Esercizio 23BJT e MOSFET in configurazione cascode con R_S sul nodo intermedio, guadagno e resistenza di ingresso (tema d'esame luglio 2023)

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1. Polarizzazione

$Q_1$. Il partitore di base va da $v_{in}=0\ \mathrm V$ (il generatore ha $V_{DC}=0$) a $V_{EE}$: equivalente di Thévenin $V_{BT}=-4\cdot\dfrac{96}{196}=-1{,}959\ \mathrm V$, $R_B=96\|100=48{,}98\ \mathrm{k\Omega}$. Maglia di base: $V_{BT}-R_BI_B-V_{BE}=V_{EE}+R_E(1+\beta_F)I_B$, quindi $$I_B=\frac{V_{BT}-V_{BE}-V_{EE}}{R_B+(1+\beta_F)R_E}=\frac{-1{,}959-0{,}657+4}{48{,}98+101\cdot0{,}2}\ \mathrm{mA}=\frac{1{,}384}{69{,}18}=20{,}0\ \mu\mathrm A.$$ $$I_C=2{,}00\ \mathrm{mA},\qquad I_E=2{,}02\ \mathrm{mA},\qquad V_B=-2{,}94\ \mathrm V,\qquad V_E=-3{,}60\ \mathrm V.$$ $M_1$. $M_1$ è in serie a $Q_1$ (stessa corrente, il gate non assorbe): $I_D=I_C=2{,}0\ \mathrm{mA}=I_{DSS}$. Per un depletion $I_D=I_{DSS}(1-V_{GS}/V_t)^2$ con $I_D=I_{DSS}$ si ha $(1-V_{GS}/V_t)^2=1$, quindi $V_{GS}=0$ oppure $V_{GS}=2V_t=-8\ \mathrm V$: la seconda è sotto la soglia ($V_{GS}<V_t$, interdizione) e si scarta. Il gate è a $0\ \mathrm V$ (nessuna corrente in $R_{B1}$ dal gate), quindi il source, cioè il collettore di $Q_1$, è a $$V_S=V_G-V_{GS}=0\ \mathrm V,\qquad V_{CE1}=V_S-V_E=3{,}60\ \mathrm V,\qquad V_D=16-4\cdot2=8\ \mathrm V,\qquad V_{DS}=8\ \mathrm V.$$ Verifiche. $Q_1$ attivo ($V_{CE}=3{,}6\ \mathrm V>V_{CE,sat}$); $M_1$: $V_{DS}=8\ \mathrm V>V_{GS}-V_t=4\ \mathrm V$: saturazione. ✓

2. Parametri di piccolo segnale

$$g_{m1}=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_t}=\frac{4\ \mathrm{mA}}{4\ \mathrm V}=1\ \mathrm{mS},\qquad g_{m2}=\frac{2\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=80\ \mathrm{mS},\qquad r_\pi=\frac{150}{80\ \mathrm{mS}}=1{,}875\ \mathrm{k\Omega}.$$

3. Caso $R_S=0$

In banda l'emettitore di $Q_1$ è a massa ($C_E$). Con $R_S=0$ il condensatore $C_S$ collega il nodo collettore-source direttamente a massa: il source di $M_1$ è a massa per il segnale e la corrente di collettore di $Q_1$ finisce in massa senza influire sull'uscita. $M_1$ è un semplice source comune pilotato dal gate: $$A_v=-g_{m1}R_D=-1\ \mathrm{mS}\cdot4\ \mathrm{k\Omega}=-4.$$ Resistenza di ingresso. Il gate non assorbe corrente: la corrente d'ingresso passa in $R_{B1}$ e arriva alla base, dove vede $r_\pi$ in parallelo a $R_{B2}$ (l'emettitore è a massa): $$r_{in}=R_{B1}+R_{B2}\|r_\pi=96+100\|1{,}875=96+1{,}84=97{,}8\ \mathrm{k\Omega}.$$

4. Caso $R_S=100\ \mathrm{k\Omega}$

Ora il nodo intermedio $a$ (collettore di $Q_1$ = source di $M_1$) ha tensione di segnale $v_a$, con $R_S$ verso massa. Il segnale $v_{in}$ pilota sia il gate di $M_1$ ($v_{gs}=v_{in}-v_a$) sia la base di $Q_1$ tramite il partitore ($v_b=v_{in}\cdot\dfrac{R_{B2}\|r_\pi}{R_{B1}+R_{B2}\|r_\pi}=0{,}0188\,v_{in}$, con l'emettitore a massa e $v_\pi=v_b$).

• Corrente nel collettore di $Q_1$ (esce dal nodo $a$): $i_c=g_{m2}v_b=80\ \mathrm{mS}\cdot0{,}0188\,v_{in}=1{,}505\ \mathrm{mS}\cdot v_{in}$.
• Corrente del MOSFET (entra nel nodo $a$): $i_d=g_{m1}(v_{in}-v_a)$.
• KCL nel nodo $a$: $i_d=i_c+v_a/R_S$, cioè $g_{m1}(v_{in}-v_a)=g_{m2}v_b+v_a/R_S$: $$v_a=\frac{g_{m1}v_{in}-g_{m2}v_b}{g_{m1}+1/R_S}=\frac{1-1{,}505}{1+0{,}01}\,v_{in}=-0{,}500\,v_{in}.$$
• Uscita: $v_{out}=-R_Di_d=-R_D\,g_{m1}(v_{in}-v_a)=-4\ \mathrm{k\Omega}\cdot1\ \mathrm{mS}\cdot(1+0{,}500)\,v_{in}$: $$\boxed{A_v=-g_{m1}R_D\,(1-v_a/v_{in})=-6{,}00}$$ (analisi nodale completa: $-5{,}9996$ ✓; con $R_S=0$ il valore è $-4{,}000$ ✓). Si osserva che l'ingresso entra due volte: direttamente nel gate di $M_1$ e, tramite $Q_1$ (che ha una $g_m$ molto maggiore), nel source; il guadagno cresce da $-4$ a $-6$ perché il BJT aggiunge una corrente al nodo $a$ e porta $v_a$ a valori negativi, aumentando $v_{gs}$. La resistenza di ingresso non cambia ($97{,}8\ \mathrm{k\Omega}$) perché $R_S$ non influenza il ramo di base.

Errori comuni

• Ignorare che il source di $M_1$ coincide con il collettore di $Q_1$ (corrente di drain $=$ corrente di collettore).
• Per un depletion con $I_D=I_{DSS}$ scegliere la soluzione sbagliata: è $V_{GS}=0$, non $V_{GS}=2V_t$.
• Con $R_S=0$ continuare a considerare il contributo del BJT (il nodo è a massa: nessuna influenza).
• Calcolare $r_{in}$ con $R_{B1}\|R_{B2}$: la base è raggiunta attraverso $R_{B1}$ in serie.