Esercizio 7Bode di un amplificatore a due ingressi e uscita per segnale continuo e sinusoidale (tema d'esame luglio 2024)

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1. Le due funzioni di trasferimento

Il circuito è lineare: $V_{out}=W_1V_{in1}+W_2V_{in2}$ (sovrapposizione).

$W_2$ ($V_{in1}=0$). Il morsetto $+$ è a massa (tramite $R_1\parallel C_1$ senza corrente): è un invertente con $Z_1=R_2+\dfrac1{sC_2}$ e $Z_f=R_3$: $$W_2(s)=-\frac{R_3}{R_2+1/(sC_2)}=-\frac{sR_3C_2}{1+sR_2C_2}.$$ $R_3C_2=400\ \mu\mathrm s$, $R_2C_2=100\ \mu\mathrm s$ ($\omega=10^4$): $W_2(s)=-\dfrac{s}{2500}\dfrac1{1+s/10^4}=-4\,\dfrac{s/10^4}{1+s/10^4}$: un passa-alto invertente con guadagno ad alta frequenza $-R_3/R_2=-4$.

$W_1$ ($V_{in2}=0$). Il segnale entra nel $+$ tramite il partitore passa-basso $R_1,C_1$: $V_+=\dfrac{V_{in1}}{1+sR_1C_1}$. L'invertente ha $C_2$-$R_2$ verso massa: è un non invertente con $Z_g=R_2+1/(sC_2)$ e $Z_f=R_3$: $$W_1(s)=\frac{1}{1+sR_1C_1}\Big(1+\frac{R_3}{R_2+1/(sC_2)}\Big)=\frac1{1+sR_1C_1}\cdot\frac{1+s(R_2+R_3)C_2}{1+sR_2C_2}.$$ $R_1C_1=5\ \mathrm{ms}$ ($\omega=200$); $(R_2+R_3)C_2=500\ \mu\mathrm s$ ($\omega=2000$): $$W_1(s)=\frac{1+s/2000}{(1+s/200)(1+s/10^4)}.$$ Per $s\to0$: $W_1\to1$ (condensatori aperti); per $s\to\infty$ $W_1\to0$.

2. Bode

$W_1$ (modulo). $0\ \mathrm{dB}$ fino a $\omega=200$; polo: $-20\ \mathrm{dB/dec}$ fino a $2000$ (arriva a $-20\ \mathrm{dB}$); zero: pendenza $0$ (costante a $-20\ \mathrm{dB}$) fino a $10^4$; polo: $-20\ \mathrm{dB/dec}$ oltre. Fase: polo in $200$ ($0\to-90^\circ$, rampa $20\to2000$), zero in $2000$ ($0\to+90^\circ$, rampa $200\to2\cdot10^4$), polo in $10^4$ ($-90^\circ$, rampa $10^3\to10^5$). Valori asintotici: $0^\circ$ per $\omega\le20$; $-45^\circ$ in $200$; $-58{,}5^\circ$ tra $2000$ e $10^4$; $-90^\circ$ oltre $10^5$.

$W_2$ (modulo). Zero nell'origine: $+20\ \mathrm{dB/dec}$ per $\omega<10^4$ (vale $-67{,}96\ \mathrm{dB}$ in $\omega=1$ e $-21{,}9\ \mathrm{dB}$ in $200$); in $10^4$ il polo porta a pendenza $0$ e il modulo vale $20\log4=12{,}04\ \mathrm{dB}$. Fase: costante negativa $-180^\circ$ e zero nell'origine $+90^\circ$ dà $-90^\circ$; il polo in $10^4$ aggiunge la rampa a $-90^\circ$ ($\omega\in[10^3,10^5]$): $-90^\circ$ fino a $10^3$, $-135^\circ$ in $10^4$, $-180^\circ$ oltre $10^5$.

Valori esatti (analisi nodale): $W_1$: $-0{,}04,\ -2{,}97,\ -13{,}2,\ -17{,}2,\ -22{,}8,\ -40{,}0\ \mathrm{dB}$ in $\omega=20,\ 200,\ 10^3,\ 2000,\ 10^4,\ 10^5$; $W_2$: $-41{,}9,\ -21{,}9,\ -8{,}0,\ -2{,}1,\ +9{,}0,\ +12{,}0\ \mathrm{dB}$ nelle stesse frequenze.

3. Uscita

Per la sovrapposizione si sommano i due contributi.

Componente continua ($V_{in1}=8\ \mathrm V$, $\omega=0$): $W_1(0)=1\Rightarrow8\ \mathrm V$ (il condensatore $C_2$ blocca il contributo continuo di $W_2$, e $V_{in2}$ non ha continua).

Componente sinusoidale ($\omega=2000\ \mathrm{rad/s}$, ampiezza $1{,}4\ \mathrm V$, fase iniziale $0{,}26\ \mathrm{rad}$): dal diagramma asintotico di $W_2$ in $\omega=2000$: modulo $4\cdot\dfrac{2000}{10^4}=0{,}8$ ($-1{,}94\ \mathrm{dB}$) e fase $-90^\circ-45^\circ(\log\tfrac{2000}{10^4}+1)=-90^\circ-13{,}5^\circ=-103{,}5^\circ=-1{,}806\ \mathrm{rad}$. Quindi la sinusoide in uscita ha ampiezza $1{,}4\cdot0{,}8=1{,}12\ \mathrm V$ e fase $0{,}26-1{,}806=-1{,}546\ \mathrm{rad}$: $$\boxed{V_{out}(t)\simeq8+1{,}12\,\sin(2000\,t-1{,}546)\ \mathrm V}$$ Valore esatto: $W_2(j2000)=-\dfrac{j0{,}8}{1+j0{,}2}$ ha modulo $\dfrac{0{,}8}{1{,}0198}=0{,}7845$ e fase $-90^\circ-11{,}31^\circ=-101{,}3^\circ=-1{,}768\ \mathrm{rad}$: $V_{out}=8+1{,}098\sin(2000t-1{,}508)\ \mathrm V$. Differenza dell'$1{,}9\%$ in ampiezza e $2{,}2^\circ$ in fase (controllata con l'analisi nodale: $0{,}7845$ e $-101{,}3^\circ$).

Errori comuni

• Dimenticare che per il contributo di $V_{in2}$ l'ingresso non invertente va a massa e per quello di $V_{in1}$ la rete $C_2$-$R_2$ è collegata a massa: sono due funzioni diverse.
• Applicare $W_2$ alla componente continua (qui $V_{in2}$ non ha continua, e $W_2(0)=0$ comunque).
• Applicare $W_1$ alla sinusoide a $2000\ \mathrm{rad/s}$: $V_{in1}$ è costante, non ha parte sinusoidale.
• Dimenticare la fase iniziale $0{,}26\ \mathrm{rad}$ dell'ingresso.