Esercizio 26transcaratteristica di un invertente con diodo Zener e partitore verso una batteria negativa (tema d'esame agosto 2021)

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1. Stati possibili del diodo e tensioni di soglia

Con il corto virtuale $V_N=V_+=0$. Il diodo ha l'anodo in $X$ e il catodo in $N$ (a $0\ \mathrm V$), quindi dipende solo da $V_X$:

• ON (diretto): $V_X\ge V_N+V_\gamma=0$; allora $V_X=0$;
• OFF: $-V_Z<V_X<0$, nessuna corrente;
• breakdown (Zener): $V_X\le-V_Z=-5\ \mathrm V$; allora $V_X=-5\ \mathrm V$ e la corrente scorre dal catodo ($N$) all'anodo ($X$).

2. Tratto centrale: diodo OFF

Senza corrente nel diodo il circuito è un invertente puro: $V_{out}=-\dfrac{R_2}{R_1}V_{in}=-2V_{in}$. Il nodo $X$ è il punto medio del partitore tra l'uscita (tramite $R_3$) e la batteria (tramite $R_4$), non caricato: $$V_X=\frac{R_4V_{out}+R_3V_B}{R_3+R_4}=\frac{4V_{out}+8\cdot(-6)}{12}=\frac{V_{out}}{3}-4.$$ Condizione di diodo OFF, $-5<V_X<0$: $-3<V_{out}<12\ \mathrm V$, cioè con $V_{out}=-2V_{in}$: $$-6\ \mathrm V<V_{in}<1{,}5\ \mathrm V:\qquad V_{out}=-2V_{in}\quad(\text{pendenza }-2).$$

3. $V_{in}<-6\ \mathrm V$: diodo ON

Qui $V_X=0$. Con le correnti in mA e le resistenze in kΩ, la corrente $i_D$ (da $X$ a $N$) si ricava dal nodo $X$: arriva $\dfrac{V_{out}-0}{8}$ dall'uscita attraverso $R_3$ e $\dfrac{V_B-0}{4}=-1{,}5$ dalla batteria attraverso $R_4$, ed esce $i_D$: $$i_D=\frac{V_{out}}{8}-1{,}5.$$ Nodo $N$ (corrente nulla nell'opamp, $V_N=0$): entrano $\dfrac{V_{in}}4$ da $R_1$, $\dfrac{V_{out}}8$ da $R_2$ e $i_D$ dal diodo: $$\frac{V_{in}}{4}+\frac{V_{out}}{8}+\frac{V_{out}}{8}-1{,}5=0\ \Rightarrow\ V_{out}=6-V_{in}\quad(\text{pendenza }-1).$$ Condizione $i_D\ge0$: $V_{out}\ge12\ \mathrm V$, cioè $V_{in}\le-6\ \mathrm V$ (coerente). In $V_{in}=-6$ i due tratti si incontrano: $6-(-6)=12=-2\cdot(-6)$ ✓.

4. $V_{in}>1{,}5\ \mathrm V$: Zener in breakdown

Il diodo si comporta come un generatore da $5\ \mathrm V$: $V_X=V_N-5=-5\ \mathrm V$. Nodo $X$: la corrente $i_D$ (da $X$ a $N$, ora negativa) vale $$i_D=\frac{V_{out}-(-5)}{8}+\frac{V_B-(-5)}{4}=\frac{V_{out}+5}{8}-0{,}25.$$ Nodo $N$: $\dfrac{V_{in}}{4}+\dfrac{V_{out}}{8}+\dfrac{V_{out}+5}{8}-0{,}25=0\ \Rightarrow\ \dfrac{V_{in}+V_{out}}{4}+0{,}625-0{,}25=0$, quindi $$V_{out}=-V_{in}-1{,}5\quad(\text{pendenza }-1).$$ Condizione di breakdown, $i_D\le0$: $V_{out}\le-3\ \mathrm V$, cioè $V_{in}\ge1{,}5\ \mathrm V$. Continuità in $V_{in}=1{,}5$: $-1{,}5-1{,}5=-3=-2\cdot1{,}5$ ✓.

5. Transcaratteristica

Punti di spezzamento: $(-6;\,12)$ e $(1{,}5;\,-3)$. Estremi: $(-9;\,15)$ e $(9;\,-10{,}5)$; passa per l'origine ($V_{in}=0\Rightarrow V_{out}=0$). La caratteristica è sempre decrescente (circuito invertente), con la pendenza che raddoppia in modulo nel tratto in cui il diodo non conduce.

Verifica numerica. Risolvendo il circuito completo (analisi nodale con l'opamp come vincolo $V_N=0$) per ognuno dei tre stati del diodo e tenendo solo lo stato coerente con la propria condizione, per $V_{in}=-9,-7,-3,0,3,9\ \mathrm V$ si ottiene $V_{out}=15;\ 13;\ 6;\ 0;\ -4{,}5;\ -10{,}5\ \mathrm V$, uguale alla tabella; l'accordo vale per 361 valori di $V_{in}$ in tutto l'intervallo. Nei punti di spezzamento le condizioni di due stati sono entrambe soddisfatte con corrente nulla.

Errori comuni

• Scambiare anodo e catodo: con il catodo su $N$ il diodo conduce per $V_X\ge0$ e va in breakdown per $V_X\le-5\ \mathrm V$ (con il verso opposto le soglie sarebbero $V_X\le0$ e $V_X\ge5$).
• Dimenticare il segno di $V_B$: il polo positivo della batteria è a $-6\ \mathrm V$, quindi $V_X$ parte da $-4\ \mathrm V$ per $V_{out}=0$.
• Calcolare $V_X$ con il diodo ON usando ancora il partitore: con il diodo ON $V_X=0$ e la corrente $i_D$ si aggiunge al nodo $N$.
• Dimenticare che in breakdown il diodo impone $V_X=V_N-V_Z=-5\ \mathrm V$ e non $+5\ \mathrm V$.
• Verificare le condizioni sulla corrente con il verso sbagliato: $i_D\ge0$ (da anodo a catodo) per ON, $i_D\le0$ per il breakdown.