Esercizio 3Bode di un non invertente con rete RC di ingresso e di retroazione (tema d'esame luglio 2021)

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1. La funzione di trasferimento

Il morsetto $+$ non assorbe corrente: $R_1$-$C_1$ è un partitore (passa-basso) non caricato, $$V_+=V_1\,\frac{1/(sC_1)}{R_1+1/(sC_1)}=\frac{V_1}{1+sR_1C_1}.$$ Per il corto virtuale $V_-=V_+$. Il circuito di retroazione è quello di un non invertente con $Z_f=R_3+\dfrac{R_2}{1+sR_2C_2}$ (tra uscita e morsetto invertente) e $Z_g=R_4$ (a massa): $$V_2=V_+\Big(1+\frac{Z_f}{R_4}\Big).$$ Si calcola il fattore tra parentesi: $$1+\frac{R_3}{R_4}+\frac{R_2}{R_4(1+sR_2C_2)}=\frac{(R_3+R_4)(1+sR_2C_2)+R_2}{R_4(1+sR_2C_2)}=\frac{(R_2+R_3+R_4)+s\,(R_3+R_4)R_2C_2}{R_4\,(1+sR_2C_2)}.$$ Mettendo il termine noto del numeratore in evidenza: $$A_v(s)=\underbrace{\frac{R_2+R_3+R_4}{R_4}}_{A_0}\cdot\frac{1+s\,\dfrac{(R_3+R_4)R_2C_2}{R_2+R_3+R_4}}{(1+sR_2C_2)\,(1+sR_1C_1)}.$$

Valori.

• $A_0=\dfrac{34+2{,}6+1{,}2}{1{,}2}=31{,}5$, cioè $29{,}97\ \mathrm{dB}$;
• polo $\omega_p=\dfrac1{R_2C_2}=\dfrac1{34\ \mathrm{k\Omega}\cdot100\ \mathrm{nF}}=\dfrac{1}{3{,}4\ \mathrm{ms}}=294{,}1\ \mathrm{rad/s}$;
• zero $\omega_z=\dfrac{R_2+R_3+R_4}{(R_3+R_4)R_2C_2}=\dfrac{37{,}8}{3{,}8\cdot3{,}4\ \mathrm{ms}}=2926\ \mathrm{rad/s}$;
• polo $\omega_L=\dfrac1{R_1C_1}=\dfrac{1}{5\ \mathrm{k\Omega}\cdot2\ \mathrm{nF}}=10^5\ \mathrm{rad/s}$.

$$A_v(s)=31{,}5\;\frac{1+s/2926}{(1+s/294{,}1)(1+s/10^5)}.$$ Controlli: per $s\to0$ il guadagno è $A_0=31{,}5=(R_2+R_3+R_4)/R_4$ (condensatori aperti: $R_2$ in serie), per $s\to\infty$ (prima del polo a $10^5$) vale $(R_3+R_4)/R_4=3{,}167=31{,}5\cdot\dfrac{294{,}1}{2926}$ ✓ ($C_2$ in corto elimina $R_2$).

2. Diagramma di Bode del modulo (asintotico)

Punti di spezzamento: $\omega_p=294{,}1$ ($\log_{10}=2{,}469$), $\omega_z=2926$ ($3{,}466$), $\omega_L=10^5$ ($5$).

• $\omega<294$: $29{,}97\ \mathrm{dB}$ (costante).
• $294<\omega<2926$: pendenza $-20\ \mathrm{dB/dec}$; la discesa su $\log_{10}(2926/294{,}1)=1$ decade è $19{,}95\ \mathrm{dB}$: si arriva a $10{,}0\ \mathrm{dB}$.
• $2926<\omega<10^5$: costante a $10{,}0\ \mathrm{dB}$ (il polo e lo zero si compensano).
• $\omega>10^5$: $-20\ \mathrm{dB/dec}$.

3. Diagramma di Bode della fase (asintotico)

Fattori: costante positiva (fase $0$); polo in $294$ ($0\to-90^\circ$, rampa da $29{,}4$ a $2941\ \mathrm{rad/s}$); zero in $2926$ ($0\to+90^\circ$, rampa da $293$ a $29\,260$); polo in $10^5$ ($0\to-90^\circ$, rampa da $10^4$ a $10^6$). Somma:

• $\omega\le29$: $0^\circ$;
• da $29$ a $293$: la rampa del polo porta la fase a $-45^\circ$;
• da $293$ a $2941$: il polo continua a scendere (fino a $-90^\circ$) ma la rampa dello zero sale di altrettanto: la somma resta costante a $-45^\circ$;
• da $2941$ a $10^4$: il polo è a $-90^\circ$ e lo zero continua a salire (fino a $+90^\circ$ a $29\,260$): la fase risale e arriva a circa $-21^\circ$ in $\omega\approx10^4$, valore che si mantiene fino a $\omega\approx3\cdot10^4$ (la rampa del terzo polo comincia in $10^4$ e compensa la fine di quella dello zero);
• oltre: la rampa del polo in $10^5$ porta la fase a $-45^\circ$ in $\omega=10^5$ e a $-90^\circ$ a $\omega=10^6$ (valore finale).

Valori esatti (calcolati con l'analisi nodale completa del circuito, che coincidono con la formula di $A_v(s)$): modulo in dB e fase per alcune $\omega$:

4. Valore in $\omega=5000\ \mathrm{rad/s}$

$$A_v(j5000)=31{,}5\,\frac{1+j\,1{,}709}{(1+j\,17{,}00)(1+j\,0{,}05)}.$$ Moduli: $|1+j1{,}709|=1{,}980$, $|1+j17{,}00|=17{,}03$, $|1+j0{,}05|=1{,}001$: $$|A_v|=31{,}5\cdot\frac{1{,}980}{17{,}03\cdot1{,}001}=3{,}66\quad(11{,}26\ \mathrm{dB}),\qquad\angle A_v=\arctan1{,}709-\arctan17{,}00-\arctan0{,}05=59{,}7^\circ-86{,}6^\circ-2{,}9^\circ=-29{,}8^\circ.$$ Dal diagramma asintotico: modulo $29{,}97-20\log_{10}\frac{5000}{294{,}1}+20\log_{10}\frac{5000}{2926}=29{,}97-24{,}61+4{,}65=10{,}0\ \mathrm{dB}$ ($3{,}16$): $1{,}25\ \mathrm{dB}$ di differenza dal valore esatto $11{,}26\ \mathrm{dB}$ (lo zero in $2926$ e il polo in $294$ sono distanti meno di una decade da $5000$).

Errori comuni

• Dimenticare che la rete $R_1$-$C_1$ sul morsetto $+$ non è caricata (l'ingresso non invertente non assorbe corrente): produce un polo in $1/(R_1C_1)$ che si moltiplica a tutto il resto.
• Tracciare uno zero come se fosse in $1/(R_3C_2)$: lo zero è in $(R_2+R_3+R_4)/((R_3+R_4)R_2C_2)$.
• Dimenticare che il polo viene prima dello zero ($\omega_p<\omega_z$): la caratteristica scende e poi si appiattisce.
• Confondere il guadagno a bassa frequenza $31{,}5$ con quello ad alta frequenza ($3{,}17$).