Esercizio 11transcaratteristica di una rete a tre diodi e tre resistenze (tema d'esame febbraio 2022)

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1. Condizioni di conduzione dei diodi

Con il modello ideale un diodo è ON se la corrente da anodo a catodo è positiva e allora la sua tensione è nulla; è OFF se la tensione anodo-catodo è negativa.

• $D_1$ (anodo $A$, catodo $+16$): ON se $V_A\ge16\ \mathrm V$.
• $D_2$ (anodo $-8$, catodo $B$): ON se $V_B\le-8\ \mathrm V$.
• $D_3$ (anodo $B$ tramite $R_3$, catodo $+4$): ON se $V_B\ge4\ \mathrm V$.

Le soglie sono ordinate: $D_2$ limita $V_B$ dal basso ($-8$), $D_3$ dall'alto ($+4$), $D_1$ limita $V_A$ (e quindi, indirettamente, $V_B$) dall'alto (oltre $16\ \mathrm V$). Non può essere $D_2$ ON con $D_1$ o $D_3$ ON.

2. Un tratto per volta

(a) Tutti OFF. Nessuna corrente: $V_A=V_B=V_{in}$. Condizioni: $V_B\ge-8$, $V_B\le4$, $V_A\le16$: valido per $$-8\ \mathrm V\le V_{in}\le4\ \mathrm V:\qquad V_{out}=V_{in}\quad(\text{pendenza }1).$$

(b) Solo $D_3$ ON ($V_{in}>4$). La corrente attraversa $R_1$, $R_2$, $R_3$ e $D_3$ verso $V_3$: $I_3=\dfrac{V_{in}-V_3}{R_1+R_2+R_3}=\dfrac{V_{in}-4}{8}\ \mathrm{mA}$ ($\mathrm V$ e k$\Omega$). La tensione $V_B$ si trova a $4\ \mathrm V$ più la caduta su $R_3$: $$V_B=4+R_3I_3=4+\frac{V_{in}-4}{2}=2+\frac{V_{in}}{2},\qquad V_A=V_{in}-R_1I_3=\frac{3}{4}V_{in}+1.$$ Condizioni: $V_{in}\ge4$ per $I_3\ge0$, e $D_1$ ancora OFF: $V_A\le16\Rightarrow V_{in}\le20\ \mathrm V$. Quindi per $$4\ \mathrm V\le V_{in}\le20\ \mathrm V:\qquad V_{out}=2+\frac{V_{in}}2\quad(\text{pendenza }0{,}5);\quad\text{in }V_{in}=20:\ V_{out}=12\ \mathrm V,\ V_A=16\ \mathrm V.$$

(c) $D_3$ e $D_1$ ON ($V_{in}\ge20$). Il nodo $A$ è bloccato a $16\ \mathrm V$ da $D_1$. La corrente che arriva a $B$ attraverso $R_2$ è $I_2=\dfrac{16-V_B}{R_2}$ e va tutta in $R_3$ e $D_3$: $I_3=\dfrac{V_B-4}{R_3}$. Uguagliando: $\dfrac{16-V_B}2=\dfrac{V_B-4}{4}\Rightarrow V_B=12\ \mathrm V$ (corrente $2\ \mathrm{mA}$). La corrente in $R_1$ è $\dfrac{V_{in}-16}{2}$ e quella in $D_1$ è la differenza $\dfrac{V_{in}-16}{2}-2\ge0$ per $V_{in}\ge20\ \mathrm V$ ✓. Per $$20\ \mathrm V\le V_{in}\le25\ \mathrm V:\qquad V_{out}=12\ \mathrm V\quad(\text{costante}).$$

(d) Solo $D_2$ ON ($V_{in}<-8$). $V_B$ è bloccato a $-8\ \mathrm V$ e la corrente scorre da $V_2$ verso $V_{in}$ attraverso $D_2$, $R_2$, $R_1$: $I=\dfrac{-8-V_{in}}{R_1+R_2}\ge0\Leftrightarrow V_{in}\le-8$. Per $$-25\ \mathrm V\le V_{in}\le-8\ \mathrm V:\qquad V_{out}=-8\ \mathrm V\quad(\text{costante}).$$

3. Transcaratteristica

Punti di spezzamento: $(-8;-8)$, $(4;4)$, $(20;12)$. Continuità: in $V_{in}=4$: $2+2=4$ ✓; in $V_{in}=20$: $2+10=12$ ✓. La rete è un limitatore a più livelli: tra $-8$ e $4\ \mathrm V$ l'uscita segue l'ingresso, poi la pendenza si dimezza e infine l'uscita satura a $12\ \mathrm V$ (non $16$: nel nodo $B$ cade ancora il partitore con $R_2,R_3$).

Verifica numerica. Risolvendo il circuito per tutte le combinazioni di stati dei diodi e prendendo quella coerente, per $V_{in}=-25,-9,-8,-4,0,4,10,20,22,25\ \mathrm V$ si ottengono $V_{out}=-8,-8,-8,-4,0,4,7,12,12,12\ \mathrm V$, uguali alla tabella.

Errori comuni

• Leggere $V_2$ come $+8\ \mathrm V$ ignorando la polarità del simbolo: con anodo a $+8\ \mathrm V$ $D_2$ sarebbe sempre ON per i valori usuali di $V_B$.
• Dimenticare di verificare $D_1$ nel tratto (b): $V_A$ raggiunge $16\ \mathrm V$ in $V_{in}=20\ \mathrm V$, non prima.
• Scrivere $V_B=4+R_3I_3$ con $I_3$ calcolata solo su $R_3$ (la corrente attraversa anche $R_1$ e $R_2$).
• Dire che l'uscita limita a $16\ \mathrm V$: $D_1$ limita il nodo $A$, non l'uscita; $V_B=12\ \mathrm V$.