Esercizio 22p-MOSFET e BJT a emettitore comune con bypass e tensione di Early (tema d'esame giugno 2023)

---

1. Polarizzazione di $M_1$

Gate a $0\ \mathrm V$; con $u=|I_D|$ (mA, kΩ): $V_S=6-8u$, $V_{GS}=-6+8u$, e $$u=2\Big(\frac{6-8u}{4}-1\Big)^2=2\,(0{,}5-2u)^2\ \Rightarrow\ 8u^2-5u+0{,}5=0\ \Rightarrow\ u=\frac{5\pm3}{16}=0{,}5\ \text{o}\ 0{,}125\ \mathrm{mA}.$$ Conduzione: $V_{GS}<V_t=-4\ \mathrm V$, cioè $u<0{,}25\ \mathrm{mA}$: vale $u=0{,}125\ \mathrm{mA}$ ($0{,}5$ darebbe $V_{GS}=-2\ \mathrm V$, sopra la soglia). $$|I_D|=0{,}125\ \mathrm{mA},\qquad V_{GS}=-5\ \mathrm V,\qquad V_S=6-8\cdot0{,}125=5\ \mathrm V.$$

2. Polarizzazione di $Q_1$

Nel nodo drain/base entra $|I_D|$ ed esce $I_B$; la differenza scende in $R_D$ verso $V_{EE}$: $V_B=V_D=-36+30\,(0{,}125-I_B)=-32{,}25-30I_B$. Emettitore: $V_E=V_B-0{,}738=-32{,}988-30I_B$ e $V_E=V_{EE}+R_E(1+\beta_F)I_B=-36+20{,}2\,I_B$. Uguagliando: $$3{,}012=50{,}2\,I_B\ \Rightarrow\ I_B=60{,}0\ \mu\mathrm A,\quad I_C=6{,}00\ \mathrm{mA},\quad I_E=6{,}06\ \mathrm{mA}.$$ $$V_B=V_D=-34{,}05\ \mathrm V,\quad V_E=-34{,}79\ \mathrm V,\quad V_C=-R_CI_C=-24\ \mathrm V\ (\text{la corrente di collettore scende da massa verso il collettore}),\quad V_{CE}=10{,}8\ \mathrm V.$$ Verifiche. $Q_1$: attivo ($V_{CE}=10{,}8\ \mathrm V$, $I_B>0$). $M_1$: $V_{DS}=V_D-V_S=-34{,}05-5=-39{,}05\ \mathrm V<V_{GS}-V_t=-1\ \mathrm V$: saturazione. ✓

3. Parametri di piccolo segnale

$$g_{m1}=\frac{2\cdot0{,}125\ \mathrm{mA}}{1\ \mathrm V}=0{,}25\ \mathrm{mS},\qquad g_{m2}=\frac{6\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=240\ \mathrm{mS},\qquad r_\pi=\frac{150}{0{,}24\ \mathrm S}=625\ \Omega.$$

4. Guadagno e resistenza di uscita (circuito originale, senza bypass)

$Q_1$ è un emettitore comune con $R_E$ non bypassata (CER); il suo ingresso (base) è il drain di $M_1$; $M_1$ è un source comune con $R_S$ non bypassata. L'uscita è aperta (nessun carico).

• $R_{in2}=r_\pi+(1+\beta_0)R_E=625+151\cdot200=30{,}83\ \mathrm{k\Omega}$ (carico del drain).
• $A_{v1}=-\dfrac{g_{m1}(R_D\|R_{in2})}{1+g_{m1}R_S}=-\dfrac{0{,}25\cdot(30\|30{,}83)}{1+0{,}25\cdot8}=-\dfrac{0{,}25\cdot15{,}20}{3}=-1{,}267$.
• $A_{v2}=-\dfrac{\beta_0R_C}{r_\pi+(1+\beta_0)R_E}=-\dfrac{150\cdot4}{30{,}83}=-19{,}46$.

$$\boxed{A_v=A_{v1}A_{v2}=(-1{,}267)(-19{,}46)=+24{,}7}\qquad(\text{analisi nodale: }24{,}66\ \checkmark)$$ Espressione: $A_v=\dfrac{g_{m1}\,(R_D\|R_{in2})}{1+g_{m1}R_S}\cdot\dfrac{\beta_0R_C}{R_{in2}}$. Resistenza di uscita (con $r_o=\infty$ il collettore è un generatore di corrente ideale): $r_{out}=R_C=4\ \mathrm{k\Omega}$ (verificata).

5. Con i condensatori di bypass su $R_S$ e $R_E$

In banda source ed emettitore sono a massa per il segnale. $R_{in2}=r_\pi=625\ \Omega$ (nessuna $R_E$), $R_D\|r_\pi=30\,000\|625=612\ \Omega$: $$A_{v1}=-g_{m1}(R_D\|r_\pi)=-0{,}25\ \mathrm{mS}\cdot612\ \Omega=-0{,}153,\qquad A_{v2}=-g_{m2}R_C=-0{,}24\ \mathrm S\cdot4000\ \Omega=-960,$$ $$\boxed{A_v=(-0{,}153)(-960)=+147}$$ (analisi nodale: $146{,}9$ ✓: sei volte il guadagno senza bypass).

6. Resistenza di uscita con effetto Early

Con $|V_A|=60\ \mathrm V$ il BJT ha $r_o=\dfrac{V_A+V_{CE}}{I_C}=\dfrac{60+10{,}8}{6\ \mathrm{mA}}=11{,}8\ \mathrm{k\Omega}$ tra collettore ed emettitore. Con l'emettitore a massa per il segnale (bypass), $r_o$ è in parallelo a $R_C$ vista dall'uscita (il generatore pilotato $g_{m2}v_\pi$ è spento perché $v_\pi=0$ senza segnale in ingresso e la tensione di prova non raggiunge la base): $$r_{out}=R_C\,\|\,r_o=4\,\|\,11{,}8=2{,}99\ \mathrm{k\Omega}.$$ (Verificata con un generatore di corrente di prova: $2987\ \Omega$.) Senza il bypass su $R_E$, $r_o$ sarebbe moltiplicata da $1+g_{m2}\alpha R_e'$ (vedi Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comuneGli stadi elementari a BJT si distinguono dal terminale comune a ingresso e uscita. Emettitore comune: guadagno di tensione alto e invertente, A_v = −β0 R_C/(r_π + R_E1(1+β0)) (−g_m R_C con l'emettitore in bypass), R_out = R_C. Collettore comune (inseguitore di emettitore): A_v ≈ 1, R_in alta, R_out bassa (≈ 1/g_m). Base comune: A_v = g_m(R_C∥R_L) non invertente, R_in ≈ 1/g_m bassa, R_out = R_C. Per ogni stadio si disegna il circuito di piccolo segnale, si trova il doppio bipolo (g11, g21, g22) e il guadagno complessivo si ottiene con i due partitori di ingresso e di uscita.Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comune →) e $r_{out}\simeq R_C$.

Errori comuni

• Dimenticare che $V_C$ si misura da massa (qui $R_C$ è verso massa e il collettore è negativo).
• Scegliere $u=0{,}5\ \mathrm{mA}$ ($V_{GS}$ sopra la soglia).
• Con il bypass tenere $R_E$ nella $R_{in2}$ ($r_\pi$ invece di $r_\pi+(1+\beta_0)R_E$).
• Calcolare $r_{out}$ con $R_C$ da sola quando c'è $r_o$ (e il bypass su $R_E$): serve $R_C\|r_o$.