Esercizio 1quesiti rapidi su potenza, tensioni RC, doppi bipoli e piccolo segnale del diodo (temi d'esame 2021-2026)

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1. Potenza media di una somma di sinusoidi (22 giugno 2021 e 23 giugno 2022)

Un resistore da $100\ \Omega$ è sottoposto a $v_R(t)=V_1\sin(\omega_1t)+V_2\cos(\omega_2t)$ con $V_1=6\ \mathrm V$, $V_2=10\ \mathrm V$, $\omega_1\ne\omega_2$. Potenza media?

Le due sinusoidi hanno pulsazioni diverse: il prodotto incrociato ha media nulla e le potenze si sommano: $P=\dfrac{V_1^2}{2R}+\dfrac{V_2^2}{2R}=\dfrac{36+100}{200}=\mathbf{0{,}68\ W}$. (Variante: $R=10\ \Omega$, $V_1=2{,}8\ \mathrm V$, $V_2=9{,}6\ \mathrm V$: $P=\dfrac{7{,}84+92{,}16}{20}=5{,}0\ \mathrm W$.) Controllato mediando numericamente $v^2/R$.

2. Ampiezza della tensione su un RC serie (8 luglio 2021, 12 luglio 2022, 23 giugno 2023, 14 febbraio 2024, 26 giugno 2024, 27 agosto 2026)

Serie $R$-$C$ percorsa da una corrente di ampiezza $I$, $|Z_C|$ data. Ampiezza della tensione ai capi?

La tensione su $R$ è in fase con la corrente, quella su $C$ è in ritardo di $90^\circ$: le ampiezze si sommano in quadratura, $V=I\sqrt{R^2+|Z_C|^2}$.

• $I=0{,}2\ \mathrm A$, $R=|Z_C|=100\ \Omega$: $V=0{,}2\cdot141{,}4=\mathbf{28{,}3\ V}$ (non $40\ \mathrm V$).
• $I=5\ \mathrm{mA}$, $R=6\ \mathrm{k\Omega}$, $|Z_C|=8\ \mathrm{k\Omega}$: $|Z|=10\ \mathrm{k\Omega}$ (terna $6$-$8$-$10$), $V=\mathbf{50\ V}$.
• Date le ampiezze parziali (12 luglio 2022, 27 agosto 2026): $V_R=5{,}6\ \mathrm V$, $V_C=19{,}2\ \mathrm V$: $V_Z=\sqrt{5{,}6^2+19{,}2^2}=\mathbf{20\ V}$.

3. Potenza media e valore efficace di una forma d'onda (25 agosto 2021, 3 febbraio 2022, 27 maggio 2024, 30 giugno 2025, 13 luglio 2026)

La potenza su $R$ è $V_{rms}^2/R$, con $V_{rms}^2$ valor medio di $v^2(t)$.

• Onda quadra $0$–$10\ \mathrm V$ con duty cycle $50\%$ su $R=200\ \Omega$: $V_{rms}^2=\frac12\cdot10^2=50$, $P=50/200=\mathbf{0{,}25\ W}$.
• Sinusoide con offset: valore medio $10\ \mathrm V$ e escursione picco-picco $16\ \mathrm V$ (ampiezza $8\ \mathrm V$) su $R=100\ \Omega$: $V_{rms}^2=10^2+\dfrac{8^2}{2}=132$, $P=\mathbf{1{,}32\ W}$.
• Valore efficace di una sinusoide con offset $5\ \mathrm V$ e escursione picco-picco $16\ \mathrm V$: $V_{rms}=\sqrt{5^2+8^2/2}=\sqrt{57}=\mathbf{7{,}55\ V}$.

