Esercizio 12transcaratteristica con operazionale, due diodi e sei resistenze uguali (tema d'esame agosto 2022)

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1. Lo stadio con opamp: $V_2$ in funzione di $v=V_{P_2}$ e dello stato di $D_2$

Per il corto virtuale $V_X=V_{P_2}=:v$. Il nodo $X$ non assorbe corrente: la corrente in $R_3$ è uguale a quella in $R_4$: $$\frac{V_2-v}{R}=\frac{v-V_N}{R}\ \Rightarrow\ V_2=2v-V_N.$$ Nel nodo $N$ arriva la corrente di $R_4$ e partono quella verso massa ($V_N/R$ in $R_5$) e quella in $R_6$ verso $D_2$.

• $D_2$ OFF (nessuna corrente in $R_6$): $\dfrac{v-V_N}{R}=\dfrac{V_N}R\Rightarrow V_N=\dfrac v2$, quindi $V_2=\dfrac32v$ (è un non invertente con $1+\frac{R_3}{R_4+R_5}=1{,}5$). Condizione: anodo $\le$ catodo: $V_N\le v$, cioè $\dfrac v2\le v\iff v\ge0$.
• $D_2$ ON (ideale: l'anodo è alla tensione $v$ del catodo): la corrente in $R_6$ è $\dfrac{V_N-v}R$ e $\dfrac{v-V_N}R=\dfrac{V_N}R+\dfrac{V_N-v}R\Rightarrow V_N=\dfrac23v$, quindi $V_2=2v-\dfrac23v=\dfrac43v$. Condizione: corrente in $R_6$ positiva, $V_N\ge v\iff\dfrac23v\ge v\iff v\le0$.

Ipotesi sullo stato di $D_2$: ON per $v\le0$ (guadagno $\tfrac43$), OFF per $v\ge0$ (guadagno $\tfrac32$).

2. La rete d'ingresso: $v=V_{P_2}$ in funzione di $V_1$ e degli stati

$D_1$ è ON se $V_{P_1}\ge+5\ \mathrm V$ (con corrente positiva da $P_1$ verso il generatore $E$), e allora $V_{P_1}=5\ \mathrm V$; OFF se $V_{P_1}\le5\ \mathrm V$.

(a) $D_1$ OFF, $D_2$ OFF (partendo dal caso più semplice, tutto spento): nessuna corrente in $R_1,R_2$, $v=V_{P_1}=V_1$. Condizioni: $D_2$ OFF $\Rightarrow v\ge0$, cioè $V_1\ge0$; $D_1$ OFF $\Rightarrow V_1\le5$. Quindi $$0\le V_1\le5\ \mathrm V:\qquad V_2=\frac32V_1.$$ (b) $D_1$ ON, $D_2$ OFF ($V_1\ge5$): $P_1$ è bloccato a $5\ \mathrm V$ e, senza corrente in $R_2$, anche $v=5\ \mathrm V$ ($\ge0$: $D_2$ OFF coerente). La corrente di $D_1$ è quella che arriva da $R_1$: $\dfrac{V_1-5}{R}\ge0\iff V_1\ge5\ \mathrm V$ ✓. Allora $$V_1\ge5\ \mathrm V:\qquad V_2=\frac32\cdot5=7{,}5\ \mathrm V\quad(\text{costante}).$$ (c) $D_2$ ON, $D_1$ OFF ($V_1\le0$): con $D_2$ ON la corrente $i_6=\dfrac{V_N-v}{R}=-\dfrac{v}{3R}$ (positiva se $v<0$) entra nel nodo $P_2$ attraverso il catodo e, poiché il morsetto $+$ non assorbe corrente, scende in $R_2$ verso $P_1$ e poi in $R_1$ verso $V_1$ (con $D_1$ OFF): $V_{P_1}=v-R\,i_6=\dfrac43v$ e $V_{P_1}=V_1+R\,i_6=V_1-\dfrac v3$. Uguagliando: $V_1=\dfrac53v\Rightarrow v=0{,}6\,V_1$, $V_{P_1}=0{,}8\,V_1$. Condizioni: $D_2$ ON $\Rightarrow v\le0\iff V_1\le0$; $D_1$ OFF $\Rightarrow V_{P_1}\le5$ ✓. Allora $$V_1\le0:\qquad V_2=\frac43v=0{,}8\,V_1.$$ (d) Altre combinazioni. $D_2$ ON con $D_1$ ON richiederebbe $V_{P_1}=5$ e $\tfrac43v=5$, cioè $v>0$, in contrasto con $D_2$ ON ($v\le0$): non esiste. $D_2$ OFF con $D_1$ OFF per $V_1<0$ è escluso dalla condizione $v\ge0$.

3. Transcaratteristica

$$V_2=\begin{cases}0{,}8\,V_1,&V_1\le0\quad(D_1\ \mathrm{OFF},\ D_2\ \mathrm{ON})\\[2pt]1{,}5\,V_1,&0\le V_1\le5\ \mathrm V\quad(D_1\ \mathrm{OFF},\ D_2\ \mathrm{OFF})\\[2pt]7{,}5\ \mathrm V,&V_1\ge5\ \mathrm V\quad(D_1\ \mathrm{ON},\ D_2\ \mathrm{OFF})\end{cases}$$ Punti di spezzamento: $(0;0)$ e $(5;7{,}5)$ (continuità: $0{,}8\cdot0=1{,}5\cdot0=0$ e $1{,}5\cdot5=7{,}5$). La pendenza è $0{,}8$ per ingressi negativi (quando $D_2$ conduce), $1{,}5$ per ingressi positivi piccoli (non invertente), poi l'uscita satura a $7{,}5\ \mathrm V$ perché $D_1$ blocca $V_{P_1}$ a $5\ \mathrm V$.

Verifica numerica. Risolvendo l'intero circuito (opamp ideale, diodi quasi ideali, $R=1\ \mathrm{k\Omega}$) sulle quattro combinazioni di stati e prendendo quella coerente: $V_2=-12;\ -8;\ -4;\ -1{,}6;\ 0;\ 3;\ 7{,}5;\ 7{,}5;\ 7{,}5\ \mathrm V$ per $V_1=-15;\ -10;\ -5;\ -2;\ 0;\ 2;\ 5;\ 10;\ 15\ \mathrm V$, uguali alla formula.

Errori comuni

• Leggere $E=-5\ \mathrm V$ senza tenere conto del verso di riferimento disegnato (positivo verso massa): il catodo di $D_1$ è a $+5\ \mathrm V$, non a $-5\ \mathrm V$.
• Dimenticare che $D_2$ collega il morsetto non invertente al nodo $N$: quando conduce inietta corrente in $P_2$, che deve scorrere in $R_2$ (quindi $V_{P_2}\ne V_1$).
• Dare per scontato $V_{P_2}=V_1$ per tutti gli ingressi (vale solo con entrambi i diodi spenti).
• Sostituire il valore numerico di $R$ prima di aver scritto le equazioni (il compito chiede le espressioni con $R_1,R_2,\ldots$ e poi la posizione di tutte uguali).