Esercizio 9quesiti rapidi su semiconduttori, barrette di silicio e giunzione pn (temi d'esame 2021-2026)

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1. Densità di corrente in una barretta di tipo p (22 giugno 2021, 26 giugno 2026)

Silicio di tipo p uniforme, $L=100\ \mu\mathrm m$, tensione $V=4\ \mathrm V$, $N_A=2\cdot10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$, $\mu_p=440\ \mathrm{cm^2V^{-1}s^{-1}}$. Densità di corrente (minoritari trascurabili). $E=V/L=4/0{,}01\ \mathrm{cm}=400\ \mathrm{V/cm}$ (sotto $3\cdot10^3\ \mathrm{V/cm}$: il modello lineare vale). $p\simeq N_A$: $$J=qp\mu_pE=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{17}\cdot440\cdot400=\mathbf{5632\ A/cm^2}.$$

2. Drogaggio di una barretta dalla resistenza (3 febbraio 2022, 31 agosto 2022, 14 febbraio 2024, 26 giugno 2024, 30 giugno 2025)

Barretta di silicio di tipo p, $L=10\ \mathrm{mm}$, larghezza $3\ \mathrm{mm}$, altezza $1\ \mathrm{mm}$, $R=100\ \Omega$. Concentrazione del drogante. Sezione $S=0{,}3\ \mathrm{cm}\cdot0{,}1\ \mathrm{cm}=0{,}03\ \mathrm{cm^2}$; $\sigma=\dfrac{L}{RS}=\dfrac{1}{100\cdot0{,}03}=0{,}333\ \mathrm{S/cm}$. Nel tipo p $\sigma\simeq qN_A\mu_p$: $$N_A=\frac{\sigma}{q\mu_p}=\frac{0{,}333}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500}=\mathbf{4{,}17\cdot10^{15}\ cm^{-3}}$$ (minoritari: $n=n_i^2/N_A=5{,}4\cdot10^4$, trascurabili). Variante del 31 agosto 2022: $20\times4\times1\ \mathrm{mm}$, $R=200\ \Omega$: $S=0{,}04\ \mathrm{cm^2}$, $\sigma=\dfrac{2}{200\cdot0{,}04}=0{,}25\ \mathrm{S/cm}$, $N_A=\mathbf{3{,}125\cdot10^{15}\ cm^{-3}}$.

3. Resistenza di una barretta con drogaggi compensati (13 febbraio 2023, 23 giugno 2023, 29 agosto 2023, 10 luglio 2024, 30 gennaio 2025)

$S=1\ \mathrm{mm^2}$, $L=40\ \mathrm{mm}$, prima drogata con $N_D=2\cdot10^{15}$ e poi con $N_A=8\cdot10^{13}\ \mathrm{cm^{-3}}$. Resistenza (calcolo approssimato). Il materiale è di tipo n con $n\simeq N_D-N_A=1{,}92\cdot10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ ($p=n_i^2/n\approx10^5$, trascurabile). $\sigma\simeq qn\mu_n=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}92\cdot10^{15}\cdot1300=0{,}399\ \mathrm{S/cm}$; $S=0{,}01\ \mathrm{cm^2}$, $L=4\ \mathrm{cm}$: $$R=\frac{L}{\sigma S}=\frac{4}{0{,}399\cdot0{,}01}=\mathbf{1002\ \Omega}.$$ Varianti: $S=10\ \mathrm{mm^2}$, $L=30\ \mathrm{mm}$, $N_D=0{,}2\cdot10^{15}$, $N_A=8\cdot10^{13}$: $n=1{,}2\cdot10^{14}$, $\sigma=0{,}0250\ \mathrm{S/cm}$, $R=\dfrac{3}{0{,}0250\cdot0{,}1}=\mathbf{1202\ \Omega}$; $S=10\ \mathrm{mm^2}$, $L=20\ \mathrm{mm}$, $N_D=10^{15}$, $N_A=50\cdot10^{13}=5\cdot10^{14}$: $n=5\cdot10^{14}$, $\sigma=0{,}104\ \mathrm{S/cm}$, $R=\dfrac{2}{0{,}104\cdot0{,}1}=\mathbf{192\ \Omega}$.

4. Potenziale di giunzione (8 luglio 2021, 25 agosto 2021, 11 luglio 2023, 13 luglio 2026)

$\Phi_0=V_T\ln\dfrac{N_AN_D}{n_i^2}$.

• $N_A=4\cdot10^{14}$, $N_D=2\cdot10^{18}$, $n_i=1{,}5\cdot10^{10}$: $\Phi_0=0{,}025\ln\dfrac{8\cdot10^{32}}{2{,}25\cdot10^{20}}=0{,}025\cdot28{,}90=\mathbf{722\ mV}$.
• $N_A=3\cdot10^{18}$, $N_D=6\cdot10^{15}$, $n_i=1{,}4\cdot10^{10}$ (25 agosto 2021): $\Phi_0=0{,}025\ln\dfrac{1{,}8\cdot10^{34}}{1{,}96\cdot10^{20}}=\mathbf{804\ mV}$.

