Esercizio 21p-MOSFET e inseguitore di emettitore con alimentazione doppia, effetto del bypass su R_S (tema d'esame febbraio 2023)

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1. Polarizzazione di $M_1$

Il gate è a $0\ \mathrm V$ (nessuna corrente in $R_G$). Con $u=|I_D|$ (mA, kΩ): $V_S=8-20u$, $V_{GS}=-V_S=-8+20u$. Con $I_D=I_{DSS}(V_{GS}/V_t-1)^2$: $$u=2{,}4\Big(\frac{8-20u}{4}-1\Big)^2=2{,}4\,(1-5u)^2\ \Rightarrow\ 60u^2-25u+2{,}4=0\ \Rightarrow\ u=\frac{25\pm7}{120}=0{,}267\ \text{o}\ 0{,}15\ \mathrm{mA}.$$ Conduzione del p-MOS: $V_{GS}<V_t=-4\ \mathrm V$, cioè $u<0{,}2\ \mathrm{mA}$: vale $u=0{,}15\ \mathrm{mA}$ (l'altra darebbe $V_{GS}=-2{,}67\ \mathrm V$, sopra la soglia). $$|I_D|=0{,}15\ \mathrm{mA},\quad V_{GS}=-8+3=-5\ \mathrm V,\quad V_S=8-3=5\ \mathrm V.$$

2. Polarizzazione di $Q_1$

Nel nodo drain/base entra $|I_D|$ (dal drain) ed esce $I_B$ (verso la base); la differenza scende in $R_D$ verso $V_{EE}$: $$V_B=V_{EE}+R_D(|I_D|-I_B)=-12+120\,(0{,}15-I_B)=6-120I_B\quad(\mathrm{V},\ \mathrm{mA}).$$ Emettitore: $V_E=V_B-V_{BE}=5{,}36-120I_B$ e $V_E=V_{EE}+R_EI_E=-12+2{,}25\cdot101\,I_B=-12+227{,}25\,I_B$. Uguagliando: $$17{,}36=347{,}25\,I_B\ \Rightarrow\ I_B=50{,}0\ \mu\mathrm A.$$ $$I_C=5{,}00\ \mathrm{mA},\quad I_E=5{,}05\ \mathrm{mA},\quad V_B=V_D=0{,}00\ \mathrm V,\quad V_E=-0{,}64\ \mathrm V.$$ Verifiche. $Q_1$: $V_{CE}=8-(-0{,}64)=8{,}64\ \mathrm V$: attivo. $M_1$: $V_{DS}=V_D-V_S=0-5=-5\ \mathrm V<V_{GS}-V_t=-5+4=-1\ \mathrm V$: saturazione. ✓

3. Parametri di piccolo segnale

$$g_{m1}=\frac{2|I_D|}{|V_{GS}-V_t|}=\frac{0{,}3\ \mathrm{mA}}{1\ \mathrm V}=0{,}3\ \mathrm{mS},\qquad g_{m2}=\frac{5\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=200\ \mathrm{mS},\qquad r_\pi=\frac{100}{0{,}2\ \mathrm S}=0{,}5\ \mathrm{k\Omega}.$$

4. Guadagno (senza bypass su $R_S$)

Il segnale entra nel gate; $R_S$ non è in bypass: stadio a source comune con degenerazione. Il collettore comune $Q_1$ senza carico ($R_{L}=\infty$) ha $R_{in2}=r_\pi+(1+\beta_0)R_E=0{,}5+101\cdot2{,}25=227{,}75\ \mathrm{k\Omega}$ (carica il drain) e guadagno $A_{v2}=\dfrac{(1+\beta_0)R_E}{R_{in2}}=\dfrac{227{,}25}{227{,}75}=0{,}9978$.

• $R_D\|R_{in2}=120\|227{,}75=78{,}6\ \mathrm{k\Omega}$.
• $A_{v1}=-\dfrac{g_{m1}(R_D\|R_{in2})}{1+g_{m1}R_S}=-\dfrac{0{,}3\cdot78{,}6}{1+0{,}3\cdot20}=-\dfrac{23{,}58}{7}=-3{,}368.$ $$\boxed{A_v=-3{,}368\cdot0{,}9978=-3{,}36}$$ (analisi nodale: $-3{,}361$ ✓.)

5. Con il condensatore di bypass su $R_S$

In banda $R_S$ viene cortocircuitata: il source è a massa per il segnale e il fattore $1+g_{m1}R_S$ scompare: $$A_{v1}=-g_{m1}(R_D\|R_{in2})=-23{,}58,\qquad A_v=-23{,}58\cdot0{,}9978=-23{,}5.$$ (analisi nodale: $-23{,}53$ ✓). Il bypass aumenta il guadagno di 7 volte (un fattore $1+g_{m1}R_S=7$): la resistenza $R_S$, necessaria per la polarizzazione, riduce molto il guadagno finché non viene bypassata. Nella versione senza bypass il guadagno vale invece circa $-R_D'/R_S=-78{,}6/20=-3{,}9$ nel limite $g_{m1}R_S\gg1$ (qui $g_{m1}R_S=6$, perciò $-3{,}37$): è meno sensibile ai parametri del MOSFET.

Errori comuni

• Dimenticare che con alimentazione doppia la sorgente di tensione di $R_D$ e $R_E$ è $V_{EE}=-12\ \mathrm V$ e non massa.
• Scegliere la radice $u=0{,}267\ \mathrm{mA}$ ($V_{GS}$ sopra la soglia del p-MOS).
• Calcolare $A_{v1}$ senza il fattore $1+g_{m1}R_S$ nel caso senza bypass.
• Usare il guadagno intrinseco del collettore comune $\simeq1$ dimenticando che comunque il suo $R_{in2}$ (alta) carica il drain in modo leggero ma non nullo.