4. Raddrizzatore a semionda (13 febbraio 2023)

Diodo ideale in serie a $R=100\ \Omega$ e a $V_g=10\sin\omega t$: tensione media e potenza su $R$. Il diodo conduce per la semionda positiva: $V_{medio}=V_p/\pi=\mathbf{3{,}18\ V}$; $V_{rms}^2=V_p^2/4=25$, $P=\dfrac{V_p^2}{4R}=\mathbf{0{,}25\ W}$ (Raddrizzatori e circuiti a diodi con caricoCon un diodo ideale in serie a un carico R e un generatore v_g = V_p sin ωt si ha il raddrizzatore a semionda: media V_p/π, valore efficace V_p/2, potenza V_p²/(4R); il doppio raddrizzatore (ponte) ha media 2V_p/π, efficace V_p/√2, potenza V_p²/(2R). Con V_γ i picchi si abbassano di V_γ. Un condensatore in parallelo al carico trasforma il circuito in un rivelatore di picco: ripple ≈ V_p/(fRC) (semionda). Se in serie c'è anche un generatore continuo E si valuta quando il diodo conduce (può essere sempre ON o sempre OFF). Con l'opamp il diodo nell'anello di retroazione elimina la caduta V_γ (raddrizzatore di precisione).Raddrizzatori e circuiti a diodi con carico →).

Con generatore continuo (23 giugno 2023, 10 luglio 2024, 10 luglio 2025): $V_g=10\sin\omega t$ in serie a $E=-15\ \mathrm V$ con il diodo che conduce per tensione totale negativa, $R=25\ \Omega$: la tensione totale è sempre negativa ($-25\ldots-5\ \mathrm V$), il diodo è sempre ON e $P=\dfrac{15^2+10^2/2}{25}=\mathbf{11\ W}$.

5. Doppio bipolo di due amplificatori in serie (22 giugno 2021)

Parametri $g$ del doppio bipolo ottenuto collegando in cascata due doppi bipolo unidirezionali a parametri $g$. Con $i_2^A=-i_1^B=-g_{11}^Bv_2^A$ e $v_2^A=g_{21}^Av_1+g_{22}^Ai_2^A$ (Amplificatori e modello a doppio bipoloUn amplificatore è una rete lineare con due porte (ingresso e uscita). A seconda che ingresso e uscita siano in tensione o in corrente ci sono quattro modelli (parametri g, z, y, h); il più usato è il modello g dell'amplificatore di tensione: v2 = g21 v1 + g22 i2, i1 = g11 v1 + g12 i2, con Av = g21, Rin = 1/g11, Rout = g22. Un amplificatore unidirezionale ha g12 = 0 e il suo guadagno complessivo è un prodotto di tre fattori: partitore di ingresso, guadagno intrinseco, partitore di uscita.Amplificatori e modello a doppio bipolo →): $$g_{11}=g_{11}^A,\quad g_{12}=0,\quad g_{21}=\frac{g_{21}^Ag_{21}^B}{1+g_{22}^Ag_{11}^B},\quad g_{22}=g_{22}^B.$$ Il doppio bipolo risultante è ancora unidirezionale. (Esempio numerico: $g_{11}^A=1\ \mathrm{mS}$, $g_{21}^A=20$, $g_{22}^A=100\ \Omega$; $g_{11}^B=2\ \mathrm{mS}$, $g_{21}^B=10$, $g_{22}^B=50\ \Omega$: $g_{21}=\dfrac{200}{1+100\cdot0{,}002}=166{,}7$.)

6. Conduttanza di ingresso di un doppio bipolo con $g_{12}\ne0$ (12 luglio 2022, 27 agosto 2026)

Modello $g$ con $G_i=g_{11}=2\ \mathrm{mS}$, $A_v=g_{21}=3$, $R_o=g_{22}=500\ \Omega$, $F_i=g_{12}=0{,}5$, carico $R_{load}=1500\ \Omega$. La corrente entrante nella porta $2$ è $i_2=-v_2/R_{load}$: $v_2=A_vv_1+R_oi_2\Rightarrow v_2=\dfrac{A_vv_1}{1+R_o/R_{load}}=2{,}25\,v_1$, $i_2=-1{,}5\ \mathrm{mS}\cdot v_1$, $i_1=G_iv_1+F_ii_2=(2-0{,}75)\ \mathrm{mS}\cdot v_1$: $$G_{in}=\mathbf{1{,}25\ mS}\quad(R_{in}=800\ \Omega).$$

7. Transistor a diodo e doppio bipolo di piccolo segnale (25 agosto 2021, 3 febbraio 2022, 14 febbraio 2024, 31 agosto 2022, 28 agosto 2025)

