Esercizio 8Bode con zero a parte reale positiva, segnale su entrambi i morsetti (tema d'esame agosto 2024)

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1. La funzione di trasferimento

Il segnale entra nei due morsetti: per sovrapposizione il circuito è la somma di un non invertente (ingresso attraverso il passa-basso $R_1C_1$) e di un invertente (ingresso attraverso $R_3$), con $Z_2=\dfrac{R_2}{1+sR_2C_2}$ la rete di retroazione: $$V_{out}=V_+\Big(1+\frac{Z_2}{R_3}\Big)-V_{in}\frac{Z_2}{R_3},\qquad V_+=\frac{V_{in}}{1+sR_1C_1}.$$ Con $\tau_1=R_1C_1=1\ \mathrm{ms}$, $\tau_2=R_2C_2=100\ \mu\mathrm s$ e $\dfrac{Z_2}{R_3}=\dfrac{0{,}2}{1+s\tau_2}$ ($R_2/R_3=0{,}2$): $$W(s)=\frac{1+\frac{0{,}2}{1+s\tau_2}}{1+s\tau_1}-\frac{0{,}2}{1+s\tau_2}=\frac{(1{,}2+s\tau_2)-0{,}2\,(1+s\tau_1)}{(1+s\tau_1)(1+s\tau_2)}=\frac{1+s\,(\tau_2-0{,}2\,\tau_1)}{(1+s\tau_1)(1+s\tau_2)}.$$ Il coefficiente di $s$ al numeratore è $\tau_2-0{,}2\tau_1=100-200=-100\ \mu\mathrm s$: negativo, quindi lo zero è a parte reale positiva, in $s=+10^4\ \mathrm{rad/s}$: $$\boxed{W(s)=\frac{1-s/10^4}{(1+s/1000)(1+s/10^4)}}$$ Controlli: $W(0)=1$ (con i condensatori aperti $V_+=V_{in}$, il guadagno del non invertente è $1+R_2/R_3=1{,}2$ e quello dell'invertente $-R_2/R_3=-0{,}2$: totale $1{,}2-0{,}2=1$ ✓); per $s\to\infty$ $W\to0$.

2. Bode

Fattori. Costante $1$; polo in $\omega=1000$ (da $\tau_1$); polo in $\omega=10^4$ (da $\tau_2$); zero a parte reale positiva in $\omega=10^4$.

Modulo. Un zero reale positivo $(1-s/\omega_z)$ ha lo stesso modulo del corrispondente zero negativo ($|1-j\omega/\omega_z|=|1+j\omega/\omega_z|$), cioè $+20\ \mathrm{dB/dec}$ dopo $\omega_z$. Quindi: $0\ \mathrm{dB}$ fino a $1000$; $-20\ \mathrm{dB/dec}$ da $1000$ a $10^4$ (si arriva a $-20\ \mathrm{dB}$); in $10^4$ il polo e lo zero si compensano nella pendenza: resta $-20\ \mathrm{dB/dec}$ anche oltre.

Fase. Il polo in $1000$ dà $0\to-90^\circ$ (rampa $100\to10^4$); il polo in $10^4$ dà $0\to-90^\circ$ (rampa $10^3\to10^5$); lo zero positivo dà $0\to-90^\circ$ (segno opposto a quello di uno zero negativo: $\arg(1-j\omega/\omega_z)=-\arctan(\omega/\omega_z)$; rampa $10^3\to10^5$). Quindi tutte e tre le rampe fanno scendere la fase: $0^\circ$ per $\omega\le100$; $-45^\circ$ in $1000$; $-180^\circ$ in $10^4$; $-270^\circ$ oltre $10^5$. Un sistema con zero a parte reale positiva si dice a fase non minima: ha lo stesso modulo del sistema con zero negativo ma più ritardo di fase.

Valori esatti (analisi nodale, fase scelta in modo continuo): modulo $-0{,}04,\ -3{,}01,\ -20{,}04,\ -40{,}0,\ -60{,}0\ \mathrm{dB}$ e fase $-6{,}8^\circ,\ -56{,}5^\circ,\ -174{,}1^\circ,\ -258^\circ,\ -268{,}8^\circ$ per $\omega=10^2,10^3,10^4,10^5,10^6$.

3. Uscita per $V_{in}=5\sin(10^4t+0{,}15)$

In $\omega=10^4$ il diagramma asintotico dà modulo $-20\ \mathrm{dB}$, cioè $|W|=0{,}1$, e fase $-180^\circ=-\pi$. L'uscita è $$V_{out}(t)\simeq5\cdot0{,}1\,\sin(10^4t+0{,}15-\pi)=0{,}5\,\sin(10^4t-2{,}99)\ \mathrm V\quad(=-0{,}5\sin(10^4t+0{,}15)\ \mathrm V).$$ Valore esatto: $W(j10^4)=\dfrac{1-j}{(1+j10)(1+j)}$, modulo $\dfrac{\sqrt2}{10{,}05\cdot\sqrt2}=0{,}0995$ e fase $-45^\circ-84{,}29^\circ-45^\circ=-174{,}3^\circ=-3{,}042\ \mathrm{rad}$: $$V_{out}(t)=0{,}4975\,\sin(10^4t-2{,}892)\ \mathrm V.$$ La differenza è nella fase ($5{,}7^\circ$ in più nel valore esatto), non nel modulo ($0{,}5\%$). (Verifica con analisi nodale: $|W|=0{,}0995$, fase $-174{,}3^\circ$.)

Errori comuni

• Dimenticare che il segnale è su entrambi i morsetti (non si può usare solo la formula del non invertente o dell'invertente).
• Attribuire al numeratore un coefficiente positivo $\tau_2+0{,}2\tau_1$: il segno meno viene dall'invertente ($-Z_2/R_3$).
• Trattare lo zero positivo come uno zero negativo nella fase (la rampa è $0\to-90^\circ$, non $0\to+90^\circ$).
• Considerare che polo e zero in $10^4$ si "cancellino" completamente: si compensano solo i moduli (le pendenze); le fasi si sommano ($-45^\circ-45^\circ$ in $10^4$).