Attenzione al quesito del 13 luglio 2026. Chiede "la differenza di potenziale $V_D$ presente ai capi del diodo" (con il diodo disegnato isolato, senza generatori). Il valore $\Phi_0=722\ \mathrm{mV}$ è la differenza di potenziale tra le regioni quasi neutre, non è misurabile ai morsetti: ai contatti metallo-semiconduttore si formano altri potenziali di contatto che compensano esattamente $\Phi_0$. Ai capi di un diodo in equilibrio, non collegato a nulla, la tensione è nulla: $V_D=0\ \mathrm V$ (Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamentoMettendo a contatto un semiconduttore p e uno n le lacune diffondono verso n e gli elettroni verso p lasciando una zona di svuotamento di ioni fissi, con un campo che frena la diffusione. In equilibrio tra le regioni quasi neutre c'è il potenziale di contatto Φ0 = V_T ln(N_A N_D / n_i^2), la zona ha larghezza W = sqrt[(2ε/q)(1/N_A + 1/N_D) Φ0] e campo massimo E_max = 2Φ0/W. Con tensione diretta V la barriera scende a Φ0 − V e W(V) = W0 sqrt(1 − V/Φ0); il comportamento è quello di una capacità C_j = C_j0/sqrt(1 − V/Φ0). La corrente è I = I_S (e^{V/V_T} − 1). Ai morsetti di un diodo isolato la tensione è nulla: Φ0 non si misura con un voltmetro.Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamento →). (Se si intende il potenziale di giunzione, la risposta è $722\ \mathrm{mV}$: conviene indicare entrambe le cose e la distinzione.)

5. Corrente di deriva in una barretta isolata a drogaggio non uniforme (23 giugno 2022, 27 maggio 2024, 10 luglio 2025)

Barretta di silicio isolata di tipo p, $L=100\ \mu\mathrm m$, $p=p_1=1{,}5\cdot10^{16}$ per $x<x_1=40\ \mu\mathrm m$, crescente linearmente fino a $p_2=4\cdot10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$ in $x_2=60\ \mu\mathrm m$ e costante dopo; $\mu_p=480$, $D_p=13\ \mathrm{cm^2/s}$. Valori massimo e minimo della densità di corrente di deriva. Barretta isolata: corrente totale nulla $\Rightarrow J_{p,drift}=-J_{p,diff}=+qD_p\dfrac{dp}{dx}$.

• Nei tratti a $p$ costante $dp/dx=0$: nessuna diffusione e quindi nessuna deriva ($J=0$).
• Nel tratto lineare: $\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{4\cdot10^{17}-1{,}5\cdot10^{16}}{20\cdot10^{-4}\ \mathrm{cm}}=1{,}925\cdot10^{20}\ \mathrm{cm^{-4}}$ e $$J_{p,drift}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot13\cdot1{,}925\cdot10^{20}=\mathbf{400{,}4\ A/cm^2}.$$ Massimo $400{,}4\ \mathrm{A/cm^2}$ (nel tratto lineare, positivo), minimo $0$ (nei due tratti uniformi). La mobilità è un dato superfluo.

6. Differenza di potenziale per un profilo di drogaggio (22 agosto 2024)

Barretta con donatori: $n=N_D$ per $0\le x\le2\ \mathrm{mm}$, crescente linearmente a $100N_D$ in $x=4\ \mathrm{mm}$, costante fino a $5\ \mathrm{mm}$, decrescente fino a $10N_D$ in $x=6\ \mathrm{mm}$ e costante dopo. Espressione e valore di $V(x_1)-V(x_2)$ con $x_1=1\ \mathrm{mm}$, $x_2=7\ \mathrm{mm}$. Solo i valori nei due punti contano: $n(x_1)=N_D$, $n(x_2)=10N_D$. Da $V(X_2)-V(X_1)=V_T\ln\dfrac{n(X_2)}{n(X_1)}$: $$V(x_1)-V(x_2)=V_T\ln\frac{n(x_1)}{n(x_2)}=V_T\ln\frac{N_D}{10N_D}=-V_T\ln10=-25\ \mathrm{mV}\cdot2{,}303=\mathbf{-57{,}6\ mV}.$$ Il punto $x_1$ (meno drogato) sta a potenziale più basso di $57{,}6\ \mathrm{mV}$ rispetto a $x_2$.

Errori comuni

• Dimenticare di convertire millimetri in centimetri nella sezione e nella lunghezza.
• Usare $n=N_D$ senza sottrarre $N_A$ quando i droganti sono due.
• Prendere $\Phi_0$ come tensione misurabile ai morsetti del diodo isolato (è nulla).
• Calcolare la deriva in una barretta isolata con $E=V/L$: la tensione esterna è nulla, il campo è interno e compensa la diffusione.
• Usare $\log_{10}$ al posto di $\ln$ nelle formule di $\Phi_0$ e della tensione di concentrazione.