ \mathrm{k\Omega},\qquad A_{v2}=\frac{(1+\beta_0)R_E'}{r_\pi+(1+\beta_0)R_E'}=\frac{251}{251{,}66}=0{,}9974.$$ $R_{in2}$ è il carico del drain, in parallelo a $R_D$: $R_D\|R_{in2}=40\|251{,}7=34{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ e $$A_{v1}=-g_{m1}\,(R_D\|R_{in2})=-0{,}5\ \mathrm{mS}\cdot34{,}5\ \mathrm{k\Omega}=-17{,}26.$$ All'ingresso, il gate vede $R_{G1}\|R_{G2}=495{,}8\ \mathrm{k\Omega}$ a massa: $\dfrac{495{,}8}{495{,}8+5}=0{,}990$. $$\boxed{A_v=0{,}990\cdot(-17{,}26)\cdot0{,}9974=-17{,}0}$$ (analisi nodale del circuito di piccolo segnale: $-17{,}04$ ✓).

5. Resistenza di uscita

Si toglie $R_L$, si spegne $v_{in}$ e si guarda dall'emettitore. La resistenza vista dalla base verso il drain è, per il segnale, $R_D$ (il generatore pilotato $g_{m1}v_{gs}$ è spento perché $v_{gs}=0$ con $v_{in}=0$, e $r_o=\infty$). L'emettitore di un collettore comune vede la resistenza di base divisa per $1+\beta_0$: $$R_{out}=R_E\,\Big\|\,\frac{r_\pi+R_D}{1+\beta_0}=1200\,\Big\|\,\frac{658+40\,000}{251}=1200\,\|\,162=143\ \Omega.$$ (Verificato con un generatore di corrente di prova nel circuito di piccolo segnale: $142{,}7\ \Omega$.) La resistenza di uscita è molto bassa, tipica dell'inseguitore di emettitore: $R_{out}\ll R_L=6\ \mathrm{k\Omega}$ e infatti il partitore di uscita vale $\dfrac{R_L}{R_L+R_{out}}=0{,}977$ (già incluso in $A_{v2}$ tramite $R_E'$).

Errori comuni

• Dimenticare di mettere $R_{in2}=r_\pi+(1+\beta_0)(R_E\|R_L)$ in parallelo a $R_D$: il carico del MOSFET non è solo $R_D$.
• Includere $R_S$ nel guadagno di $M_1$ (è in bypass da $C_S$) o calcolare $R_{out}$ con $R_L$ in parallelo.
• Dimenticare di sottrarre $I_B$ dal nodo base/drain nella polarizzazione.
• Usare $r_\pi$ al posto di $(r_\pi+R_D)/(1+\beta_0)$ nella resistenza di uscita.