Esercizio 24modello a parametri g di un amplificatore a due transistor e cascata di due amplificatori (tema d'esame luglio 2024)

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1. Polarizzazione

$M_1$ (p-MOS). Gate a $0\ \mathrm V$; $u=|I_D|$ (mA, kΩ): $V_S=12-6u$, $V_{GS}=-12+6u$: $$u=4\Big(\frac{12-6u}{4}-1\Big)^2=4(2-1{,}5u)^2\ \Rightarrow\ 9u^2-25u+16=0\ \Rightarrow\ u=\frac{25\pm7}{18}=1{,}78\ \text{o}\ 1\ \mathrm{mA}.$$ Condizione di conduzione $V_{GS}<V_t=-4\ \mathrm V\iff u<1{,}33\ \mathrm{mA}$: vale $u=1\ \mathrm{mA}$. $$|I_D|=1\ \mathrm{mA},\qquad V_{GS}=-6\ \mathrm V,\qquad V_S=12-6=6\ \mathrm V.$$ $Q_1$. Base: $V_B=-R_BI_B$ (la corrente di base scende dalla massa attraverso $R_B$), $V_E=V_B-0{,}7=-0{,}7-55I_B$. Nel nodo drain-emettitore entrano $|I_D|$ e $I_E=(1+\beta_F)I_B$ e scendono in $R_E$ verso $V_{EE}$: $$\frac{V_E-V_{EE}}{R_E}=|I_D|+I_E\ \Rightarrow\ \frac{-0{,}7-55I_B+32}{10}=1+101I_B\ \Rightarrow\ 2{,}13=106{,}5\,I_B\ \Rightarrow\ I_B=20\ \mu\mathrm A.$$ $$I_C=2{,}0\ \mathrm{mA},\quad I_E=2{,}02\ \mathrm{mA},\quad V_B=-1{,}1\ \mathrm V,\quad V_E=-1{,}8\ \mathrm V,\quad V_C=12-5\cdot2=2\ \mathrm V,\quad V_{CE}=3{,}8\ \mathrm V.$$ Verifiche. $Q_1$ attivo ($V_{CE}=3{,}8\ \mathrm V$); $M_1$: $V_{DS}=V_E-V_S=-1{,}8-6=-7{,}8\ \mathrm V<V_{GS}-V_t=-2\ \mathrm V$: saturazione. ✓

2. Parametri di piccolo segnale

$$g_{m1}=\frac{2\cdot1\ \mathrm{mA}}{|-6+4|\ \mathrm V}=1\ \mathrm{mS},\qquad g_{m2}=\frac{2\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=80\ \mathrm{mS},\qquad r_\pi=\frac{150}{80\ \mathrm{mS}}=1{,}875\ \mathrm{k\Omega}.$$

3. Doppio bipolo (parametri $g$)

L'amplificatore ha ingresso in tensione (porta sul gate dopo $C_G$) e uscita in tensione (collettore): modello a parametri $g$ (Amplificatori e modello a doppio bipoloUn amplificatore è una rete lineare con due porte (ingresso e uscita). A seconda che ingresso e uscita siano in tensione o in corrente ci sono quattro modelli (parametri g, z, y, h); il più usato è il modello g dell'amplificatore di tensione: v2 = g21 v1 + g22 i2, i1 = g11 v1 + g12 i2, con Av = g21, Rin = 1/g11, Rout = g22. Un amplificatore unidirezionale ha g12 = 0 e il suo guadagno complessivo è un prodotto di tre fattori: partitore di ingresso, guadagno intrinseco, partitore di uscita.Amplificatori e modello a doppio bipolo →). Si calcolano i quattro parametri con $v_{in}$ al gate e l'uscita aperta o in corto.

$g_{11}$ e $g_{12}$. Il gate non assorbe corrente: l'ingresso è formato solo da $R_G$ e nulla dell'uscita lo raggiunge: $$g_{11}=\frac1{R_G}=0{,}1\ \mathrm{mS}\ (R_{in}=10\ \mathrm{k\Omega}),\qquad g_{12}=0\ (\text{amplificatore unidirezionale}).$$ $g_{22}$. Con $v_{in}=0$ e $r_o=\infty$ il collettore è un generatore di corrente ideale in parallelo a $R_C$: $g_{22}=R_C=5\ \mathrm{k\Omega}$.

