Esercizio 13transcaratteristica con operazionale, diodo e diodo Zener (tema d'esame luglio 2023)

---

1. Struttura

Il morsetto $+$ non assorbe corrente, quindi il circuito è la combinazione di

• una rete d'ingresso ($R_1,R_2,D_1,D_2$) che da $V_{in}$ produce la tensione $V_+$ sul morsetto non invertente;
• uno stadio con opamp a due ingressi: sovrapposizione di un non invertente (ingresso $V_+$) e di un invertente (ingresso $V_{in}$ tramite $R_3$ con retroazione $R_4$): $$V_{out}=V_+\Big(1+\frac{R_4}{R_3}\Big)-V_{in}\frac{R_4}{R_3}=1{,}5\,V_+-0{,}5\,V_{in}\qquad\Big(\frac{R_4}{R_3}=\frac12\Big).$$

2. Rete d'ingresso: $V_+=g(V_{in})$

Stati dei diodi. $D_1$ (anodo a $+4$, catodo $P_1$): ON se $V_{P_1}\le4\ \mathrm V$. $D_2$ (Zener, catodo $P_2$, anodo a massa): ON "diretto" se $V_{P_2}\le0$; OFF se $0<V_{P_2}<V_Z$; in breakdown (ON inverso, generatore di tensione $V_Z$) se $V_{P_2}\ge10\ \mathrm V$. Con $V_{in}\ge0$ non si può avere il funzionamento in diretta di $D_2$.

• Tratto A, $D_1$ ON, $D_2$ OFF (ingressi piccoli): $D_1$ blocca il nodo $P_1$ a $4\ \mathrm V$. Se $D_2$ è OFF non c'è corrente in $R_2$ e $V_{P_2}=V_{P_1}=4\ \mathrm V$ ($0<4<10$ coerente con $D_2$ OFF). La corrente di $D_1$ è quella che compensa quella verso $V_{in}$ in $R_1$: $I_{D_1}=\dfrac{4-V_{in}}{R_1}\ge0$, vera per $V_{in}\le4\ \mathrm V$. Quindi $$0\le V_{in}\le4\ \mathrm V:\qquad V_+=4\ \mathrm V.$$
• Tratto B, tutti OFF ($D_1$ OFF per $V_{in}\ge4$): nessuna corrente in $R_1$ e $R_2$: $V_{P_1}=V_{P_2}=V_{in}$. Condizioni: $V_{P_1}\ge4$ ✓ per $V_{in}\ge4$, e $D_2$ OFF per $V_{P_2}<10$. Quindi $$4\le V_{in}\le10\ \mathrm V:\qquad V_+=V_{in}.$$
• Tratto C, $D_2$ in breakdown ($V_{in}\ge10$): $V_{P_2}=V_Z=10\ \mathrm V$ e la corrente $\dfrac{V_{in}-10}{R_1+R_2}\ge0$ scende nello Zener (con $D_1$ OFF perché $V_{P_1}>10>4$): $$10\le V_{in}\le30\ \mathrm V:\qquad V_+=10\ \mathrm V.$$

3. Transcaratteristica

Sostituendo in $V_{out}=1{,}5V_+-0{,}5V_{in}$:

Punti di spezzamento: $(0;6)$ (estremo), $(4;4)$, $(10;10)$, $(30;0)$ (estremo). Continuità: in $V_{in}=4$: $6-2=4$ ✓; in $V_{in}=10$: $15-5=10$ ✓. La transcaratteristica ha la forma di una "$\Lambda$ asimmetrica": scende da $6$ a $4$ V, risale con pendenza $1$ fino a $10$ V e poi scende fino a $0$.

Valore richiesto: con $V_{in}=8\ \mathrm V$ (tratto B) si legge $V_{out}=V_{in}=8\ \mathrm V$: i diodi sono entrambi OFF e il circuito è un buffer, perché $V_+=V_{in}$ e $1{,}5\cdot8-0{,}5\cdot8=8\ \mathrm V$.

Verifica numerica. Risolvendo l'intero circuito per tutte le combinazioni degli stati dei diodi, per $V_{in}=0,2,4,6,8,10,12,20,30\ \mathrm V$ si ottiene $V_{out}=6,5,4,6,8,10,9,5,0\ \mathrm V$, uguale alla tabella.

Errori comuni

• Dimenticare che $V_{in}$ entra anche sull'ingresso invertente: non basta il guadagno $1+R_4/R_3=1{,}5$ applicato a $V_+$.
• Pensare che $D_1$ blocchi $V_{in}$ a $4\ \mathrm V$: $D_1$ blocca solo il nodo $P_1$ (e quindi $V_+$), mentre $V_{in}$ resta nel termine invertente.
• Considerare lo Zener a $10\ \mathrm V$ per tutta la gamma: è in breakdown solo per $V_{P_2}\ge10\ \mathrm V$, cioè $V_{in}\ge10\ \mathrm V$.
• Scrivere il guadagno invertente come $-\dfrac{R_4}{R_3}V_{in}$ con $R_3$ e $R_4$ scambiati.