(a) Resistenza di piccolo segnale (25 agosto 2021). pnp con base e collettore a massa, emettitore collegato al nodo a cui arriva un generatore di corrente $I=2{,}5\ \mathrm{mA}$ (e al morsetto di ingresso): il generatore diventa un circuito aperto per il segnale e rimane il transistor a diodo: $g_m=\dfrac{2{,}5\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=100\ \mathrm{mS}$, $r_\pi=\dfrac{200}{0{,}1\ \mathrm S}=2\ \mathrm{k\Omega}$ e $$r_{in}=\frac1{g_m+1/r_\pi}=\frac{1}{100+0{,}5\ \mathrm{mS}}=\mathbf{9{,}95\ \Omega}.$$ (b) Rete a T (3 febbraio 2022, 14 febbraio 2024). Con due resistori $R=10\ \Omega$, uno in serie a ciascuna porta, e il transistor a diodo $r_d=9{,}95\ \Omega$ in mezzo (il generatore di corrente è aperto): doppio bipolo a parametri $g$: $g_{11}=\dfrac1{R+r_d}=50{,}1\ \mathrm{mS}$, $g_{21}=\dfrac{r_d}{R+r_d}=0{,}499$, $g_{22}=R+R\|r_d=14{,}99\ \Omega$, $g_{12}=-0{,}499$ (oppure a parametri $z$: $z_{11}=z_{22}=19{,}95\ \Omega$, $z_{12}=z_{21}=9{,}95\ \Omega$, la forma più comoda: rete reciproca). (c) Rapporto di tensione (31 agosto 2022, 28 agosto 2025). Con condensatori di accoppiamento (cortocircuiti in banda) ai due lati e uscita aperta: $A_v=v_2/v_1=g_{21}=\dfrac{r_d}{R+r_d}=\mathbf{0{,}499}$ (partitore tra $R$ e $r_d$; nessuna corrente in $R$ di uscita).

8. Dipendenza dalla temperatura del segnale ai capi di un diodo (13 luglio 2026)

Un diodo è polarizzato dalla corrente continua $I_{IN}$ e riceve in parallelo una corrente di piccolo segnale $i_{in}$: dimostrare che l'ampiezza della componente di segnale in uscita è una funzione lineare della temperatura. Per piccoli segnali il diodo è la resistenza $r_d=\dfrac{V_T}{I_D}$ con $I_D=I_{IN}$ (la corrente continua passa tutta nel diodo) e $V_T=\dfrac{kT}{q}$: $$v_{out}=r_d\,i_{in}=\frac{kT}{q\,I_{IN}}\,i_{in}.$$ Quindi $v_{out}$ cresce linearmente con la temperatura assoluta $T$, con coefficiente $\dfrac{k}{qI_{IN}}\,i_{in}$. Esempio: per $I_{IN}=1\ \mathrm{mA}$ il rapporto $v_{out}/i_{in}=kT/(qI_{IN})$ vale $25{,}9\ \Omega$ a $300\ \mathrm K$ e cresce di $0{,}086\ \Omega$ per ogni kelvin. È il principio dei termometri a diodo.

9. Un transistor che non satura (13 febbraio 2023)

BJT con collettore a $V_{CC}=5\ \mathrm V$, $R_B=100R_E$ dalla base a $V_{CC}$, $R_E$ sull'emettitore a massa, $\beta_F=100$: valore di $R_E$ che porta il transistor alla saturazione? Il collettore è fisso a $V_{CC}$ e la base è a $V_B=V_{CC}-R_BI_B<V_{CC}$: $V_{BC}=V_B-V_{CC}=-R_BI_B\le0$, cioè la giunzione base-collettore è sempre inversa: il transistor non può mai saturare, per nessun valore di $R_E$ (zona attiva diretta o interdizione).

Errori comuni

• Sommare i valori efficaci invece dei loro quadrati (somma di sinusoidi a pulsazioni diverse).
• Sommare algebricamente le ampiezze di $V_R$ e $V_C$ (non vale: sono sfasate di $90^\circ$).
• Usare la media al quadrato al posto del valor medio del quadrato.
• Calcolare $G_{in}=g_{11}$ ignorando $g_{12}$ quando il doppio bipolo non è unidirezionale.
• Usare $r_\pi$ da sola come resistenza del transistor a diodo (dimenticando $1/g_m$ in parallelo: $r_d=r_\pi\|(1/g_m)$).