$g_{21}$ (guadagno a uscita aperta). Il source di $M_1$ ha $R_S$ non bypassata: la corrente di drain di piccolo segnale è $$i_d=\frac{g_{m1}}{1+g_{m1}R_S}\,v_{in}=\frac{1\ \mathrm{mS}}{1+6}v_{in}=0{,}1429\ \mathrm{mS}\cdot v_{in}$$ (il segnale $v_{gs}=v_{in}-R_Si_d$ si riduce per effetto di $R_S$). Questa corrente, che il p-MOS toglie al nodo drain-emettitore, scorre nell'impedenza vista da quel nodo: $R_E$ in parallelo alla resistenza di ingresso dell'emettitore di $Q_1$ ($Q_1$ a base comune, base a massa tramite $C_B$): $R_{ie}=\dfrac{1}{g_{m2}+1/r_\pi}=12{,}4\ \Omega$, $R_N=R_E\|R_{ie}=12{,}40\ \Omega$. Quindi $v_e=-i_dR_N=-0{,}1429\ \mathrm{mS}\cdot12{,}40\ \Omega\cdot v_{in}=-1{,}772\cdot10^{-3}\,v_{in}$. Il BJT a base comune ha guadagno $g_{m2}R_C=0{,}08\cdot5000=400$ a uscita aperta: $$g_{21}=\frac{v_{out}}{v_{in}}\Big|_{i_{out}=0}=-\frac{g_{m1}}{1+g_{m1}R_S}\,R_N\cdot g_{m2}R_C=-1{,}772\cdot10^{-3}\cdot400=-0{,}709.$$ (analisi nodale: $g_{21}=-0{,}7087$ ✓.) Quindi

$$\boxed{g_{11}=0{,}1\ \mathrm{mS},\quad g_{12}=0,\quad g_{21}=-0{,}709,\quad g_{22}=5\ \mathrm{k\Omega}}$$ Il guadagno intrinseco è minore di 1 in modulo: ogni stadio attenua perché $R_S$ non è in bypass e il primo stadio ($M_1$) ha un carico bassissimo, la resistenza vista nell'emettitore del BJT a base comune ($\simeq12\ \Omega$).

4. Cascata di due amplificatori

L'uscita del primo (collettore) è collegata, tramite $C_G$ (cortocircuito in banda), all'ingresso del secondo (gate di $M_1$ del secondo stadio, con $R_G$ a massa). Per due amplificatori unidirezionali (Amplificatori e modello a doppio bipoloUn amplificatore è una rete lineare con due porte (ingresso e uscita). A seconda che ingresso e uscita siano in tensione o in corrente ci sono quattro modelli (parametri g, z, y, h); il più usato è il modello g dell'amplificatore di tensione: v2 = g21 v1 + g22 i2, i1 = g11 v1 + g12 i2, con Av = g21, Rin = 1/g11, Rout = g22. Un amplificatore unidirezionale ha g12 = 0 e il suo guadagno complessivo è un prodotto di tre fattori: partitore di ingresso, guadagno intrinseco, partitore di uscita.Amplificatori e modello a doppio bipolo →): la tensione all'ingresso del secondo è il partitore tra $R_{out1}=g_{22}=R_C$ e $R_{in2}=1/g_{11}=R_G$: $$A_v=\frac{v_{out2}}{v_{in1}}=g_{21}\cdot\frac{R_G}{R_C+R_G}\cdot g_{21}=(-0{,}709)^2\cdot\frac{10}{5+10}=0{,}5024\cdot0{,}6667=+0{,}335.$$ (analisi nodale della cascata: $0{,}3348$ ✓.) Il guadagno complessivo è addirittura minore di 1: l'amplificatore non amplifica (il testo chiede solo di determinarlo): per amplificare servirebbe bypassare $R_S$ ($g_{21}$ salirebbe di $1+g_{m1}R_S=7$ volte, a $-4{,}96$).

Errori comuni

• Dimenticare $1+g_{m1}R_S$ (source non bypassato) e usare $g_{m1}$ da sola.
• Non considerare che il carico del drain è la resistenza vista nell'emettitore del BJT ($\simeq1/g_{m2}$) e non $R_E$ da sola.
• Nella cascata moltiplicare i due $g_{21}$ senza il partitore tra $R_C$ (uscita del primo) e $R_G$ (ingresso del secondo).
• Dimenticare che per i BJT in base comune il guadagno è non invertente e che i segni dei due stadi si compongono: qui ciascuno stadio è invertente ($g_{21}<0$), la cascata è positiva.