Esercizio 10transcaratteristica con operazionale e due diodi (tema d'esame giugno 2021)

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1. Struttura: due blocchi in cascata

Il morsetto non invertente non assorbe corrente, quindi il circuito si divide in due parti:

1. rete d'ingresso ($R_3$, $R_4$, $D_2$, $V_B$) che produce la tensione $V_+$ del morsetto $+$ a partire da $V_{in}$;
2. stadio con opamp ($R_1$, $D_1$, $R_2$) che dato $V_+$ produce $V_{out}$.

La retroazione negativa c'è sempre: $R_2$ collega l'uscita al morsetto invertente anche con $D_1$ spento; quindi vale il corto virtuale $V_-=V_+$.

2. Rete d'ingresso: $V_+=g(V_{in})$

• $D_2$ OFF (nessuna corrente in $R_4$ e quindi in $R_3$, perché il morsetto $+$ non assorbe corrente): $V_+=V_{in}$. Condizione: il diodo è inverso se la tensione di anodo è minore di quella di catodo: $V_B<V_+$, cioè $V_{in}>-6\ \mathrm V$.
• $D_2$ ON (ideale: tensione nulla ai suoi capi, il catodo a $-6\ \mathrm V$): la corrente $I$ che scorre dal generatore $V_B$ verso $V_{in}$ attraverso $D_2$, $R_4$, $R_3$ è $$I=\frac{V_B-V_{in}}{R_3+R_4}=\frac{-6-V_{in}}{6\ \mathrm{k\Omega}},$$ ($I>0$ quando $V_{in}<V_B$: la corrente va dal nodo del catodo, a $-6\ \mathrm V$, verso $V_{in}$ attraversando $R_4$ e poi $R_3$). Il punto $V_+$ sta tra $R_4$ e $R_3$, quindi è più basso di $-6\ \mathrm V$ della caduta su $R_4$: $$V_+=V_B-R_4I=-6-4\cdot\frac{-6-V_{in}}{6}=\frac{2V_{in}-6}{3}.$$ Lo stesso risultato si ottiene vedendo $R_3$ e $R_4$ come un partitore tra $V_{in}$ e $V_B$ con $V_+$ in mezzo: $V_+=\dfrac{V_{in}R_4+V_BR_3}{R_3+R_4}=\dfrac{4V_{in}+2(-6)}{6}=\dfrac{2V_{in}-6}{3}$. Condizione: $I\ge0$ (corrente nel verso di conduzione, da anodo a catodo): $-6-V_{in}\ge0\Rightarrow V_{in}\le-6\ \mathrm V$. In $V_{in}=-6$ le due espressioni coincidono ($-6$): ✓.

Risultato: $V_+=V_{in}$ per $V_{in}\ge-6$; $V_+=\dfrac{2V_{in}-6}{3}$ per $V_{in}\le-6$ (pendenza $\tfrac23$, comprime il tratto negativo; $V_{in}=-9\to V_+=-8$).

3. Stadio con opamp: $V_{out}=h(V_+)$

Con il corto virtuale $V_-=V_+$.

• $D_1$ OFF (nessuna corrente in $R_1$, quindi nessuna in $R_2$): $V_{out}=V_-=V_+$ (inseguitore). Condizione: $D_1$ ha anodo a $V_-$ e catodo a massa: è inverso se $V_-<0$, cioè $V_+<0$.
• $D_1$ ON (ideale: nessuna tensione ai suoi capi, quindi $R_1$ è collegata tra $V_-$ e massa): $V_-=V_+$ cade su $R_1$ e la corrente $V_+/R_1$ (verso massa) viene fornita dall'uscita attraverso $R_2$: $\dfrac{V_{out}-V_+}{R_2}=\dfrac{V_+}{R_1}$, cioè $$V_{out}=V_+\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)=3\,V_+\quad(V_+\ge0).$$ Condizione: $I_{R_1}=V_+/R_1\ge0$, cioè $V_+\ge0$. Per $V_+=0$ i due casi coincidono.

Quindi $V_{out}=V_+$ per $V_+\le0$ e $V_{out}=3V_+$ per $V_+\ge0$: guadagno 1 per ingressi negativi, 3 per ingressi positivi (il diodo $D_1$ inserisce $R_1$ solo per $V_-$ positiva).

4. Composizione: la transcaratteristica

Punti di spezzamento: $(-6,-6)$ e $(0,0)$. Estremi: $V_{out}(-9)=-8\ \mathrm V$ e $V_{out}(9)=27\ \mathrm V$ (con l'opamp ideale senza saturazione; in un circuito reale l'uscita si fermerebbe vicino alle tensioni di alimentazione).

Verifica numerica. Risolvendo il circuito completo (opamp ideale e diodi quasi ideali) per tutte le combinazioni di stati e prendendo quella coerente, i valori di $V_{out}$ in $V_{in}=-9,-7,-6,-3,0,3,9\ \mathrm V$ sono $-8{,}000,\ -6{,}667,\ -6{,}000,\ -3{,}000,\ 0,\ 9{,}000,\ 27{,}000\ \mathrm V$, uguali a quelli della tabella.

Errori comuni

• Scambiare anodo e catodo di $D_2$ rispetto a $V_B$ (il generatore $V_B=-6\ \mathrm V$ fa condurre $D_2$ per $V_{in}<-6\ \mathrm V$, non per $V_{in}>-6\ \mathrm V$).
• Dimenticare che il morsetto $+$ non assorbe corrente: con $D_2$ OFF il punto $V_+$ vale $V_{in}$ (non c'è caduta su $R_3$).
• Con $D_1$ OFF dire che l'opamp è privo di retroazione: $R_2$ resta e l'opamp è un inseguitore ($V_{out}=V_+$).
• Non controllare la continuità nei punti di spezzamento ($-6$ e $0$).